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Cap´ıtulo 8
Momento Angular
Neste cap´ıtulo vamos estudar os autovalores e autovetores do momento angular. Este problema tamb´em pode ser analisado com o uso do m´etodo de operadores, o que faremos na primeira parte deste cap´ıtulo. Por outro lado, tamb´em ´e muito instrutivo estudar o problema de au- tovalores para o momento angular orbital j´a que isto n˜ao s´o fornece maiores informa¸c˜oes sobre a solu¸c˜ao obtida pelo m´etodo de operadores, mas tamb´em prepara o terreno para o estudo de problemas tridimen- sionais.
8.1 Algebra do Momento Angular´
O momento angular orbital ´e uma quantidade importante para a an´alise de problemas cl´assicos e quˆanticos que cont´em potenciais centrais, dado que ele ´e uma quantidade conservada. O momento angular orbital ´e definido por L ≡ x ∧ p , (8.1)
sendo que esta express˜ao n˜ao apresenta problema de ordenamento em Mecˆanica Quˆantica. As componentes do momento angular orbital s˜ao dadas por
Lx = ypz − zpy , (8.2) Ly = zpx − xpz , (8.3) Lz = xpy − ypx. (8.4)
136 Cap´ıtulo 8. Momento Angular
Daqui podemos obter as seguintes rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao:
[Lx, Ly] = i¯hLz , (8.5) [Ly , Lz] = i¯hLx , (8.6) [Lz , Lx] = i¯hLy , (8.7)
as quais podem ser resumidas usando-se o tensor de Levi-Civita (kjn),
[Lk, Lj ] = i¯hkjnLn , (8.8)
onde as componentes 1, 2 e 3 representam x, y e z respectivamente. Tamb´em ´e ´util definir o quadrado do momento angular orbital
L^2 ≡ L · L = L^2 x + L^2 y + L^2 z. (8.9)
Utilizando as rela¸c˜oes (8.5) a (8.7) temos que L^2 comuta com todas as componentes do momento angular orbital, i.e. [ L^2 , Li
] = 0. (8.10)
Como veremos logo abaixo, ´e conveniente definir as seguintes com- bina¸c˜oes dos operadores Lx e Ly
L+ = Lx + iLy , (8.11) L− = Lx − iLy , (8.12)
as quais est˜ao ligadas atrav´es de L† + = L−. Mais ainda, podemos expressar L^2 em termos dos operadores L± utilizando as seguintes rela¸c˜oes:
L+L− = L^2 − L^2 z + ¯hLz , (8.13) L−L+ = L^2 − L^2 z − ¯hLz , (8.14)
onde o ´util termo destas equa¸c˜oes origina-se do comutador de Lx com Ly. E tamb´´ em f´acil mostrar, usando as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao (8.5) a (8.7), que [ L^2 , L±
] = 0 , (8.15) [Lz , L±] = ±¯hL±. (8.16)
138 Cap´ıtulo 8. Momento Angular
- O operador L+ aplicado a Φ`m ´e um autoestado de Lz com auto- valor ¯h(m + 1), ou seja o operador L+ ´e an´alogo ao operador de cria¸c˜ao a†^ do oscilador harmˆonico. De fato,
Lz (L+Φm) = (L+Lz + ¯hL+)Φm = ¯h(m + 1)(L+Φ`m) , (8.21)
onde utilizamos a equa¸c˜ao (8.16) para obter a primeira igualdade.
- Analogamente, o operador L− aplicado a Φ`m ´e autovetor de Lz com autovalor ¯h(m−1), mostrando que L− ´e an´alogo ao operador de aniquila¸c˜ao a do oscilador harmˆonico.
Lz (L−Φm) = (L−Lz − ¯hL−)Φm = ¯h(m − 1)(L−Φ`m) , (8.22)
- Uma vez que L± e L^2 comutam os vetores L±Φ
m s˜ao autoestados de L^2 com autovalor ¯h^2(` + 1), i.e.
L^2 (L±Φm) = ¯h^2(+ 1)(L±Φm). (8.23)
Autovalores
Obtenhamos os poss´ıveis valores de ` e m a partir destes fatos. As desigualdades (8.19) e (8.20) permitem-nos concluir que
|m| ≤ `. (8.24)
Visto que a a¸c˜ao de L+ aumenta de uma unidade o autovalor m, vide (8.21), e que m ≤ `, temos que deve existir um mmax tal que
L+Φ`mmax = 0 , (8.25)
para que o v´ınculo (8.24) n˜ao seja violado. Dado que o vetor L+Φ`mmax tem m´odulo nulo, usando (8.20) para este vetor segue que
( + 1) − mmax(mmax + 1) = 0 =⇒ mmax = `. (8.26)
Logo, temos que L+Φ`` = 0. (8.27)
8.2. Solu¸c˜ao Alg´ebrica 139
Analogamente, o fato de L− abaixar de uma unidade o autovalor m juntamente com −≤ m de (8.24) conduzem a conclus˜ao de que deve existir um valor m´ınimo para m (mmin) tal que L−Φmmin = 0. Pode-se mostrar utilizando (8.19) que mmin = −`. Logo,
L−Φ− = 0. (8.28) Uma vez que a¸c˜oes sucessivas de L+ devem eventualmente levar ao vetor nulo para que (8.24) n˜ao seja violada, sucessivas aplica¸c˜oes L+ a Φ− devem produzir a um estado proporcional a Φ. Portanto, 2` deve ser um n´umero inteiro: o de aplica¸c˜oes de L+ que conduzem de Φ`−` a Φ. Com isso, temos que os valores poss´ıveis de ` s˜ao inteiros e semi-inteiros.
` = 0 ,
enquanto que m ´e inteiro ou semi-inteiro conforme o seja e satisfaz − ≤ m ≤ `.
Autovetores
Analogamente a solu¸c˜ao por operadores do oscilador harmˆonico do cap´ıtulo 6, podemos determinar os autoestados do momento angular partindo da equa¸c˜ao (8.27) ou de (8.28), substituindo a forma expl´ıcita do operador L+ ou L− respectivamente. Este procedimento conduz a uma equa¸c˜ao simples que fornece como resultado Φ`` ou Φ−. De posse de um destes vetores, sucessivas aplica¸c˜oes de L+ ou L− permitem-nos construir todos os autoestados com |m| ≤ dado um valor de . Uma vez que assumimos que os autovetores Φm est˜ao normalizados e que L±Φ`m ´e um autoestado de Lz com autovalor ¯h(m±1), as rela¸c˜oes (8.19) e (8.20) permitem-nos escrever que
Φ`m± 1 =
¯h
√ ( + 1) − m(m ± 1)
L±Φ`m. (8.30)
A seguir obteremos os autoestados do momento angular orbital re- solvendo explicitamente as equa¸c˜oes de autovalores em vez de utilizar o m´etodo descrito acima. Todavia, recomendamos fortemente ao leitor que obtenha alguns autoestados do momento angular orbital utilizando o m´etodo acima.
8.3. Solu¸c˜ao Expl´ıcita 141
onde os autoestados Φm s˜ao dados pelas fun¸c˜oes Ym(θ, ϕ). Para faci- litar a an´alise, usaremos o resultado da se¸c˜ao anterior que |m| ≤ va- riando em passos de uma unidade. Para especificarmos completamente o problema devemos adotar uma condi¸c˜ao de contorno. Neste pro- blema ´e natural impor que o valor de Ym seja o mesmo para (θ, ϕ = 0) e (θ, ϕ = 2π), uma vez que estas duas escolhas representam o mesmo ponto do espa¸co. Ym(θ, 0) = Ym(θ, 2 π) (8.42) A solu¸c˜ao de (8.41) pode ser facilmente obtida, sendo dada por
Y`m = H(θ) eimϕ^ , (8.43)
onde H ´e um fun¸c˜ao apenas de θ. Impondo a condi¸c˜ao de contorno (8.42) temos que m deve ser um inteiro, ou seja, a condi¸c˜ao de contorno n˜ao ´e compat´ıvel com valores semi-inteiros para m. Com isso, temos que m e ` podem apenas ser inteiros no caso do momento angular orbital. Para maiores informa¸c˜oes, veja a pr´oxima se¸c˜ao. Para determinarmos H(θ) substitu´ımos (8.43) em (8.40), resultando em
1 sin θ
d dθ
( sin θ
dH dθ
) −
m^2 sin^2 θ
H + ( + 1)H = 0. (8.44)
E conveniente neste ponto fazer a substitui¸´ c˜ao de vari´aveis ξ = cos θ, que nos permite escrever
d dξ
[ (1 − ξ^2 )
dH dξ
] −
m^2 1 − ξ^2
H + ( + 1)H = 0. (8.45)
Esta ´e a equa¸c˜ao diferencial de Legendre cujas solu¸c˜oes bem compor- tadas (n˜ao divergentes) no intervalo |ξ| ≤ 1 s˜ao as fun¸c˜oes associadas de Legendre P (^) `m (ξ).
P (^) `m (ξ) =
(−1)m(+ m)! 2 ``!( − m)!
(1 − ξ^2 )−^
m 2 d−m dξ−m^
(1 − ξ^2 )`^ (8.46)
Portanto, a solu¸c˜ao do problema de autovetores ´e dada por
Ym(θ, ϕ) = Cm eimϕ^ P (^) `m (cos θ) , (8.47)
142 Cap´ıtulo 8. Momento Angular
onde a constante C`m deve ser escolhida para que o estado esteja pro- priamente normalizado. Tendo em vista que os estados que estamos tratando dependem apenas de θ e ϕ, ´e natural definir o produto escalar atrav´es de
〈Ψ|Φ〉 ≡
∫ (^2) π
0
dϕ
∫ (^) π
0
dθ sin θ Ψ∗(θ, ϕ)Φ(θ, ϕ) , (8.48)
onde a integral ´e feita apenas sobre a parte angular do elemento de volume em coordenadas esf´ericas. Requerendo que
〈Ym|Y′m′ 〉 = δ``′ δmm′ (8.49)
as constantes Cm ficam determinadas a mesmos de uma fase, sendo que na conven¸c˜ao que adotamos os harmˆonicos esf´ericos Ym s˜ao dados por
Y`m(θ, ϕ) = (−1)m
√√ √√ 2 ` + 1 4 π
(− m)! ( + m)!
eimϕ^ P (^) `m (cos θ). (8.50)
Os harmˆonicos esf´ericos com ` mais baixos s˜ao
Y 00 =
√ 1 4 π
Y 10 =
√ 3 4 π
cos θ , (8.52)
Y 1 ± 1 = ∓
√ 3 8 π
e±iϕ^ sin θ , (8.53)
Y 20 =
√ 5 16 π
( 3 cos^2 θ − 1
) , (8.54)
Y 2 ± 1 = ∓
√ 15 8 π
e±iϕ^ cos θ sin θ , (8.55)
Y 2 ± 2 =
√ 15 32 π
e±^2 iϕ^ sin^2 θ. (8.56)
8.4 Discuss˜ao
A solu¸c˜ao formal do problema de autovetores de L^2 e Lz , obtida pelo m´etodo de operadores, permite que ` e m assumam valores semi-inteiros.
