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Cap´ıtulo 7
Representa¸c˜ao de Heisenberg e
Simetrias
Quando apresentamos os postulados da Mecˆanica Quˆantica definimos de forma arbitr´aria que os estados evoluem no tempo ao passo que os observ´aveis s˜ao constantes. Esta maneira de analisar a evolu¸c˜ao tem- poral de um sistema ´e chamada de representa¸c˜ao de Schr¨odinger. Neste cap´ıtulo vamos mostrar que podemos reformular a Mecˆanica Quˆantica de forma a ter os estados constantes no tempo enquanto que os ob- serv´aveis apresentam uma dependˆencia temporal, o que define a repre- senta¸c˜ao de Heisenberg.
O uso de simetrias e leis de conserva¸c˜ao permite-nos compreender melhor muitos problemas em F´ısica, seja no dom´ınio cl´assico ou no quˆantico. Neste cap´ıtulo tamb´em analisaremos os conceitos de simetria e de leis de conserva¸c˜ao em Mecˆanica Quˆantica. Estudaremos ainda qual a rela¸c˜ao entre degenerescˆencia e simetrias.
7.1 Representa¸c˜ao de Heisenberg
Na representa¸c˜ao de Schr¨odinger que adotamos at´e agora, os estados evoluem com o tempo obedecendo a equa¸c˜ao de Schr¨odinger
i¯h
∂t
|ψ〉 = H|ψ〉 , (7.1)
118 Cap´ıtulo 7. Representa¸c˜ao de Heisenberg e Simetrias
a qual deve ser suplementada com uma condi¸c˜ao inicial |ψ(t = 0)〉 = |ψ 0 〉. Vimos no cap´ıtulo anterior que a solu¸c˜ao formal deste problema ´e dada por
|ψ(t)〉 = U(t) |ψ 0 〉 = e−i^
Ht ¯h |ψ 0 〉 (7.2)
onde U(t) ´e operador evolu¸c˜ao temporal. E importante lembrar neste´ ponto que os estados (fun¸c˜oes de onda) n˜ao s˜ao diretamente observ´aveis, sendo que eles se manifestam, por exemplo, atrav´es de valores m´edios. Tendo em vista que os valores m´edios dependem tanto dos estados como dos operadores associados aos observ´aveis, podemos considerar que s˜ao os operadores, e n˜ao os estados, que evoluem no tempo sem alterar os resultados dos valores m´edios. De fato, o valor esperado de um observ´avel A no instante t ´e dado por 〈A〉 = 〈ψ(t)|A|ψ(t)〉 = 〈ψ 0 |U†AU|ψ 0 〉 , (7.3)
onde utilizamos (7.2). A partir desta express˜ao definimos o operador na representa¸c˜ao de Heisenberg AH (t) atrav´es de
AH (t) = U†AU = e+i^
Ht ¯h A e−i^
Ht ¯h , (7.4)
sendo que no instante t = 0 o operador na representa¸c˜ao de Heisenberg coincide com o operador na representa¸c˜ao de Schr¨odinger. Note que AH (t) ´e dependente do tempo a menos que A comute com a Hamilto- niana. Com isso temos que a m´edia de um observ´avel pode ser escrita como 〈A〉 = 〈ψ 0 |AH (t)|ψ 0 〉. (7.5)
Esta igualdade demonstra que podemos escolher, sem alterar o valor dos observ´aveis, os operadores evoluindo no tempo segundo (7.4) ao passo que os estados s˜ao constantes. Logo, definimos a representa¸c˜ao de Heisenberg como sendo aquela na qual os estados s˜ao constantes no tempo, ao passo que os operadores obedecem (7.4). Note que para t = 0 os estados na representa¸c˜ao de Schr¨odinger e na de Heisenberg s˜ao iguais, o mesmo acontecendo para os operadores. Mais ainda, para sistemas cuja Hamiltoniana na representa¸c˜ao de Schr¨odinger independe do tempo temos que U e H comutam e conseq¨uentemente
HH (t) = U†HU = U†UH = H ,
120 Cap´ıtulo 7. Representa¸c˜ao de Heisenberg e Simetrias
resultado o seu autovalor an ´e dada por
Prob(an) = |〈an|ψ(t)〉|^2.
Devemos, portanto, verificar se esta probabilidade ´e a mesma na representa¸c˜ao de Heisenberg. Para tanto basta notar que
Prob(an) = |〈an|ψ(t)〉|^2
∣∣ ∣〈an; t|U†U|ψ 0 〉
∣∣ ∣
2
= |〈an; t|ψ 0 〉|^2 ,
onde utilizamos que |an〉 = U|an; t〉. Note que na representa¸c˜ao de Heisenberg a dependˆencia temporal destas probabilidades origina- se no fato de que a base de autovetores de AH muda com o tempo enquanto que o estado ´e constante!
Em aplica¸c˜oes ´e comum termos observ´aveis que s˜ao formados a par- tir do produto de outros. Isto posto, ´e ´util saber que o operador de Heisenberg associado ao produto C = AB ´e dado por
CH (t) = U†ABU = U†AU · U†BU = AH (t)BH (t) , (7.7)
ou seja, pelo produto dos operadores de Heisenberg correspondentes. Em particular, este resultado aplica-se para comutadores:
[A, B] = C =⇒ [AH (t), BH (t)] = CH (t). (7.8)
Daqui podemos inferir que
[x, p] = ih¯ ⇒ [xH (t), pH (t)] = i¯h (7.9)
que ´e a rela¸c˜ao b´asica para o c´alculo de comutadores.
7.1.1 Equa¸c˜oes de Movimento de Heisenberg
Da defini¸c˜ao do operador na representa¸c˜ao de Heisenberg, equa¸c˜ao (7.4), segue que
i¯h
dAH (t) dt
= −Hei^
Ht ¯h Ae−i^
Ht ¯h
Ht ¯h Ae−i^
Ht ¯h H
i¯h
dAH (t) dt
= [AH (t), H] (7.10)
7.1. Representa¸c˜ao de Heisenberg 121
que ´e a equa¸c˜ao de movimento de Heisenberg para o operador AH (t). E instrutivo comparar a equa¸´ c˜ao (7.10) com a sua correspondente em Mecˆanica Cl´assica em para um observ´avel A(q, p).
d dt
A(q(t), p(t)) = {A, H}(q, p) , (7.11)
onde (q(t), p(t)) ´e a trajet´oria cl´assica no espa¸co de fase, obedecendo a
q˙(t) =
∂H
∂p
, p˙(t) = −
∂H
∂q
A compara¸c˜ao entre (7.10) e (7.11) remete-nos mais uma vez `a regra de correspondˆencia
{A, B} →
i¯h
[A, B] (7.13)
entre a Mecˆanica Cl´assica e a Mecˆanica Quˆantica, a qual ´e usada como guia para a quantiza¸c˜ao de sistemas com an´alogos cl´assicos. Para os observ´aveis x(t) e p(t) de um sistema cuja Hamiltoniana ´e da forma
H =
p^2 2 μ
as equa¸c˜oes de Heisenberg fornecem
dxH dt
pH μ
dpH dt
= −V ′(xH ) , (7.16)
onde utilizamos (7.7) para obter que [pH , V (xH )] = ¯h i V ′(xH ). Note que estas equa¸c˜oes s˜ao formalmente idˆenticas `as de Hamilton na Mecˆanica Cl´assica. Vejamos alguns casos, assim como em Mecˆanica Cl´assica, nos quais estas equa¸c˜oes podem ser integradas explicitamente.
Exemplo: part´ıcula livre
No caso de uma part´ıcula livre (V ≡ 0) a equa¸c˜ao (7.16) reduze-se a
dpH dt
7.2. Leis de Conserva¸c˜ao 123
que substitu´ıdo em (7.16) conduz a
dpH dt
= − μω^2 xH. (7.21)
Note que as equa¸c˜oes de movimento para este sistema (7.15) e (7.21) s˜ao idˆenticas `as equa¸c˜oes cl´assicas. Por substitui¸c˜ao direta notamos que a solu¸c˜ao assume a mesma forma que a cl´assica
xH (t) = x cos(ωt) +
p μω
sin(ωt) (7.22)
pH (t) = −xμω sin(ωt) + p cos(ωt) , (7.23)
contudo as constantes xH (0) = x e pH (0) = p s˜ao de fato os operadores posi¸c˜ao e momento, respectivamente, na representa¸c˜ao de Schr¨odinger. Podemos tamb´em obter a evolu¸c˜ao temporal de um oscilador harmˆo- nico simples utilizando os operadores de cria¸c˜ao (aH ) e aniquila¸c˜ao (a† H ) definidos no cap´ıtulo 6. Nestas vari´aveis a hamiltoniana do sistema toma a forma
H = ¯hω
( a† H aH +
)
. (7.24)
Utilizando que [aH , a† H ] = 1, as equa¸c˜oes de Heisenberg s˜ao
daH dt
i¯h
[aH , H] = − iωaH , (7.25)
da† H dt
i¯h
[a† H , H] = + iωa† H. (7.26)
cujas solu¸c˜oes s˜ao
aH (t) = aH (0) e−iωt^ , (7.27)
a† H (t) = a† H (0) e+iωt^. (7.28)
7.2 Leis de Conserva¸c˜ao
Leis de conserva¸c˜ao s˜ao muito ´uteis em F´ısica j´a que nos permitem simplificar e entender melhor os fenˆomenos. Por exemplo, na colis˜ao de
124 Cap´ıtulo 7. Representa¸c˜ao de Heisenberg e Simetrias
duas part´ıculas podemos obter a magnitude dos momentos finais uti- lizando a conserva¸c˜ao de energia e a de momento dado o ˆangulo de es- palhamento, mesmo que n˜ao conhe¸camos a se¸c˜ao de choque diferencial do processo. As leis de conserva¸c˜ao possuem uma gama de aplica¸c˜oes muito mais vasta que essa, podendo ser usadas para saber se transi¸c˜oes atˆomicas s˜ao permitidas ou n˜ao, para explicar a estabilidade de sis- temas, etc. Em Mecˆanica Cl´assica uma quantidade observ´avel, digamos a ener- gia, ´e conservada se o seu valor n˜ao variar com o tempo. A situa¸c˜ao n˜ao ´e t˜ao ´obvia em Mecˆanica Quˆantica. Consideremos, a t´ıtulo de exemplo, um oscilador harmˆonico que se encontra no estado^1
|ψ〉 =
onde H|n〉 = ¯hω(n + 1/2)|n〉. E natural considerarmos este sistema´ como sendo conservativo por´em medidas da energia em tempos distin- tos podem fornecer ¯hω/2 ou 3¯hω/2 ambas com probabilidade 1/2. Por- tanto, temos que o valor medido da energia pode variar com o tempo. Ent˜ao como podemos definir a conserva¸c˜ao de energia? A resposta ´e simples: o que se conserva em Mecˆanica Quˆantica ´e o valor m´edio do observ´avel. No exemplo acima o valor m´edio da energia ´e constante, valendo ¯hω. Em Mecˆanica Quˆantica existe um crit´erio muito simples para saber se uma dada quantidade ´e conservada ou n˜ao, bastando avaliar o seu comutador com a hamiltoniana do sistema. De fato, a partir da equa¸c˜ao de Heisenberg (7.10) segue que o valor esperado de um observ´avel AH num estado |ψ 0 〉 ´e obedece
d dt
〈ψ 0 |AH |ψ 0 〉 =
i¯h
〈ψ 0 |[AH , H]|ψ 0 〉 , (7.30)
onde estamos trabalhando na representa¸c˜ao de Heisenberg, e conseq¨uen- temente a derivada em rela¸c˜ao ao tempo atua somente sobre AH. Por- tanto, o valor esperado de AH ser´a independente do tempo para qual- quer estado |ψ 0 〉 se [AH , H] = 0, i.e. basta que AH comute com a
(^1) Estamos aqui trabalhando na representa¸c˜ao de Heisenberg, mas as conclus˜oes s˜ao idˆenticas para a de Schr¨odinger.
126 Cap´ıtulo 7. Representa¸c˜ao de Heisenberg e Simetrias
Z
r
Figura 7.1: Defini¸c˜ao da geometria do sistema bidimensional.
Vejamos em um exemplo simples, como as simetrias est˜ao rela- cionadas `as leis de conserva¸c˜ao em Mecˆanica Quˆantica. Considere- mos um sistema bidimensional o qual ´e invariante por rota¸c˜oes ao re- dor do eixo z perpendicular ao plano. Utilizando coordenadas polares, vide Figura 1, os estados deste sistema s˜ao dados por fun¸c˜oes de onda ψ(r, θ, t). Se o sistema for invariante por rota¸c˜oes temos que
ψ¯(r, θ, t) = ψ(r, θ + α, t) (7.32)
tamb´em ´e solu¸c˜ao se ψ(r, θ, t) o for, i.e.
i¯h
∂ψ ∂t
= Hψ , (7.33)
i¯h
∂ ψ¯ ∂t
= H ψ .¯ (7.34)
Nunca ´e demais destacar que estas duas solu¸c˜oes n˜ao s˜ao necessaria- mente idˆenticas.
A primeira li¸c˜ao que este exemplo nos fornece ´e que podemos rela- cionar ψ e ψ¯ atrav´es de um operador unit´ario. Para tanto basta ex- pandir ψ¯ em s´erie de Taylor em torno de α = 0 e reescrever os termos
7.3. Simetrias 127
de forma conveniente:
ψ¯(r, θ, t) = ψ(r, θ + α, t)
=
∑^ ∞
n=
αn n!
dnψ dθn
∣∣ ∣∣ ∣ θ
∑^ ∞
n=
n!
( α
d dθ
)n ψ
= eα^ dθd ψ = eiα^
Lz ¯h ψ , (7.35)
onde Lz ´e a terceira componente do momento angular. E f´´ acil mostrar, fa¸ca-o, que o operador U = exp(iαLz /¯h) ´e unit´ario. Neste exemplo ´e f´acil ver que a simetria de rota¸c˜ao ao redor do eixo z est´a associada `a conserva¸c˜ao do momento angular na dire¸c˜ao z. De fato, substituindo (7.35) em (7.34) temos que
eiα^
Lz ¯h (^) i¯h∂ψ ∂t
= Heiα^
Lz ¯h (^) ψ. (7.36)
Agora aplicando e−iα^
Lz ¯h (^) `a esquerda nos dois membros desta equa¸c˜ao
segue que
i¯h
∂ψ ∂t
= e−iα^
Lz ¯h (^) Heiα^ Lz ¯h (^) ψ. (7.37)
Visto que esta ´ultima equa¸c˜ao deve ser igual a (7.33) temos que
H = e−iα^
Lz ¯h Heiα^
Lz ¯h , (7.38)
que ´e v´alida para qualquer valor de α. Derivando esta ´ultima express˜ao com respeito a α e fazendo α = 0 conduz a
dH dα
∣∣ ∣∣ ∣α=0^ = 0^ =⇒^ 0 =^
i ¯h
(HLz − Lz H). (7.39)
Portanto, temos que Lz ´e conservado j´a que da ´ultima igualdade segue que [H, Lz ] = 0. (7.40)
7.3.1 Transforma¸c˜oes
Neste ponto ´e interessante analisar como os estados e os observ´aveis mudam quando fazemos uma transforma¸c˜ao em um sistema, a qual
7.3. Simetrias 129
Estas leis de transforma¸c˜ao s˜ao as mesmas que obtemos quando fazemos uma mudan¸ca de base em um espa¸co vetorial. Tendo em vista que desejamos que a estrutura da Mecˆanica Quˆantica seja preservada o operador U deve ser tal que U−^1 = U†. H´a v´arias maneiras de ver que isto ´e verdade. Usando que as m´edias de observ´aveis n˜ao devem ser modificadas temos que
〈ψ′|A′|ψ′〉 = 〈ψ|U†UAU−^1 U|ψ〉 = 〈ψ|U†UA|ψ〉 , (7.48)
o que nos conduz a U−^1 = U†. Esta mesma conclus˜ao poderia ser obtida requerendo que o operador A′^ seja hermitiano, para qualquer A hermitiano,
A′†^ = U−^1 †AU†^ = UAU−^1. (7.49)
Exerc´ıcio:
Obtenha este resultado a partir de |〈α′|β′〉| = |〈α|β〉|.
Teorema de Wigner
Quando consideremos transforma¸c˜oes de um sistema (7.43) e (7.47) e exigimos que a estrutura da Mecˆanica Quˆantica seja preservada ´e poss´ıvel demonstrar que existem duas possibilidades para o operador U:
- U ´e unit´ario, isto ´e, UU†^ = 1 e U ´e um operador linear
U(c 1 |α〉 + c 2 |β〉) = c 1 U|α〉 + c 2 U|β〉.
- U ´e anti-unit´ario, isto ´e, UU†^ = 1 mas
U(c 1 |α〉 + c 2 |β〉) = c? 1 U|α〉 + c? 2 U|β〉.
Esta possibilidade acontece quando consideramos a simetria por revers˜ao temporal.
130 Cap´ıtulo 7. Representa¸c˜ao de Heisenberg e Simetrias
Neste ponto ´e interessante dar alguns exemplos de transforma¸c˜oes associadas a operadores unit´arios, sugerindo fortemente que o leitor prove que suas express˜oes est˜ao corretas.
- Como vimos anteriormente, rota¸c˜oes de um ˆangulo α ao redor do eixo z s˜ao dadas por U = eiα^
Lz ¯h (^) ;
- Transla¸c˜oes espaciais por a, i.e. x′^ = x + a s˜ao implementadas pelo operador unit´ario
U = ei^
a·p ¯h (^) ,
onde p ´e o operador momento linear. Note que este operador n˜ao s´o desloca a coordenada de um estado por a, mas tamb´em modifica o operador posi¸c˜ao segundo x′^ = U x U†^ = x + a.
- Transla¸c˜oes temporais por δt s˜ao realizadas pelo operador unit´ario
U = e−i^
Hδt h ¯ (^).
7.4 Simetrias e Leis de Conserva¸c˜ao
Agora estamos em condi¸c˜oes de demonstrar que simetrias est˜ao associ- adas a quantidades conservadas em Mecˆanica Quˆantica. Consideremos uma transforma¸c˜ao U (unit´aria) a qual leva solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Schr¨odinger em solu¸c˜oes, isto ´e satisfaz (7.33) e (7.34). Escrevendo ψ¯ = Uψ e substituindo em (7.34) temos que
ih¯
∂ ψ¯ ∂t
= H ψ¯ =⇒
i¯h
∂t
(Uψ) = HUψ =⇒
Ui¯h
∂ψ ∂t
= HUψ =⇒
ih¯
∂ψ ∂t
= U−^1 HUψ. (7.50)
132 Cap´ıtulo 7. Representa¸c˜ao de Heisenberg e Simetrias
Esta hamiltoniana ´e invariante pela transforma¸c˜ao de paridade x → −x. Esta transforma¸c˜ao ´e implementada pelo operador P tal que
ψ¯(x) = P ψ(x) = ψ(−x). (7.55)
E f´´ acil verificar que ψ¯ ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de Schr¨odinger se ψ o for, e conseq¨uentemente que a paridade ´e uma simetria do sistema. Para provar este fato basta notar que
P V (x)ψ(x) = V (−x)ψ(−x) = V (x)ψ(−x) = V (x)P ψ(x)
e tamb´em
P
( −
¯h^2 2 μ
∂^2 ψ ∂x^2
) = −
¯h^2 2 μ
∂^2
∂ (−x)^2
ψ(−x) = −
h¯^2 2 μ
∂^2
∂x^2
P ψ.
Logo, P Hψ = HP ψ.
Visto que a transforma¸c˜ao x → −x n˜ao pode ser feita continuamente,^3 o operador paridade P n˜ao pode ser escrito na forma eiαG. Mais ainda, o operador P possui as seguintes propriedades:
- P ´e hermitiano: para ver este fato avaliamos ∫ (^) +∞
−∞
dx ψ 1? (x)P ψ 2 (x) =
∫ (^) +∞
−∞
dx ψ? 1 (x)ψ 2 (−x)
fazendo a troca de vari´avel x → −x temos que ∫ (^) +∞
−∞
dx ψ? 1 (x)P ψ 2 (x) =
∫ (^) +∞
−∞
dx ψ? 1 (−x)ψ 2 (x)
∫ (^) +∞
−∞
dx (P ψ 1 )?(x)ψ 2 (x) ,
o que demonstra que P †^ = P.
- P 2 = 1: de fato P 2 ψ(x) = P ψ(−x) = ψ(x) , qualquer que seja ψ. Logo, P 2 = 1.
- P ´e unit´ario j´a que P P †^ = P P = 1, onde usamos as pro- priedades anteriores.
(^3) Para ver isto basta notar que n˜ao existe escolha de parˆametros da transforma¸c˜ao tal que a transforma¸c˜ao seja igual ao operador unidade.
7.5. Simetrias e Degenerescˆencia 133
Exerc´ıcio
Mostre que os autovalores de P s˜ao ±1.
7.5 Simetrias e Degenerescˆencia
Mostraremos agora que degenerescˆencias est˜ao associadas a existˆencia de quantidades conservadas as quais n˜ao podem ser diagonalizadas si- multaneamente por n˜ao comutarem entre si. Para demonstrarmos este fato, assumamos que existe uma transforma¸c˜ao de simetria U = eiαG^ e que a hamiltoniana do sistema foi diagonalizada simultaneamente com outros operadores os quais n˜ao comutam com G. Como G n˜ao pode ser diagonalizado juntamente com os outros operadores, temos que os autovetores da hamiltoniana n˜ao s˜ao em geral autovetores de G. Por exemplo, no caso do ´atomo de hidrogˆenio, temos que rota¸c˜oes em torno dos eixos x ou y n˜ao comutam com Lz , o que nos leva a identificar G com Lx ou Ly. Note que os estados |nm〉 n˜ao s˜ao autoestados de Lx(y) exceto para ` = 0. Escrevamos o problema de autovetores de H na forma
H|En〉 = En|En〉.
Dado que G e H comutam temos que G|En〉 tamb´em ´e autovetor de H com autovalor En:
H G|En〉 = G H|En〉 = G En|En〉 = En G|En〉.
Visto que |En〉 tamb´em ´e autoestado de operadores que n˜ao comutam com G ´e mandat´orio que existam estados para os quais G|En〉 n˜ao ´e proporcional a |En〉. Se isto n˜ao ocorresse, poder´ıamos diagonalizar G simultaneamente com os outros operadores, o que vai de encontro `a nossa hip´otese destes operadores n˜ao comutarem com G. Logo, G|En〉 ´e linearmente independente de |En〉 e como estes vetores est˜ao associados ao mesmo autovalor de H (En) vemos que existem estados degenerados. A guisa de ilustra¸c˜ao, consideremos um ´atomo de hidrogˆenio. Tradi- cionalmente diagonalizamos H, L^2 e Lz , sendo que os operadores Lx e
