Calculo variacional, Notas de estudo de Física

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C´alculo Variacional

Prof. Dr. Ricardo L. Viana

Departamento de F´ısica

Universidade Federal do Paran´a

Curitiba - PR

11 de maio de 2011

4 SUM ARIO´

Cap´ıtulo 1

Equa¸c˜ao de Euler

1.1 Uma vari´avel independente e uma depen-

dente

No que segue, denotaremos por x a vari´avel independente, e por y a dependente. Usaremos, ainda, a nota¸c˜ao yx = dy/dx para a derivada de y(x) em rela¸c˜ao ao seu argumento. O problema central do c´alculo variacional pode ser expresso na seguinte forma: desejamos encontrar uma fun¸c˜ao y(x) que possui valores fixos nos pontos x = x 1 e x = x 2 , tal que a integral de linha de uma dada fun¸c˜ao f (y, yx, x)

J =

∫ (^) x 2

x 1

f (y, yx, x)dx (1.1)

seja um extremo (m´aximo, m´ınimo ou ponto de inflex˜ao). Em outras palavras, queremos encontrar y(x) com valores fixos y 1 = f (x 1 ) e y 2 = f (x 2 ) tal que a integral J seja estacion´aria. A integral J ´e um funcional, pois n˜ao depende s´o dos valores de y e sua derivada num dado ponto x, mas sim em todos os pontos do intervalo x 1 ≤ x ≤ x 2 , j´a que a integral (2.18) depende do caminho escolhido entre esses pontos.

1.1.1 Parˆametro variacional

H´a, naturalmente, infinitas fun¸c˜oes com valores fixos em (x 1 , y 1 ) e (x 2 , y 2 ), mas a integral J assume valores diferentes para cada um. No plano cartesiano, isso equivale a dizer que h´a infinitos caminhos ligando os pontos fixos, mas apenas para um deles J ´e um extremo. Formalmente podemos rotular todos os caminhos poss´ıveis entre os pontos (x 1 , y 1 ) e (x 2 , y 2 ) por meio de um parˆametro variacional α, de modo que cada caminho seja caracterizado por y(x, α [Fig. 1.1]. Para um dado valor de α, como α = 0, o caminho “´otimo” correspondente, denotado por y(x, 0) torna J estacion´aria. Suporemos que cada caminho seja uma deforma¸c˜ao cont´ınua do caminho ´otimo no sentido de que podemos escrever

y(x, α) = y(x, 0) + αη(x), (1.2)

1.1. UMA VARI AVEL INDEPENDENTE E UMA DEPENDENTE´ 7

Diferenciando (2.28) em rela¸c˜ao a α teremos

∂J ∂α

∫ (^) x 2

x 1

[

∂f ∂y

∂y ∂α

∂f ∂yx

∂yx ∂α

]

dx. (1.5)

Integrando por partes o segundo termo do lado direito

∫ (^) x 2

x 1

∂f ∂yx ︸︷︷︸ =u

∂yx ∂α

dx ︸ ︷︷ ︸ =dv

∂f ∂yx

∂y ∂α

x 2

x 1

∫ (^) x 2

x 1

∂y ︸︷︷︸^ ∂α =v

d dx

∂f ∂yx

dx ︸ ︷︷ ︸ =du

Como todas as curvas parametrizadas por α devem passar pelos pontos fixos, ( ∂y ∂α

x 1

∂y ∂α

x 2

tal que a primeira parcela resultante da integra¸c˜ao por partes ´e identicamente nula, restando, ent˜ao

∂J ∂α

∫ (^) x 2

x 1

[

∂f ∂y

d dx

∂f ∂yx

)]

∂y ∂α

dx. (1.8)

Multiplicando por dα e calculando as derivadas em rela¸c˜ao a α para o cami- nho ´otimo α = 0 teremos ( ∂J ∂α

α=

dα =

∫ (^) x 2

x 1

[

∂f ∂y

d dx

∂f ∂yx

)]

∂y ∂α dαdx. (1.9)

Vamos denominar varia¸c˜ao da integral J a seguinte express˜ao

δJ ≡

∂J

∂α

α=

dα, (1.10)

assim como, analogamente, a varia¸c˜ao de y ser´a

δy ≡

∂y ∂α

α=

dα, (1.11)

com as quais reescrevemos (1.9) como

δJ =

∫ (^) x 2

x 1

[

∂f ∂y

d dx

∂f ∂yx

)]

δydx. (1.12)

A condi¸c˜ao (1.4) para que a integral J seja estacion´aria ´e, portanto, simples- mente δJ = 0. (1.13)

Impondo essa condi¸c˜ao em (1.12), como δy ´e arbitr´ario, concluimos que, neces- sariamente, o termo entre colchetes deve anular-se, o que fornece a equa¸c˜ao de Euler 1 ∂f ∂y

d dx

∂f ∂yx

(^1) A equa¸c˜ao de Euler ´e uma condi¸c˜ao necess´aria, por´em n˜ao suficiente para que δJ = 0.

8 CAP´ITULO 1. EQUAC¸ AO DE EULER˜

Leonhard Euler chegou `a equa¸c˜ao acima em 1744, no seu trabalho M´etodo para achar curvas planas que mostram algumas propriedades de m´aximos e m´ınimos. Posteriormente, em 1760, Joseph Louis Lagrange aprofundou a an´alise pr´evia de Euler no seu trabalho Ensaio sobre um novo m´etodo para determinar os m´aximos e m´ınimos de f´ormulas integrais indefinidas. Por esse motivo, den- tro do contexto da mecˆanica, a express˜ao (1.14) ´e tamb´em chamada de equa¸c˜ao de Euler-Lagrange. A equa¸c˜ao de Euler ´e uma condi¸c˜ao necess´aria, por´em n˜ao suficiente, para que a integral J seja estacion´aria. Al´em disso, na dedu¸c˜ao que fizemos n´os fizemos a suposi¸c˜ao impl´ıcita de que a solu¸c˜ao procurada y(x) seja ao menos duas vezes diferenci´avel. H´a situa¸c˜oes em que solu¸c˜oes n˜ao- diferenci´aveis do problema variacional podem ser encontradas, e que n˜ao s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Euler (como na se¸c˜ao 1.2.3).

1.1.3 Identidade de Beltrami

Quando a fun¸c˜ao f no funcional integral (2.18) n˜ao depende explicitamente da vari´avel independente x, ´e poss´ıvel reduzir a equa¸c˜ao de Euler-Lagrange `a seguinte identidade, descoberta por Beltrami em 1868:

f − yx ∂f ∂yx

= C = constante. (1.15)

Para deduzir essa identidade, consideremos primeiramente a derivada total da fun¸c˜ao f (y, yx, x):

df dx

∂f ∂y

dy dx

∂f ∂yx

dyx dx

∂f ∂x

=

∂f ∂y yx +

∂f ∂yx yxx +

∂f ∂x

onde podemos isolar ∂f ∂y yx =

df dx

∂f ∂yx yxx −

∂f ∂x

Multiplicando a equa¸c˜ao de Euler (1.14) por yx obtemos

yx ∂f ∂y

− yx d dx

∂f ∂yx

Substituindo (1.16) em (1.17),

df dx

∂f ∂yx

yxx −

∂f ∂x

− yx

d dx

∂f ∂yx

Como d dx

yx ∂f ∂yx

= yxx ∂f ∂yx

• yx d dx

∂f ∂yx

a express˜ao (1.18) fornece, ap´os um pequeno rearranjo, uma forma alternativa da equa¸c˜ao de Euler:

∂f ∂x

d dx

f − yx ∂f ∂yx

10 CAP´ITULO 1. EQUAC¸ AO DE EULER˜

A solu¸c˜ao y(x) = ax + b representa um segmento de reta entre dois pontos. Em geral, curvas que fornecem a menor distˆancia entre dois pontos sobre uma superf´ıcie s˜ao chamadas geod´esicas dessa superf´ıcie. Numa superf´ıcie esf´erica, por exemplo, a geod´esica entre dois pontos ´e o menor arco de c´ırculo m´aximo (o centro coincide com o centro da esfera) que conecta estes pontos. Na relatividade geral, o espa¸co-tempo quadridimensional ´e curvo, e a geod´esica generaliza a no¸c˜ao de linha reta para este espa¸co. Uma part´ıcula livre, na relatividade geral, sempre move-se ao longo de uma geod´esica do espa¸co-tempo curvo.

Prova de que o extremo ´e um m´ınimo

Observe que, rigorosamente falando, s´o mostramos que a curva

y(x) =

y 1 − y 2 x 1 − x 2

x +

y 2 x 1 − y 1 x 2 x 1 − x 2

tem um comprimento estacion´ario, ou seja, pode ser um m´aximo, m´ınimo ou ponto de inflex˜ao. Para mostrar que o comprimento L ´e, de fato, um m´ınimo, ´e necess´ario realizar um c´alculo mais elaborado. Vamos considerar o comprimento de uma curva n˜ao-´otima (quando α 6 = 0):

L[y(x, α)] =

∫ (^) x 2

x 1

dx

1 + y xα^2 , (1.27)

onde yxα = yx(x, α), e comparar com o comprimento da curva ´otima (1.26):

L[y(x, 0)] =

∫ (^) x 2

x 1

dx

1 + y x^20 , (1.28)

Pela parametriza¸c˜ao dada por (1.2), diferenciando em rela¸c˜ao a x temos que

yxα = yx 0 + αηx (1.29)

Substituindo (1.29) em (1.27) n´os computamos a diferen¸ca

∆L = L[y(x, α)] − L[y(x, 0)]

=

∫ (^) x 2

x 1

dx

[√

1 + (yx 0 + αηx)^2 −

1 + y^2 x 0

]

onde yx 0 = a. Usando o teorema binomial n´os expandimos o integrando acima em potˆencias do parˆametro α. Ap´os um c´alculo tedioso obtemos

∆L = αI 1 + α^2 I 2 +...

onde I 1 =

a 2

1 + a^2

[η(x 2 ) − η(x 1 )] = 0

e

I 2 =

3 a^2 + 4 (1 + a^2 )^3 /^2 ︸ ︷︷ ︸ ≥ 0

∫ (^) x 2

x 1

η x^2 dx ︸ ︷︷ ︸ ≥ 0

donde ∆L ≥ 0, ou L[y(x, α)] ≥ L[y(x, 0)], a igualdade s´o valendo para o caso onde α = 0. Em geral, L[y(x, α)] ser´a sempre maior do que L[y(x, 0)], onde o ´ultimo ´e, de fato, um m´ınimo.

1.2. APLICAC¸ OES DA EQUAC˜ ¸ AO DE EULER˜ 11

x

y

x

y

Figura 1.2: A braquist´ocrona.

1.2.2 Braquist´ocrona

O problema da braquist´ocrona consiste em achar a trajet´oria pela qual uma part´ıcula deslizando a partir do repouso, sem atrito, e acelerada unicamente pela gravidade, vai de um ponto a outro (num plano vertical) no menor tempo poss´ıvel. Ele foi formulado pela primeira vez por Johann Bernoulli em 1696, sob a forma de um desafio lan¸cado aos maiores matem´aticos do seu tempo. Cinco deles enviaram suas solu¸c˜oes: Newton, Jacob Bernoulli (irm˜ao de Johann), Leib- nitz, L’Hˆopital, al´em do pr´oprio Johann Bernoulli. Todos eles, usando diferentes m´etodos geom´etricos, encontraram corretamente a curva como sendo um arco de cicl´oide. Os m´etodos usados pelos irm˜aos Bernoulli para resolver o problema da braquist´ocrona e assemelhados levaram, anos ap´os, Euler e Lagrange a criarem o c´alculo variacional.

Por simplicidade, vamos supor que a part´ıcula de massa m parta do repouso da origem 1 : (0, 0) e deslize sem atrito pela curva y(x) at´e chegar ao ponto 2 : (x, y). O tempo necess´ario para percorrer o caminho ligando esses pontos ´e

t 12 =

1

ds v

onde ds ´e o elemento de arco dado por (1.22). Para achar a velocidade v como fun¸c˜ao da eleva¸c˜ao y podemos usar conserva¸c˜ao de energia, o que fornece v =

2 gy. Substituindo em (1.30) teremos o funcional integral

t 12 =

∫ (^) x

0

1 + y x^2 2 gy

dx. (1.31)

Desejamos achar a forma da curva y(x) para a qual, dados os pontos fixos 1 e 2 , o tempo de percurso ´e m´ınimo. Este ´e um problema variacional para o qual a solu¸c˜ao ´e obtida resolvendo-se a equa¸c˜ao de Euler (1.14) para a fun¸c˜ao

f (y, yx) = (1 + y^2 x) 1 / 2 (2gy)−^1 /^2. Como ela n˜ao depende explicitamente de x

1.2. APLICAC¸ OES DA EQUAC˜ ¸ AO DE EULER˜ 13

y

0 x

y

y

x x

y

ds

2

1

(^1 )

Figura 1.3: Superf´ıcies de revolu¸c˜ao de ´area m´ınima.

A braquist´ocrona tem uma outra propriedade not´avel, e aparentemente pa- radoxal: uma part´ıcula colocada em qualquer posi¸c˜ao (n˜ao necessariamente a origem), vai alcan¸car o ponto final no mesmo tempo, ou seja, t 12 , al´em de ser m´ınimo, independe da posi¸c˜ao inicial (ver o Problema 2)! Por esse motivo a cicl´oide ´e tamb´em uma taut´ocrona. Essa propriedade foi descoberta por 1673 por Huyghens, que a utilizou no (tamb´em sua inven¸c˜ao) rel´ogio de pˆendulo. Para garantir o isocronismo das suas oscila¸c˜oes, ele adaptou no ponto de sus- pens˜ao do pˆendulo duas guias na forma de arcos de cicl´oide, o que fez com que o pr´oprio pˆendulo oscilasse n˜ao em arcos de c´ırculo (aproximadamente is´ocronos), mas em arcos de cicl´oide (is´ocronos), o que melhorou bastante a precis˜ao do rel´ogio.

1.2.3 Superf´ıcies de revolu¸c˜ao e filmes de sab˜ao

O problema consiste em encontrar a curva que liga os pontos (x 1 , y 1 ) e (x 2 , y 2 ) que, ao ser girada em torno do eixo das abscissas, fornece uma superf´ıcie de revolu¸c˜ao de m´ınima ´area [Fig. 1.3]. Imaginando que os pontos 1 e 2, ao serem girados, geram dois c´ırculos de raios y 1 e y 2 , respectivamente, isso equivale a perguntar qual a superf´ıcie de m´ınima ´area limitada por esses dois aros circula- res. Sob esse ´ultimo ponto de vista, o problema das superf´ıcies de revolu¸c˜ao tem uma aplica¸c˜ao f´ısica muito interessante. Filmes l´ıquidos de sab˜ao tˆem uma energia livre de Gibbs F proporcional `a ´area A da sua superf´ıcie: F = σf A, onde σf ´e o coeficiente de tens˜ao superficial do l´ıquido. Se o filme de sab˜ao estiver em equil´ıbrio termodinˆamico, a energia livre de Gibbs deve ser m´ınima. Como σf s´o depende da temperatura do l´ıquido, se esta ´e constante, ent˜ao o filme de sab˜ao em equil´ıbrio deve sempre ter uma configura¸c˜ao que minimiza a sua ´area superficial. Este ´e o famoso problema de Plateau, nomeado em homenagem ao f´ısico francˆes que primeiro estudou este e outros problemas relacionados. A superf´ıcie de revolu¸c˜ao gerada pela rota¸c˜ao do arco de curva plana y(x) ligando os pontos (x 1 , y 1 ) e (x 2 , y 2 ) em torno do eixo x tem um elemento de ´area

dA = (2πy)(ds) = 2πy

1 + y^2 xdx, (1.39)

14 CAP´ITULO 1. EQUAC¸ AO DE EULER˜

onde usamos (1.22). A ´area total da superf´ıcie ser´a, portanto, o funcional inte- gral A = 2π

∫ (^) x 2

x 1

y

1 + y^2 xdx, (1.40)

que se pretende minimizar. Como o integrando f = y

1 + y x^2 n˜ao depende explicitamente de x podemos usar a identidade de Beltrami (1.15) no lugar da equa¸c˜ao de Euler (1.14):

f − yx

∂f ∂yx

= y

1 + y^2 x −

yy^2 x √ 1 + y^2 x

= a = const. (1.41)

Multiplicando por

1 + y^2 x obtemos

y(1 + y^2 x) − y^2 xy = y = a

1 + y^2 x.

Isolando y x^2 nessa express˜ao teremos dx dy

yx

a √ y^2 − a^2

A equa¸c˜ao diferencial acima pode ser imediatamente integrada:

x = a

dy √ y^2 − a^2

= a cosh−^1

( (^) y a

• b (1.43)

onde b ´e uma constante de integra¸c˜ao. Invertendo temos a equa¸c˜ao da curva procurada y(x) = a cosh

x − b a

denominada caten´aria na literatura. As constantes a e b s˜ao determinadas implicitamente pelas coordenadas dos pontos fixos

y 1 = a cosh

x 1 − b a

, y 2 = a cosh

x 2 − b a

A superf´ıcie de revolu¸c˜ao gerada pela caten´aria ´e chamada de caten´oide, e seria tamb´em obtida se a rota¸c˜ao fosse feita em torno do eixo das ordenadas, ao inv´es das abscissas (Problema 3). Foi Euler quem, em 1744, mostrou que a caten´oide ´e uma superf´ıcie de m´ınima ´area.

Outras solu¸c˜oes do problema Ocorre que a caten´oide n˜ao ´e a ´unica solu¸c˜ao do problema. Para simplificar os c´alculos, vamos supor que x 1 = −x 2 = x 0 e y 1 = y 2 = y 0 , ou seja, a superf´ıcie m´ınima encontra dois arcos circulares de raio y 0 simetricamente postos em rela¸c˜ao `a origem. A equa¸c˜ao da caten´aria ser´a, portanto,

y(x) = a cosh

( (^) x a

onde a constante ´e dada pela solu¸c˜ao da equa¸c˜ao transcendente

a = y 0 cosh(x 0 /a)

16 CAP´ITULO 1. EQUAC¸ AO DE EULER˜

θ

r R R

r o φ

Figura 1.6: T´unel em uma esfera.

tal que (1.49) fique y 0 = x∗ o sinh(px∗ 0 ). (1.50)

Pondo x∗ 0 em (1.48) e dividindo as equa¸c˜oes membro a membro chegamos `a equa¸c˜ao transcendente px∗ 0 = coth(px∗ 0 ), (1.51)

que tem apenas uma solu¸c˜ao positiva, que pode ser obtida (numericamente) como px∗ 0 ≈ 1 , 2. De (1.48) e (1.50) teremos que

x∗ 0 y 0 = csch1, 2 ≈ 0 , 663 (1.52)

donde para (x 0 /y 0 ) > 0 , 66 a caten´oide n˜ao ´e a solu¸c˜ao do problema da superf´ıcie m´ınima. H´a uma outra solu¸c˜ao para o problema da superf´ıcie m´ınima, devida a Goldschmidt, que n˜ao ´e obtida pelo c´alculo variacional, e ´e composta por dois filmes circulares em cada aro [Fig. 1.5]. Como a solu¸c˜ao de Goldschmidt ´e descont´ınua, ela n˜ao satisfaz a equa¸c˜ao de Euler (1.41). Para (x 0 /y 0 ) > 0 , 66 apenas as solu¸c˜oes de Goldschmidt podem existir. Podemos encarar a situa¸c˜ao da seguinte forma: quando os c´ırculos est˜ao suficientemente afastados entre si, a solu¸c˜ao do tipo caten´oide torna-se inst´avel, isto ´e, o filme de sab˜ao se rompe.

1.2.4 T´unel em uma esfera

Um problema similar, por´em mais dif´ıcil do que o da braquist´ocrona consiste em encontrar a trajet´oria de menor tempo de percurso para um t´unel escavado

1.2. APLICAC¸ OES DA EQUAC˜ ¸ AO DE EULER˜ 17

numa esfera homogˆenea de massa M e raio R, para o qual o campo gravitacional n˜ao ´e uniforme. Usando a Lei de Gauss para a gravita¸c˜ao, ´e f´acil mostrar que a energia potencial gravitacional para uma part´ıcula de massa m situada `a distˆancia r do centro da esfera ´e

U (r) =

mg 0 r^2 2 R

onde g 0 = GM/R^2 ´e a acelera¸c˜ao da gravidade na superf´ıcie da esfera (r = R), e G ´e a constante Newtoniana. Suponha que a part´ıcula parta do repouso de um ponto 1 na superf´ıcie da esfera. Usando conserva¸c˜ao de energia mecˆanica, o tempo necess´ario para ir do ponto 1 at´e um ponto 2 situado a uma distˆancia r do centro da esfera ´e [Figura 1.6]:

t 12 =

1

ds √ g 0 R

1 − r 2 R^2

Introduzindo coordenadas polares (r, θ) o elemento de arco (1.22) ´e escrito como

ds =

r^2 + r θ^2 dθ, (1.55)

de modo que o funcional a ser minimizado ´e

t 12 =

R

g 0

∫ (^) θ 2

θ 1

r^2 θ + r^2 R^2 − r^2

dθ. (1.56)

Como o integrando n˜ao depende explicitamente de θ, podemos usar a iden- tidade de Beltrami (1.15) para obter

r^2 =

g 0 R

C

[

(R^2 − r^2 )(r θ^2 + r^2 )

] 1 / 2

onde podemos exprimir a constante de integra¸c˜ao C em termos de r 0 , que ´e a distˆancia m´axima aproxima¸c˜ao ao centro da esfera. Por simetria, r = r 0 deve ser o ponto m´edio de uma trajet´oria ligando dois pontos sobre a superf´ıcie da esfera, e onde a tangente `a trajet´oria ´e perpendicular ao raio. Dessa forma podemos aplicar em (1.57) a condi¸c˜ao de que rθ = 0 em r = r 0 ,

r^20 =

g 0 R

C

[

(R^2 − r^20 )r^20

] 1 / 2

Dividindo (1.57) e (1.58) membro a membro obtemos a seguinte equa¸c˜ao diferencial

rθ =

rR r 0

r^2 − r 02 R^2 − r^2

que pode ser integrada analiticamente fornecendo

θ(r) = arctan

 R

r 0

r^2 − r 02 R^2 − r^2

 (^) − r^0 R

arctan

r^2 − r^20 R^2 − r^2

1.3. UMA VARI AVEL INDEPENDENTE E V ´ ARIAS DEPENDENTES´ 19

´e o tempo de percurso para uma trajet´oria que passe pelo centro da esfera, isto ´e, com r 0 = 0, conectando dois pontos antipodais na sua superf´ıcie. Em geral, os tempos de trˆansito para todas as cordas s˜ao idˆenticos, sendo o diˆametro a maior corda poss´ıvel na esfera, evidentemente, Para uma hipocicl´oide, por´em, na medida em que r 0 ≥ 0, ent˜ao T ≤ T 0 , significando que o tempo de percurso por uma hipocicl´oide ´e sempre menor do que o tempo de percurso pela corda que une os dois pontos. Como um exemplo num´erico, supondo que a Terra seja uma esfera perfeita onde R = 6370km e g 0 = 9, 8 m/s^2 , temos que T 0 = 2, 53 × 103 s = 42, 2 min. Para uma trajet´oria (num hipot´etico t´unel) onde r 0 = R/2, o tempo de per- curso ser´a T = 0, 0625 T 0 = 2, 64 min. Esse valor ´e espantosamente baixo, con- siderando que, como o ˆangulo central subtendendo os pontos inicial e final ´e, de (1.61), φ = π/4, um c´alculo simples mostra que a corda ligando esses dois pontos mede R

2 = 9008km, e que a profundidade m´axima de um t´unel ao longo da corda seria h = R(1 − cos φ) = 1865km. Al´em disso, a distˆancia entre esses pontos ao longo da superf´ıcie ´e s = Rπ/4 = 5000km. Este problema tem uma hist´oria curiosa. Em 1888 Collignon apresentou perante o Congresso da Associa¸c˜ao Francesa para o Avan¸co da Ciˆencia um trabalho com o t´ıtulo De Paris ao Rio de Janeiro em 42 minutos e 11 segundos (provavelmente referindo-se a um hipot´etico t´unel ao longo da corda ligando as duas cidades). De fato, na d´ecada de 1930 especulou-se muito sobre esse tipo de possibilidade, naturalmente limitada por v´arios fatores tecnol´ogicos. Na d´ecada de 1960 esse problema foi objeto de v´arios artigos [7, 8].

1.3 Uma vari´avel independente e v´arias depen-

dentes

1.3.1 Equa¸c˜oes de Euler

Para generalizar o problema variacional n´os consideraremos uma fun¸c˜ao de n vari´aveis yi, i = 1, 2 ,... n, todas elas dependentes de x:

f = f (y 1 (x), y 2 (x),... yn(x); x),

e o funcional integral que desejamos tornar estacion´ario

J =

∫ (^) x 2

x 1

f (y 1 , y 2 ,... yn; y 1 x, y 2 x,... ynx; x)dx, (1.69)

onde yix = dyi/dx. Como antes, consideramos uma infinidade de caminhos poss´ıveis ligando os pontos fixos em x = x 1 e x = x 2 , parametrizados por α, tal que α = 0 represente o caminho ´otimo para cada vari´avel dependente

yi(x, α) = yi(x, 0) + αηi(x), (1.70)

onde ηi(x) representam as deforma¸c˜oes continuamente diferenci´aveis para cada i = 1, 2 ,... n, e que s˜ao independentes entre si, anulando-se nos extremos: ηi(x 1 ) = ηi(x 2 ) = 0.

20 CAP´ITULO 1. EQUAC¸ AO DE EULER˜

Diferenciando o funcional (1.69) em rela¸c˜ao a α teremos

∂J ∂α

∫ (^) x 2

x 1

∂f ∂α

=

∫ (^) x 2

x 1

dx

∑^ n

i=

[

∂f ∂yi

∂yi ∂α

∂f ∂yix

∂yix ∂α

]

∑^ n

i=

∫ (^) x 2

x 1

dx

[

∂f ∂yi

ηi +

∂f ∂yix

ηix

]

onde usamos o teorema de Schwartz para escrever

∂yix ∂α

∂α

dyi dx

d dx

∂yi ∂α

dηi dx

= ηix. (1.72)

Integrando por partes a parcela ∫ (^) x 2

x 1

∂f ∂yix

dηi dx

dx =

∂f ∂yix

ηi

x 2

︸ ︷︷ x^1 ︸

∫ (^) x 2

x 1

ηi

d dx

∂f ∂yix

dx (1.73)

e impondo que o funcional integral ser´a estacion´ario se estivermos no caminho ´otimo entre os pontos fixos (^) ( ∂J ∂α

α=

chegamos a ∑n

i=

∫ (^) x 2

x 1

dxηi

[

∂f ∂yi

d dx

∂f ∂yix

)]

Como os ηi s˜ao todos mutuamente independentes, para que a condi¸c˜ao acima subsista para quaisquer deforma¸c˜oes, cada termo entre os colchetes deve anular- se identicamente, fornecendo uma equa¸c˜ao de Euler para cada vari´avel depen- dente em separado:

∂f ∂yi

d dx

∂f ∂yix

= 0, (i = 1, 2 ,... n) (1.76)

1.3.2 Propaga¸c˜ao da luz e o princ´ıpio de Fermat

De acordo com o princ´ıpio de Fermat, proposto originalmente em 1662, os raios luminosos ligando dois pontos dados, propagam-se ao longo de trajet´orias tais que o caminho ´otimo ´e estacion´ario (pode ser um m´ınimo, m´aximo ou ponto de inflex˜ao). O caminho ´otico ℓ ´e definido como o produto da distˆancia geom´etrica d entre dois pontos pelo ´ındice de refra¸c˜ao n da luz nesse meio: se o meio ´e homogˆeneo e isotr´opico, ent˜ao ℓ = nd. Em geral, por´em, teremos que

C

n(s)ds,

onde s parametriza um caminho C entre dois pontos - ´e a distˆancia medida ao longo de C a partir de um ponto de referˆencia. O ´ındice de refra¸c˜ao de um meio