Cap´ıtulo9ProblemasTridimensionaisI9.1Probl, Notas de estudo de Física

Baixe Cap´ıtulo9ProblemasTridimensionaisI9.1Probl e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity!

Cap´ıtulo 9

Problemas Tridimensionais I

Neste cap´ıtulo vamos estudar alguns problemas tridimensionais, a saber, a part´ıcula livre e o espectro discreto de hamiltonianas envolvendo po- tenciais centrais. Devido a simetria de rota¸c˜ao destes problemas, os autoestados da hamiltoniana ser˜ao escolhidos de modo a serem tamb´em autoestados do momento angular, i.e. de Lz e L^2 estudados no ´ultimo cap´ıtulo.

9.1 Problema de dois corpos quˆantico

A exemplo do que ocorre em Mecˆanica Cl´assica, o problema quˆantico de dois corpos pode ser separado no movimento do centro de massa e no relativo, desde que o potencial de intera¸c˜ao dependa apenas da coordenada relativa entre as part´ıculas. Consideremos a hamiltoniana

H =

p^21 2 m 1

p^22 2 m 2

• V (r 1 − r 2 ) , (9.1)

a qual apresenta seis graus de liberdade (r 1 , r 2 ). A transforma¸c˜ao

r = r 1 − r 2 , (9.2)

p =

m 2 p 1 − m 1 p 2 m 1 + m 2

R =

m 1 r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2

P = p 1 + p 2 , (9.5)

9.2. Part´ıcula livre 147

9.1.1 Separa¸c˜ao das vari´aveis

Uma vez que [Hcm, Hrel] = 0, podemos aplicar o m´etodo de separa¸c˜ao de vari´aveis para resolver o problema de autovalores de H

HΦ = EΦ. (9.13)

Dado que H ´e a soma de dois operadores que dependem de vari´aveis diferentes, vide (9.6), ´e natural procurar solu¸c˜oes da forma

Φ = Ψcm(R)Ψrel(r) , (9.14)

que substitu´ıda em (9.13) conduz a

HcmΨcm = EcmΨcm , (9.15) HrelΨrel = ErelΨrel , (9.16) E = Ecm + Erel. (9.17)

Esta ´ultima express˜ao nada mais ´e do que a afirma¸c˜ao de que a energia total do sistema ´e a soma da energia interna (Erel) com a energia cin´etica do sistema como um todo (Ecm). Vamos agora revisitar o problema de uma part´ıcula livre em trˆes dimens˜oes, j´a este est´a associado ao centro de massa do sistema, bem como analisar diversos exemplos de movimento internos, para os quais o potencial de intera¸c˜ao ´e central.

9.2 Part´ıcula livre

Encontremos os autoestados e autovalores de uma part´ıcula livre, cuja hamiltoniana ´e dada por Hcm = P^2 / 2 M. Para tanto vamos procu- rar o maior n´umero poss´ıvel de operadores que comutem entre si e com esta hamiltoniana, visando requerer que os autoestados da hamil- toniana tamb´em sejam autoestados destes operadores. Este procedi- mento permite rotular os autoestados atrav´es dos autovalores (n´umeros quˆanticos) associados aos diversos operadores. Devido a simplicidade desta hamiltoniana ´e poss´ıvel fazer v´arias escolhas distintas do conjunto de operadores a serem diagonalizados simultaneamente.

148 Cap´ıtulo 9. Problemas Tridimensionais I

9.2.1 Autoestado do momento linear

Uma vez que a hamiltoniana deste sistema comuta com o momento linear (P) podemos diagonalizar simultaneamente estes operadores:

Puk(R) = kuk(R) , (9.18) P^2 2 M

uk(R) = Ecmuk(R). (9.19)

A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (9.18) ´e

uk(R) = A eik·R/¯h^ , (9.20)

onde A ´e uma constante. Substituindo esta solu¸c˜ao em (9.19) temos que os autovalores da hamiltoniana s˜ao

Ecm =

k^2 2 M

Note que neste caso os autoestados da hamiltoniana e seus correspon- dentes autovalores s˜ao completamente especificados fixando trˆes n´ume- ros quˆanticos, a saber, kx, ky e kz. A constante de normaliza¸c˜ao A depende do esquema utilizado, como discutimos anteriormente. Caso suponhamos que o sistema est´a contido numa caixa de lados L temos que A = 1/L^3 /^2 , e que o espectro ´e discreto, dado por k = (nxi + ny j + nz k)2π/L, onde nx, ny e nz s˜ao inteiros. Por outro lado, se o espa¸co for infinito, podemos normalizar os autoestados utilizando um delta de Dirac, resultando que o espectro ´e cont´ınuo e que A = 1/(2π¯h)^3 /^2.

9.2.2 Como autoestado do momento angular

Podemos tamb´em diagonalizar Hcm simultaneamente com os operadores Lz e L^2 ,^1 uma vez que 2

[Hcm, Lz ] = [Hcm, L^2 ] = [Lz , L^2 ] = 0. (^1) Usamos aqui que L = R ∧ P. (^2) Exerc´ıcio: mostre estas rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao.

150 Cap´ıtulo 9. Problemas Tridimensionais I

2. Agora notamos que para ` = 0 as solu¸c˜oes linearmente indepen- dentes s˜ao dadas por

sin ρ ρ

e

cos ρ ρ

3. A seguir extra´ımos o comportamento assint´otico de R para ρ indo a zero. E f´´ acil mostrar que neste limite^4 as solu¸c˜oes do problema s˜ao ρ^ e ρ−−^1. (9.30)

Portanto, definimos

RE(ρ) ≡ ρχE`(ρ) , (9.31)

onde χE` satisfaz

d^2 χE` dρ^2

2(` + 1)

ρ

dχE` dρ

• χE` = 0. (9.32)

4. E f´´ acil ver, substituindo em (9.32), que

χE`+1 =

ρ

dχE` dρ

ou seja, (^1) ρdχ dρE´e solu¸c˜ao de (9.32) com substitu´ıdo por ` + 1.

Esta ´ultima rela¸c˜ao (9.33) permite-nos obter todos os χE` a partir das solu¸c˜oes χE 0 (9.29).

RE= ρ

( 1 ρ

d dρ

)` χE 0 (9.34)

(^4) Exerc´ıcio: Mostre este fato.

9.2. Part´ıcula livre 151

Solu¸c˜oes padronizadas e suas propriedades

E tradicional padronizar as solu¸^ ´ c˜oes atrav´es de

j(ρ) ≡ (−1)ρ`

( 1 ρ

d dρ

)` sin ρ ρ

η(ρ) ≡ (−1)+1ρ`

( 1 ρ

d dρ

)` cos ρ ρ

onde j` (=

√ (^) π 2 ρ J`+1/^2 (ρ)) ´e a fun¸c˜ao de Bessel esf´erica, enquanto que

η` (=

√ (^) π 2 π N`+1/^2 (ρ)) ´e a fun¸c˜ao de Neumann esf´erica. E tamb´´ em usual definir as fun¸c˜oes de Hankel esf´ericas atrav´es de

h(1) ≡ j + iη, (9.37) h(2) ≡ j− iη. (9.38)

As fun¸c˜oes de Bessel esf´ericas de ordem mais baixa s˜ao dadas por

j 0 (ρ) =

sin ρ ρ

η 0 (ρ) = −

cos ρ ρ

j 1 (ρ) =

sin ρ ρ^2

cos ρ ρ

η 1 (ρ) = −

cos ρ ρ^2

sin ρ ρ

Uma propriedade importante das fun¸c˜oes de Bessel esf´ericas ´e o seu comportamento no limite de ρ → 0:

j`(ρ) →

ρ(2 + 1)!!

η`(ρ) → −

(2` − 1)!!

ρ`+^

onde (2+ 1)!! ≡ 1 · 3 · ... · (2 + 1). Por outro lado, o comportamento destas fun¸c˜oes para ρ → ∞ ´e dado por

j`(ρ) →

sin(ρ − `π/2) ρ

9.3. A equa¸c˜ao radial 153

o que significa que podemos diagonalizar simultaneamente H, L^2 e Lz. Logo, analogamente ao que fizemos no estudo da part´ıcula livre, Ψ pode ser escrita na forma

Ψ = RE(r)Ym(θ, ϕ) , (9.51)

que substitu´ıda em (9.50) resulta na equa¸c˜ao radial

¯h^2 2 μr

∂^2

∂r^2

(rRE`) +

( V (r) +

¯h^2 l(l + 1) 2 μr^2

) RE= ERE , (9.52)

a qual ´e uma equa¸c˜ao diferencial de segunda ordem para RE`(r). A equa¸c˜ao (9.52) toma uma forma mais sugestiva se escrevermos

RE`(r) =

uE`(r) r

uma vez que uE` obedece a

¯h^2 2 μ

d^2 uE` dr^2

( V (r) +

¯h^2 l(l + 1) 2 μr^2

) uE= EuE. (9.54)

Esta equa¸c˜ao possui uma interpreta¸c˜ao simples: uE` ´e o autoestado de um problema unidimensional sujeito a a¸c˜ao de um potencial efetivo

Veff (r) = V (r) +

¯h^2 l(l + 1) 2 μr^2

Note que este potencial efetivo tamb´em aparece naturalmente em Mecˆa- nica Cl´assica! Devido ao significado de r, este problema unidimensional possui a peculiaridade de estar definido apenas para r ≥ 0. Dado um autoestado do problema unidimensional uE, o qual inde- pende de m, podemos ver de (9.51) que os autovetores de H (Ψ) s˜ao degenerados, com uma degenerescˆencia m´ınima 2l + 1, que corresponde ao n´umero de estados com um dado momento angular total l. Neste cap´ıtulo consideraremos apenas os estados para os quais Ψ ´e normaliz´avel, i.e. analisaremos apenas o espectro discreto. Se Ψ ´e normaliz´avel, ent˜ao os RE (uE`) devem satisfazer

154 Cap´ıtulo 9. Problemas Tridimensionais I

∫ (^) ∞

0

dr r^2

∫ dΩ |RE(r)Ym(θ, ϕ)|^2 ,

=

∫ (^) ∞

0

dr r^2 |RE`(r)|^2 < ∞ , ou (9.56)

=

∫ (^) ∞

0

dr |uE`(r)|^2 < ∞ , (9.57)

onde utilizamos a normaliza¸c˜ao dos Y`m.

9.3.1 Condi¸c˜oes de contorno

Para que o estado seja normaliz´avel, satisfazendo (9.56) e (9.57), deve- mos impor que RE(uE) tenda a zero para r indo para infinito. Mais especificamente, RE(uE) deve ir a zero mais r´apido que r−^3 /^2 (r−^1 /^2 ) para grandes r’s. Analisemos agora qual a condi¸c˜ao de contorno que devemos impor sobre RE(uE) no ponto r = 0.^7 Para que o estado Ψ seja normaliz´avel ´e natural requerer que a integral na origem

∫ 0 dr r

2 |R

E`|

(^2) seja conver-

gente. Todavia, esta exigˆencia n˜ao ´e suficiente para fixar a condi¸c˜ao de contorno em r = 0. Para vermos isto, consideremos o caso V = 0 (part´ıcula livre) e = 0. Neste caso existem duas solu¸c˜oes para RE, a saber

j 0 (kr) =

sin(kr) r

e η 0 (kr) = −

cos(kr) r

A segunda solu¸c˜ao (η 0 ) apesar de satisfazer o crit´erio que

∫ 0 dr r

(^2) |η 0 (kr)| 2

< ∞, n˜ao pode ser aceita pois, para r → 0, temos que η 0 → r−^1 e con- seq¨uentemente ∇^2 η 0 ∝ δ(r)! Logo, η 0 n˜ao ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de au- tovalores da Hamiltoniana!^8 Mais ainda, em geral, para que a equa¸c˜ao de autovalores de H em coordenadas esf´ericas seja igual a mesma es- crita em coordenadas cartesianas devemos impor a condi¸c˜ao adicional que rRE → 0 no limite r → 0. Em termos de uE, esta condi¸c˜ao significa que uE → 0 neste limite.

(^7) Vamos aqui delinear um argumento usado por Dirac. Para maiores detalhes vide P.A.M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics (Oxford, New York, 1958). (^8) Al´em disso lembre-se que a solu¸c˜ao em coordenadas cartesianas exp(−ik · x) ´e finita em todos os pontos.

156 Cap´ıtulo 9. Problemas Tridimensionais I

Figura 9.1: Valores de α^2 nr como fun¸c˜ao de nr. O valor de est´a indicado sobre as linhas.

onde Ae B s˜ao constantes. Utilizando a condi¸c˜ao de contorno (u(0) =

1. discutida na se¸c˜ao anterior, conclu´ımos que B= 0. A outra condi¸c˜ao de contorno deste problema ´e RE(a) = 0, devido a continuidade de R em r = a. Logo, j(ka) = 0, implicando que ka = αnr, onde αnr ´e o nr -´esimo zero da fun¸c˜ao de Bessel esf´erica j. Portanto,

E =

¯h^2 2 μa^2

α^2 nr `. (9.64)

A tabela abaixo fornece αnr para alguns pares (nr,), enquanto que os n´ıveis mais baixos do espectro s˜ao mostrados na Figura (9.1).

l \ nr 1 2 3 4 0 π 2 π 3 π 4 π 1 4.493 7.725 10.904 14. 2 5.764 9.095 12. 3 6.988 10.417 13.

Note que o estado fundamental deste sistema possui ` = 0, e con- seq¨uentemente ele ´e n˜ao degenerado. Este ´e um fato geral em Mecˆanica Quˆantica.

9.5. Po¸co esf´erico 157

Exerc´ıcio:

Para = 0 a situa¸c˜ao ´e bem mais simples j´a que j 0 = sin(kr)/r, sendo αnr 0 = nrπ. Qual a rela¸c˜ao entre os estados com = 0 e os estados de uma caixa unidimensional?

9.5 Po¸co esf´erico

No cap´ıtulo 4 vimos que um po¸co de potencial atrativo sempre possui ao menos um estado ligado, n˜ao importando a sua profundidade ou o seu alcance. Visando mostrar que o mesmo fenˆomeno n˜ao ocorre em pro- blemas tridimensionais, vamos agora estudar a condi¸c˜ao de existˆencia de estados ligados para o po¸co esf´erico descrito pelo potencial

V (r) =

{ −V 0 para 0 < r < a 0 para r > a

Para for¸cas que independem do momento angular do sistema, o estado de mais baixa energia possui = 0 j´a que isto minimiza a energia cin´etica^9. Logo, para verificarmos a existˆencia ou n˜ao de estados ligados basta estudarmos a sua existˆencia no caso = 0. A equa¸c˜ao radial para uE 0 neste caso ´e dada por

¯h^2 2 μ

d^2 uE 0 dr^2

− V 0 uE 0 = EuE 0 para 0 < r < a (9.66)

¯h^2 2 μ

d^2 uE 0 dr^2

= EuE 0 para r > a , (9.67)

onde −V 0 < E < 0 no caso de estados ligados. A solu¸c˜ao geral destas equa¸c˜oes ´e

uE 0 =

{ A sin(qr) + B cos(qr) para 0 < r < a Ce−kr^ + Dekr^ para r > a

onde A, B, C e D s˜ao constantes e definimos

q^2 =

2 μ ¯h^2

(E + V 0 ) e k^2 = −

2 μ ¯h^2

E. (9.69)

(^9) Prove este fato.

9.6. Atomo de hidrogˆ´ enio: espectro discreto 159

onde e ´e a carga el´etrica do pr´oton. O problema de autovalores desta hamiltoniana ´e ( −

¯h^2 2 μr

∂^2

∂r^2

r +

L^2

2 μr^2

Ze^2 r

) Ψ = EΨ. (9.75)

Os estados ligados deste sistema s˜ao aqueles associados a autovalores negativos da hamiltoniana (E < 0). Utilizando o ansatz (9.51) e (9.53), obtemos que a equa¸c˜ao radial deste problema ´e dada por ( −

d^2 dr^2

( + 1)

r^2

2 μZe^2 ¯h^2

r

• κ^2

) uk` = 0 , (9.76)

onde E = −¯h^2 κ^2 / 2 μ. Nosso primeiro passo para resolver esta equa¸c˜ao ser´a escrevˆe-la em termos de vari´aveis adimensionais. Para tanto defi- nimos ρ = 2κr , (9.77)

o raio de Bohr

a 0 =

¯h^2 μe^2

= 0, 529 × 10 −^10 m , (9.78)

e

ξ =

Z

κa 0

Em termos destas quantidades (9.76) toma a forma

d^2 u dρ^2

( + 1)

ρ^2

u +

( ξ ρ

) u = 0. (9.80)

Visando simplificar esta equa¸c˜ao, vamos fatorar o comportamento assint´otico da solu¸c˜ao nos limites ρ → 0 e ρ → ∞. No limite ρ → 0, podemos desprezar os dois ´ultimos termos da equa¸c˜ao (9.80), resultando em d^2 u dρ^2

( + 1)

ρ^2

u ∼= 0. (9.81)

Daqui podemos ver que para pequenos ρ’s o comportamento das solu¸c˜oes ´e o mesmo encontrado para as part´ıculas livres, i.e.

ρ−^ ou ρ+1^. (9.82)

160 Cap´ıtulo 9. Problemas Tridimensionais I

Por outro lado, no limite ρ → ∞ a equa¸c˜ao (9.80) reduz-se a

d^2 u dρ^2

u ∼= 0 , (9.83)

cujas solu¸c˜oes s˜ao

e−^

ρ (^2) e e ρ (^2). (9.84)

As condi¸c˜oes de contorno sobre u (u(0) = 0 e u(∞) = 0), junta- mente com estes comportamentos assint´oticos, sugerem que fa¸camos a seguinte transforma¸c˜ao

u = ρ`+1e−^

ρ (^2) χ(ρ) , (9.85)

onde a nova vari´avel dependente χ satisfaz a

ρ

d^2 χ dρ^2

• (2` + 2 − ρ)

dχ dρ

− (` + 1 − ξ)χ = 0. (9.86)

Neste ponto^10 utilizamos o m´etodo de Frobenius para obter χ. Para tanto escrevemos

χ(ρ) =

∑^ ∞

k=

akρk^. (9.87)

Para verificar qual a rela¸c˜ao de recorrˆencia que os ak satisfazem sub- stitu´ımos (9.87) em (9.86), implicando que

ak+1 =

k + + 1 − ξ (k + 1)(k + 2 + 2)

ak. (9.88)

Agora devemos analisar o comportamento assint´otico (ρ → ∞) de χ com o intuito de verificar em que circunstˆancias u satisfaz a sua condi¸c˜ao de contorno no infinito. Para tanto estudemos esta s´erie para k grande: ak+ ak

∼=^1

k

(^10) Para o eleitor mais atento, a equa¸c˜ao satisfeita por χ ´e a de Kummer cujas solu¸c˜oes podem ser expressas em termos das fun¸c˜oes hipergeom´etricas confluentes; vide apˆendice.

162 Cap´ıtulo 9. Problemas Tridimensionais I

Segundo esta padroniza¸c˜ao Lpq−p(0) = (q!)

2 (q−p)!p!.

• Os polinˆomios de Laguerre podem ser obtidos utilizando a f´ormula de Rodrigues:

Lp(ρ) ≡ L^0 p(ρ) = eρ^

dp dρp

( ρpe−ρ

)

. (9.95)

Por exemplo, utilizando esta express˜ao temos que

L 1 (ρ) = 1 − ρ , (9.96)

L 2 (ρ) = 2!

( 1 − 2 ρ +

ρ^2 2

)

. (9.97)

Por sua vez, os polinˆomios associados de Laguerre podem ser cal- culados a partir dos polinˆomios de Laguerre atrav´es de

Lqp(ρ) = (−1)q^

dq dρq^

[Lp+q(ρ)]. (9.98)

Alguns dos polinˆomios associados de Laguerre s˜ao

L^00 = 1 L^20 = 2 L^01 = 1 − ρ L^21 = 18 − 6 ρ L^02 = 2 − 4 ρ + ρ^2 L^22 = 144 − 96 ρ + 12ρ^2 L^10 = 1 L^30 = 6 L^11 = 4 − 2 ρ L^31 = 96 − 24 ρ L^12 = 18 − 18 ρ + 3ρ^2 L^32 = 1200 − 600 ρ + 60ρ^2

• Tamb´em temos que a seguinte rela¸c˜ao de ortogonalidade ´e satis- feita.

∫ (^) ∞

0

dρ e−ρρq+1Lqp(ρ)Lqp′ (ρ) = (2p + q + 1)

[(p + q)!]^3 p!

δpp′. (9.100)

9.6.1 Autovalores e autofun¸c˜oes normalizadas

Podemos agora explicitar a forma dos autoestados de H para ´atomos hidrogen´oides. Para tanto basta utilizar (9.51), (9.53), (9.85), (9.86) e

9.6. Atomo de hidrogˆ´ enio: espectro discreto 163

Figura 9.2: N´ıveis de energia dos estados ligados do ´atomo de hidrogˆenio.

(9.92), resultando que os autoestados normalizados s˜ao dados por

Ψn`m(r, θ, ϕ) = (2κ)^3 /^2

√√ √√ (n − − 1)! 2 n[(n +)!]^3

ρ`e−^

ρ (^2) L^2 n−+1− 1 (ρ)Y`m(θ, ϕ) ,

(9.101) onde κ = Z/na 0 e ρ = 2Z/na 0. Os autovalores (En) associados a estes autoestados s˜ao dados por (9.79) e (9.91).

En = −

e^4 μ 2¯h^2

Z^2

n^2

Z^2

n^2

eV (9.102)

E importante lembrar que´ n = 1, 2, ... e que l ≤ n − 1. O estado fundamental possui n = 1 e l = 0, com uma energia de aproximada- mente -13.6 eV para o ´atomo de hidrogˆenio. Note tamb´em que existe um n´umero infinito de estados ligados, os quais possuem um ponto de acumula¸c˜ao em E = 0; vide Figura 9.2. Mais explicitamente, as fun¸c˜oes de onda radial para os estados de menor energia s˜ao

R 10 (r) = 2

( Z

a 0

) 3 / 2 e−^

Zr a (^0) , (9.103)