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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
PROBLEMA
O sonho de uma determinada jovem era tornar-se manequim. Tem a altura ideal, uma cara bonita, e até tem algum jeito para desfilar, mas … pesa 80 kg! Para resolver o seu problema, resolve seguir uma dieta rigorosa, de modo a emagrecer proporcionalmente ao peso de cada dia.
Sabendo-se que, levando à risca a dieta, ela emagrecerá 9 kg em 40 dias, e que deve perder 28 kg, quanto tempo será necessário para atingir o peso adequado?
1.1 DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA
DEFINIÇÃO, PROPRIEDADES
Supondo que uma dada equação f(x, y) = 0 define implicitamente y como função de x ,
y = ϕ (x) , pode obter-se facilmente a derivada desta função ϕ , sem ter de a explicitar. Basta
derivar toda a equação f(x, y) = 0 , considerando que y é função de x e usar o teorema da
derivada da função composta.
1. Calcule a derivada da função y = ϕ (x) , definida implicitamente pelas seguintes
equações:
a) x 2 + y^2 = 1 ; b) y-1) 4
x log^ y arcsen(x^2 - y) tg( +
π − = ;
c) y^2 = 4px; d) y 2 - 2xy+ b^2 = 0 ; e) y = sen(x-y); f) (x + y)^2 - (x-y)^2 =x^4 +y^4.
CAPÍTULO
2. Seja y = ϕ (x) uma função definida implicitamente pela equação:
y- 1) 4
x log^ y arcsen(x^2 - y) tg( +
π − =.
Determine a equação da recta tangente ao gráfico de ϕ no ponto de ordenada 1.
3. Obtenha a equação da tangente e da normal à curva definida implicitamente por
x 2 + y^2 = 1 , no ponto de abcissa 2
e ordenada positiva.
1.2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
DEFINIÇÃO, INTEGRAL (SOLUÇÃO) GERAL E PARTICULAR, …
Uma equação da forma: F(x, y,y′, y′′,...,y(n)^ )= 0 , onde:
F :D⊂ IRn^ +^2 → IR, F é uma função de n+2 variáveis, y é uma função de x e y(k)^ denota a derivada de ordem k de y em relação a x, é chamada de equação diferencial ordinária de ordem n.
4. Dada a equação diferencial
d y dx
6x + 3
2 2 =^ , com^ x^ ∈^ R: a) Determine o seu integral geral. b) Determine o integral particular da equação dada, que satisfaz as condições iniciais: y(0) = 1 e y'(0) = 0. c) Verifique que não existe nenhum integral particular que satisfaz as condições de fronteira: y(1) = 0, y´(0) = 1 e y´(1) = 0.
5. Para cada uma das seguintes alíneas, verifique que y é solução da equação diferencial
indicada e nas alíneas b) e c) calcule o integral particular que satisfaz as condições iniciais. a) y = 3x +
x
''' (^) + y '' (^) = x ∈R+
b) y = c e + c e -
1 5x^2 -2 x^ ex^ ; y^ ''^ −^3 y^ '^ −^10 y^ =6e^ x^ ; y(0) = 0 , y (0) = 1'
c) y = c e - x^ + x -1 ; y + y'^ =x ; y(0) = 0 d) y = e x^ (c 1 cos( x) + c 2 sen( x)) ; y ''^ − 2 y '+ 2 y= 0
6. Para cada uma das seguintes alíneas determine a equação diferencial de menor ordem
possível que possuí a família de curvas indicada como integral geral: a) y = sen( x+c ); b) y = ecx; c) y = cx^2 , c real não nulo; d) y = c 1 cos(x) + c 2 sen(x); e) y 2 = 2c x; f) x^2 + ( y-c )^2 = 4; g) ( x-c 1 )^2 + ( y-c 2 )^2 = 9; h) todas as rectas não verticais que têm a origem.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS TOTAL EXACTAS
14. Mostre que as equações diferenciais seguintes, são total exactas e calcule o seu integral
geral. a) (6x^2 y + 3y^2 )dx + (2x^3 + 6xy)dy = 0; b) (cos y + y cos x)dx + (sen x - x sen y)dy = 0; c) ((ey^ + 1) cos x)dx + (eysen x )dy = 0; d) (3x^2 y - 2y^3 +3)dx + (x^3 - 6xy^2 +2y)dy = 0.
15. Determine as soluções y(x) das seguintes equações diferenciais, que satisfazem as
condições iniciais indicadas. a) ( x^2 + y^2 )dx + 2xy dy = 0 y(1) = 1; b) ( x - y )dx + ( 2y - x )dy = 0 y(0) = 1; c) ( 2x cos y + 3x^2 y )dx + ( x^3 - x^2 sen y - y )dy = 0 y(0) = 2.
16. Determine a constante A de tal maneira que a equação seja exacta e resolva a equação
resultante. a) ( x^2 + 3xy )dx + ( Ax^2 + 4xy )dy = 0; b) ( ) )
x
y
dx + (
x + 1 y 2 +^2 3 dy = 0
A
17. Determine a expressão geral da função N(x,y) ( M(x,y) ) de tal maneira que as equações
seguintes sejam exactas: a) ( x^3 + xy^2 )dx + N(x,y)dy = 0; b) M(x,y)dx + ( 2x^2 y^3 + x^4 y )dy = 0.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS REDUTÍVEIS A TOTAL EXACTAS
18. Mostre que cada uma das seguintes equações diferenciais admite um factor integrante ,
função apenas de uma das variáveis e resolva cada uma das equações.
a) ( y + e y
y 2
x ' (^) 2ye 2 ) + + x= 0; b) ( x^2 + y )dx - x dy = 0;
c) ( x^2 + y^2 + x )dx + xy dy = 0; d) 2y^2 dx + 3xy dy = 0;
e) ( x^2 + y )dx + (
x y 3
xy + x)
3
- 2 dy = 0; f) (4x^3 - y^2 )dx + [ ( x^4 - x( y^2 + 2y)] dy = 0.
19. Mostrar que as equações seguintes admitem um factor integrante:
μ( x, y) = x n^ y m^ (n, m ∈ R). Resolver as equações: a) y(2x^2 + y) + x(y - y^2 )y' = 0; b) ydx + (x^2 y - x)dy = 0; c) (3x^2 - y^2 )dy -2xy dx = 0.
EXERCÍCIOS DE EXAME
20. Identifique e resolva as seguintes equações diferenciais:
a) 2 ydx + ( xy + 5 x)dy = 0 ; b) y ′= x - 1 + xy - y ; c) sen y cos x dx + (1+ sen x)dy = 0^2 ; d) ( x + 3 y)dx + ( 3 x - 2 y)dy = 0 ;
d) ( y sen
y x
y x
)dx - x sen
y x
dy = 0; e) ( vln v + 2 u ln u)du + ( uln v + u)dv = 0 ;
f) ( x - yx -1^ + ln y) + ( xy -1^ - ln x) y = 0′ ; g) ( x + y)dx = ( x - y)dy; h) y + 2y = e′^2 x^ ; i) xy + y + x = e ′ x.
21 Considere a equação diferencial A(x,y)dx + B(x,y)dy = 0 ,
onde: A(x,y) = xy 2 + G(x,y) e B(x,y) = x y^2 a) Qual a condição (ou condições) que a função G(x,y) deve verificar, por forma a equação referida seja total exacta. b) Para G(x,y) = x y^2 , prove que a equação diferencial resultante é homogénea e determine o seu integral geral. c) Para G(x,y) = -y x sin(^3 1 x) , prove que a equação diferencial resultante se pode transformar em Bernoulli e determine o seu integral particular que satisfaz a condição inicial y(^2 π) = 1.
a) Determine a solução da equação diferencial y -′
x + 2
y = x + 3,
que verifica y(-1) = 1. b) Verifique que a seguinte equação diferencial (x + y )dx - 2xydy = 0^2 , admite factor integrante em x e calcule o seu integral geral.
a) Qual a condição (ou condições) que G(x,y) deve verificar, por forma que a equação diferencial (3x y + 2xy^2 2 + 1)dx + (x 3 + G(x, y))dy = 0seja total exacta.
b) Identifique e resolva a seguinte equação diferencial y +′
x ln(x)
y =
ln(x) x
a) Determine a solução da equação diferencial xy + (x + 2)y = 1′ , que verifica y(1) = 1. b) Determine o integral geral da equação diferencial (x + y )dx - 2xydy = 0^2.
31. Considere o esquema ilustrado na figura seguinte, onde a partícula P está ligada a um
suporte por uma mola perfeitamente elástica. No sistema em causa não existe qualquer atrito ao longo do eixo horizontal s. A partícula é posta em movimento em s = 0 e puxada pela força F até a posição final s = b.
Determine o trabalho feito pela força F ao puxar P de s = 0 até s = b.
Resolução:
Atendendo a que :
F s
W
lim ds
dW s 0
∆→
tem-se que o trabalho W feito por uma força F variável é expresso pela equação diferencial: dW= Fds com a condição inicial de que: W = 0 quando s = s 0
A Lei de Hooke para molas elásticas estabelece que a força F é directamente proporcional ao deslocamento s , isto é, F = ks , onde k é uma constante de proporcionalidade (constante da mola - quanto mais rígida a mola, maior o valor de k).
Tem-se que: dW= F ds = ks ds
Integrando ambos os membros de (1):
C 2
s W ksds k
2 = (^) ∫ = +
Para s = 0 ⇒ W = 0 , substituindo em (2):
C C 0 2
0 k
2 = + ⇔ =
Substituindo (3) em (2):
ks^2 2
W =
Substituindo s = b na equação (4):
kb^2 2
W =
F
s 0 b
P
(1)
(2)
(3)
(4)
