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Introduc¸ ˜ao ao C ´alculo Variacional e o Problema
da Braquist ´ocrona
Daniel Hil ´ario da Silva
Escola Estadual Polivalente “Dr. Tharsis Campos” Secretaria de Educac¸ ˜ao do Estado de Goi ´as/SEE-Catal ˜ao [email protected]
Paulo Henrique Barbosa Galdino
Departamento de Ci ˆencias Exatas Universidade Federal de Mato Grosso do Sul [email protected]
Resumo. E not ´´ orio que problemas que se referem a valores de m ´aximos e m´ınimos s ˜ao atrativos e de grande interesse para os matem ´aticos, isso devido a uma raz ˜ao muito simples: estes problemas idealizam nossos pro- blemas cotidianos. Em v ´arias situac¸ ˜oes queremos comprar um objeto com o menor prec¸o poss´ıvel, realizar o m ´aximo de trabalho num determinado tempo, alcanc¸ar um objetivo realizando o menor esforc¸o. Da mesma ma- neira, a natureza tamb ´em ´e guiada por princ´ıpios de m ´aximos e m´ınimos. Por esta raz ˜ao os f´ısicos t ˆem estudado intensamente esses problemas. Po- demos citar v ´arios exemplos neste sentido: caminho percorrido pela luz, mo- vimento dos planetas, movimentos de l´ıquidos e gases, caminho percorrido pelas ondas de r ´adio e o pr ´oprio corpo humano, onde suas traqu ´eias traba- lham com o m´ınimo esforc¸o e m ´aximo rendimento. Essas s ˜ao as principais raz ˜oes para o estudo do C ´alculo Variacional (ou C ´alculo das Variac¸ ˜oes) e a motivac¸ ˜ao dessa pequena introduc¸ ˜ao sobre o assunto. O C ´alculo Varia- cional ´e um m ´etodo poderoso para solucionar as quest ˜oes fundamentais de exist ˆencia ou n ˜ao de soluc¸ ˜oes para uma ampla classe de equac¸ ˜oes diferenci- ais, que s ˜ao equac¸ ˜oes de Euler-Lagrange associada a um funcional, `a qual, neste trabalho, deduzimos e damos uma de suas aplicac¸ ˜oes, a saber, o fa- moso problema da Braquist ´ocrona, que foi um problema proposto por John Bernoulli (1696). O objetivo deste trabalho n ˜ao ´e esgotar o assunto, mas sim motivar e despertar o interesse sobre esta teoria matem ´atica que v ˆem se tornando, ao longo dos anos, important´ıssima para o estudo de fen ˆomenos naturais e problemas cotidianos modelados matematicamente.
Palavras-chave: C ´alculo Variacional; Equac¸ ˜ao de Euler-Lagrange; Braquist ´ocrona.
1 Introduc¸ ˜ao
Neste trabalho veremos que o problema b´asico do c´alculo variacional ´e deter- minar uma func¸ ˜ao y : [x 1 , x 2 ] → R que minimiza (ou maximiza) o funcional dado
por:
J =
∫ (^) x 2
x 1
f (x, y(x), y′(x))dx (1)
isto ´e, a func¸ ˜ao y(x) e um valor extremo do funcional´ J, podendo ser um valor m´aximo ou um valor m´ınimo. Valendo ressaltar que o funcional J depende da func¸ ˜ao y(x) e os limites de integrac¸ ˜ao s˜ao fixos, observando que em muitos pro- blemas n˜ao ´e necess´ario que os limites de integrac¸ ˜ao sejam considerados fixos, mas se lhes permitem variar, o problema se torna a n˜ao s´o achar y(x) mas tamb´em a encontrar x 1 e x 2 tal que J tenha um extremo.
A id´eia usada aqui ´e variar a func¸ ˜ao y(x) at´e que um valor extremo de J seja encontrado. Assim, se uma func¸ ˜ao y(x) minimiza (ou maximiza) o funcional J, ent˜ao qualquer func¸ ˜ao vizinha de y(x), n˜ao importando o qu˜ao pr´oxima de y(x) esteja, esta func¸ ˜ao tem que fazer J variar (aumentando ou diminuindo).
A definic¸ ˜ao da func¸ ˜ao vizinha (caminho alternativo) pode ser como segue: dar-se a todas as poss´ıveis func¸ ˜oes y(x) dessa vizinhanc¸a uma representac¸ ˜ao pa- ram´etrica y = y(α, x) tal que para α = 0 tem-se que y = y(0, x) = y(x) e a func´ ¸ ˜ao que faz J assumir um extremo. Dessa forma, pode-se escrever
y(α, x) = y(0, x) + αη(x) (2)
onde η : [x 1 , x 2 ] → R e alguma func´ ¸ ˜ao de x que possui derivada de primeira ordem cont´ınua e que se anula nos extremos x 1 e x 2 , isto ´e, η(x 1 ) = η(x 2 ) = 0, como ilustra a Figura 1 abaixo.
Figura 1: Caminho extremo y(x) e dois caminhos alternativos.
Assim, como f (x, y(x), y′(x)) =
( (^) dy(α,x) dx
) 2 tem-se que
f (x, y(x), y′(x)) = 1 + 2αcos(x) + α^2 cos^2 (x).
Logo, a Equac¸ ˜ao (3) se torna
J(α) =
∫ (^2) π
0
( 1 + 2αcos(x) + α^2 cos^2 (x)
) dx.
Calculando esta integral tem-se que
J(α) = 2π + α^2 π.
Note que o valor de J(α) e sempre maior que´ J(0), n˜ao importando que valor (positivo ou negativo) escolhido para α. Observe ainda que a condic¸ ˜ao dada pela Equac¸ ˜ao (4) ´e satisfeita, pois
J(α) = 2π + α^2 π ⇒
∂J
∂α
= 2απ ⇒
∂J
∂α
∣∣ ∣ α=
3 Equac¸ ˜ao de Euler-Lagrange
Veremos agora que achar um extremo para o funcional J se reduz a resolver a Equac¸ ˜ao de Euler-Lagrange associada ao funcional J, a qual deduziremos a se- guir, mas antes veremos um lema fundamental para o desenvolvimento da teoria do C´alculo Variacional.
∫ Lema: Se^ G^ : [x^1 , x^2 ]^ −→^ R^ e uma func´ ¸ ˜ao cont´ınua e se ´e v´alida a condic¸ ˜ao x 2 x 1
G(x)η(x)dx = 0 para toda func¸ ˜ao diferenci´avel η : [x 1 , x 2 ] −→ R tal que
η(x 1 ) = η(x 2 ) = 0 ent˜ao G(x) = 0, para todo x ∈ (x 1 , x 2 ).
Demonstrac¸ ˜ao: Suponha, por absurdo, que G(x′) 6 = 0 para algum x′^ ∈ (x 1 , x 2 ). Sem perda de generalidade suponha que G(x′) > 0. Pela continuidade de G, existe uma vizinhanc¸a de x′, digamos, c ≤ x′^ ≤ d na qual G(x) > 0 , ∀ x ∈ [c, d]. Mas com isso a igualdade abaixo n˜ao se verifica para toda func¸ ˜ao diferenci´avel η ∫ (^) x 2
x 1
η(x)G(x)dx = 0.
Por exemplo, considerando-se a func¸ ˜ao
η(x) =
0 , x 1 ≤ x ≤ c (x − c)^2 (x − d)^2 , c < x < d 0 , d ≤ x ≤ x 2
obt´em-se: (^) ∫ (^) x 2 x 1
G(x)η(x)dx =
∫ (^) d
c
(x − c)^2 (x − d)^2 G(x)dx
e como G(x) > 0 para c ≤ x ≤ d tem-se que ∫ (^) x 2
x 1
η(x)G(x)dx 6 = 0.
O que contradiz a hip´otese. O caso G(x′) < 0 ´e an´alogo e assim o Lema est´a provado.
Com o resultado do lema acima pode-se estabelecer a condic¸ ˜ao dada na Equac¸ ˜ao (4), ou seja, deduzir a Equac¸ ˜ao de Euler-Lagrange associada ao funcional J. Para isto, executa-se a diferenciac¸ ˜ao indicada na Equac¸ ˜ao (3):
∂J ∂α
∂α
∫ (^) x 1
x 2
f (x, y(x), y′(x))dx.
Devido ao fato dos limites de integrac¸ ˜ao estarem fixos, a operac¸ ˜ao de diferenciac¸ ˜ao afeta apenas o integrando. Consequentemente,
∂J ∂α
∫ (^) x 2
x 1
( (^) ∂f ∂y
∂y ∂α
∂f ∂y′^
∂y′ ∂α
) dx. (6)
Pela Equac¸ ˜ao (2) tem-se que
∂y ∂α
= η(x) e
∂y′ ∂α
dη dx
Logo, a Equac¸ ˜ao (6) se torna
∂J ∂α
∫ (^) x 2
x 1
( (^) ∂f ∂y
.η(x) +
∂f ∂y′^
dη dx
) dx. (7)
Agora, usando integrac¸ ˜ao por partes e o fato de η(x 1 ) = η(x 2 ) = 0 pode-se escrever a Equac¸ ˜ao (7) da seguinte forma:
∂J ∂α
∫ (^) x 2
x 1
[ (^) ∂f ∂y
d dx
( (^) ∂f ∂y′
)] .η(x)dx. (8)
Note que a express˜ao dada pela Equac¸ ˜ao (8) ´e, aparentemente, independente do parˆametro α, mas as func¸ ˜oes y e y′^ dependem do parˆametro α. Dessa forma, como o funcional J(α) assumir´a um valor extremo se ∂J∂α
∣∣ ∣ α= = 0 tem-se, pelo Lema
acima, que ∂f ∂y
d dx
( (^) ∂f ∂y′
) = 0 (9)
Devido ao fato da forc¸a atuante na part´ıcula ser constante (e ignorando o atrito existente) o campo de forc¸a ´e conservativo, e a energia total da part´ıcula ´e T + U = constante. Se medirmos a energia potencial no ponto x = 0 (isto ´e, U = 0) ent˜ao, no restante do trajeto, tem-se T +U = 0. A energia cin´etica do sistema ´e T = 12 mv^2 e a energia potencial ´e U = −F x = −mgx, onde g e forc´ ¸a da gravidade. Assim,
v =
√ 2 gx.
Logo, o tempo gasto pela part´ıcula para fazer o trajeto do ponto A = (x 1 , y 1 ) at´e o ponto B = (x 2 , y 2 ) ´e dado por:
t =
∫ (^) B
A
ds v
∫ (^) B
A
(dx^2 + dy^2 )
(^12)
(2gx)
∫ (^) x 2
x 1 =
( (^) dx^2 + dy^2 2 gx
) (^12) dx
cuja express˜ao acima pode ser reescrita como
t =
∫ (^) x 2
x 1 =
( (^) 1 + (y′)^2 2 gx
) (^12) dx. (10)
Assim, como deseja-se que a part´ıcula percorra o trajeto do ponto A at´e o ponto B no menor tempo poss´ıvel, deve-se minimizar o funcional dado pela Equac¸ ˜ao (10).
Note que a constante (2g)
1 (^2) n˜ao afeta a equac¸ ˜ao final, assim, a func¸ ˜ao f pode ser identificada como:
f (x, y(x), y′(x)) =
( (^) 1 + (y′)^2 x
) (^12)
. (11)
E, al´em disso, tem-se ∂f∂y = 0, assim, a Equac¸ ˜ao de Euler-Lagrange (9) se torna d dx
( ∂f ∂y′
) = 0, ou seja, (^) ∂y∂f′ = constante ≡ (2a)−^
1 (^2) , onde a e uma nova constante.´
Executando a diferenciac¸ ˜ao (^) ∂y∂f′ e, em seguida, elevando ao quadrado o resul- tado tem-se
(y′)^2 x[1 + (y′)^2 ]
2 a
Assim, ap´os algumas manipulac¸ ˜oes alg´ebricas encontra-se
y =
∫ (^) x
(2ax − x^2 ) 12 dx.
Agora, fazendo a seguinte mudanc¸a de vari´avel { x = a[1 − cos(θ)] dx = a.sen(θ).dθ
tem-se, ap´os algumas manipulac¸ ˜oes alg´ebricas, que
y = a[θ − sen(θ)] + k, k = constante. (12)
Vale observar que as equac¸ ˜oes param´etricas para um cicl´oide que passa pela origem s˜ao dadas por (^) { x = a[1 − cos(θ)] y = a[θ − sen(θ)]
que ´e justamente a soluc¸ ˜ao encontrada para o problema proposto acima (Braquist´ocrona), sendo a constante de integrac¸ ˜ao igual a zero, devido `a exigˆencia que A = (0, 0) seja a origem do movimento da part´ıcula. O caminho ´e ent˜ao como mostra a Figura 3 abaixo, ressaltando que a constante a deve ser escolhida de forma que o cicl´oide passe sobre o ponto de destino B = (x 2 , y 2 ).
Figura 3: Cicl ´oide: soluc¸ ˜ao do problema da Braquist ´ocrona.
5 Conclus ˜ao
O presente trabalho tem como objetivo introduzir de maneira breve a id´eia e os conceitos b´asicos do C´alculo Variacional, ou seja, mostrar que o problema b´asico do C´alculo Variacional se reduz a achar extremos de funcionais, isto ´e, maximi- zar ou minimizar um certo funcional que represente o problema com o qual se est´a procurando a soluc¸ ˜ao. Vimos que achar extremos de um certo funcional ´e equivalente a encontrar (quando poss´ıvel) uma soluc¸ ˜ao para a Equac¸ ˜ao de Euler- Lagrange, (Equac¸ ˜ao 9), mas deixando claro que a teoria aqui apresentada fornece
