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Algebra Linear
Germ´an Ignacio Gomero Ferrer 1
Universidade Estadual de Santa Cruz – UESC,
Rodovia Ilh´eus/Itabuna, km 16, Ilh´eus
45650-000 Bahia – BA, Brasil
21 de julho de 2010
1e-mail: [email protected]
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Espaços vetoriais e suas propriedades, Notas de aula de Equações Diferenciais
Este documento aborda a noção de espaço vetorial, definindo suas propriedades e operações, como adição e multiplicação por escalar. São apresentados exemplos e provas de teoremas que envolvem essas operações, além de exemplos de subespaços vetoriais e suas propriedades. Além disso, é demonstrado como a noção de espaço vetorial pode ser aplicada a sequências e funções.
Tipologia: Notas de aula
Antes de 2010
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Algebra Linear´
Germ´an Ignacio Gomero Ferrer 1
Universidade Estadual de Santa Cruz – UESC,
Rodovia Ilh´eus/Itabuna, km 16, Ilh´eus
45650-000 Bahia – BA, Brasil
21 de julho de 2010
(^1) e-mail: [email protected]
Sum´ario
- Introdu¸c˜ao
- 1 Espa¸cos Vetoriais
- 1.1 Alguns exemplos conhecidos
- 1.1.1 O plano R
- 1.1.2 O espa¸co Rn
- 1.1.3 O espa¸co Cn
- 1.1.4 O espa¸co Kn
- 1.2 A defini¸c˜ao de espa¸co vetorial
- 1.3 Espa¸cos de fun¸c˜oes sobre um corpo
- 1.3.1 Espa¸cos de seq¨uˆencias
- 1.3.2 Espa¸cos de fun¸c˜oes
- 1.3.3 Espa¸cos de matrizes
- 1.3.4 Fun¸c˜oes reais de vari´aveis reais
- 1.4 Espa¸cos de fun¸c˜oes sobre um espa¸co vetorial
- 1.4.1 Espa¸cos de matrizes
- 1.4.2 Fun¸c˜oes vetoriais de uma e v´arias vari´aveis
- 1.5 Propriedades elementares dos espa¸cos vetoriais
- 1.1 Alguns exemplos conhecidos
- 2 Subespa¸cos vetoriais
- 2.1 Subespa¸cos e n˜ao–subespa¸cos
- 2.1.1 Exemplos simples de subespa¸cos vetoriais
- 2.1.2 Exemplos n˜ao t˜ao simples de subespa¸cos vetoriais
- 2.1.3 Exemplos menos simples
- 2.2 Interse¸c˜ao de subespa¸cos
- 2.2.1 Interse¸c˜ao de dois subespa¸cos
- 2.2.2 Interse¸c˜ao de uma quantidade finita de subespa¸cos
- 2.2.3 Interse¸c˜ao de uma fam´ılia de subespa¸cos
- 2.3 Soma de subespa¸cos vetoriais
- 2.3.1 Uni˜ao de subespa¸cos
- 2.3.2 Soma de dois subespa¸cos
- 2.3.3 Soma direta de dois subespa¸cos
- 2.4 Espa¸cos afins
- 2.4.1 Caracterizando espa¸cos afins
- 2.4.2 Espa¸cos afins e parti¸c˜oes
- 2.1 Subespa¸cos e n˜ao–subespa¸cos
Cap´ıtulo 1
Espa¸cos Vetoriais
Este cap´ıtulo pretende ser uma interface amig´avel entre o leitor e o conceito de espa¸co vetorial, e portanto n˜ao se limita a apresentar uma defini¸c˜ao formal deste conceito, seguida de alguns exemplos simples e uma breve apresenta¸c˜ao formal das suas propriedades elementares. Este cap´ıtulo faz tudo isto com muito detalhe e faz mais. O cap´ıtulo come¸ca apresentando alguns exemplos simples de espa¸cos vetoriais, e s´o na Se¸c˜ao 1.2 aparece a defini¸c˜ao formal. A ordem invertida da apresenta¸c˜ao, em rela¸c˜ao `a maneira convencional de fazer as coisas, ´e por uma conveniˆencia ´obvia. A defini¸c˜ao de espa¸co vetorial ´e longa e tediosa, mas lida com alguns exemplos simples em mente torna–se bastante leg´ıvel. Os espa¸cos vetoriais apresentados na Se¸c˜ao 1.1 geralmente esgotam, e at´e superam, o mostr´ario de espa¸cos vetoriais apresentados em cursos convencionais de Algebra Linear.´ A ambi¸c˜ao aqu´ı ´e maior. Essa ´e a raz˜ao de existˆencia das Se¸c˜oes 1.3 e 1.4. Elas existem porque neste curso queremos estudar muitos outros espa¸cos vetoriais, em particular os espa¸cos veto- riais formados por fun¸c˜oes. O motivo por tr´as disso ´e a inten¸c˜ao de apresentar, em cap´ıtulos posteriores, aplica¸c˜oes da Algebra Linear em diversas ´´ areas da Matem´atica, e n˜ao apenas na solu¸c˜ao de sistemas de equa¸c˜oes lineares com um n´umero finito de inc´ognitas. Por ´ultimo, na Se¸c˜ao 1.5 se encontra uma exposi¸c˜ao das propriedades elementares dos espa¸cos vetoriais que s˜ao necess´arias para o desenvolvimento do curso.
1.1 Alguns exemplos conhecidos
Antes de apresentar a defini¸c˜ao de espa¸co vetorial na Se¸c˜ao 1.2, nesta se¸c˜ao apresentamos v´arios exemplos destes espa¸cos. Alguns exemplos s˜ao familiares, outros n˜ao. No entanto todos estes espa¸cos ser˜ao estudados com diverso grau de detalhe ao longo do texto, portanto ´e bom ir se familiarizando com eles. Algu´em pode se perguntar se ´e leg´ıtimo apresentar exemplos de espa¸cos vetoriais sem antes apresentar uma defini¸c˜ao formal. Isto n˜ao ´e apenas leg´ıtimo como conveniente. N˜ao ´e necess´ario conhecer a defini¸c˜ao formal para come¸car o estudo destes espa¸cos. O momento de conhecer esta defini¸c˜ao formal vai chegar em breve. Por outro lado, pedagogicamente, resulta mais eficiente encarar primeiro alguns exemplos de espa¸cos vetoriais conhecidos de estudos anteriores, assim como alguns exemplos que n˜ao s˜ao familiares, mas s˜ao muito parecidos com aqueles conhecidos. A id´eia ´e exatamente que, vendo v´arios exemplos de espa¸cos vetoriais, a defini¸c˜ao formal de espa¸co vetorial (que ´e uma defini¸c˜ao extremamente longa) se torne leg´ıvel.
Nesta se¸c˜ao vamos ver uma quantidade infinita de exemplos. Come¸camos com o plano real, velho conhecido dos cursos de Geometria Anal´ıtica denotado por R^2 , e continuamos com os espa¸cos formados por n–uplas de n´umeros reais (para cada n ∈ N temos um espa¸co vetorial). Por ´ultimo, estendemos as id´eias utilizadas at´e o momento para apresentar espa¸cos vetoriais formados por n–uplas de outros tipos de n´umeros.
1.1.1 O plano R^2
O plano R^2 , conhecido tamb´em como plano real, ´e o conjunto formado pelos pares ordenados de n´umeros reais. Sabemos isto porque j´a estudamos Geometria Anal´ıtica Plana. Formalmente temos
R^2 = {(α, β) / α, β ∈ R}. (1.1)
Todos n´os sabemos somar pares ordenados. Por exemplo, a seguinte soma n˜ao ´e mist´erio para ningu´em lendo estas notas,
(3, 5) + (1, −2) = (4, 3). (1.2)
Do mesmo modo, todos sabemos multiplicar um n´umero por um par ordenado, por exemplo,
5(2, −1) = (10, −5). (1.3)
Saber isto est´a ´otimo no n´ıvel de um primeiro curso de Geometria Anal´ıtica, mas agora esta- mos no territ´orio da Algebra Linear. Nosso objetivo nesta se¸´ c˜ao ´e usar propriedades alg´ebricas elementares dos n´umeros reais para deduzir propriedades alg´ebricas elementares do plano real. As propriedades dos n´umeros reais que vamos utilizar se seguem todas do fato de R ser um corpo, ou seja, de que existem duas opera¸c˜oes bin´arias comutativas e associativas
σ : R × R → R (x, y) 7 → x + y e μ : R × R → R (x, y) 7 → xy
tais que valem as seguintes afirma¸c˜oes.
A1. Existe um n´umero 0 ∈ R tal que para todo n´umero x ∈ R vale x + 0 = x.
A2. Para cada n´umero x ∈ R existe um n´umero −x ∈ R tal que x + (−x) = 0.
M1. Existe um n´umero 1 ∈ R tal que para todo n´umero x ∈ R vale 1x = x.
M2. Para todo n´umero x ∈ R \ { 0 } existe um n´umero x−^1 ∈ R tal que xx−^1 = 1.
D. Para quaisquer n´umeros x, y, z ∈ R vale x(y + z) = xy + xz.
Estas propriedades s˜ao bastante conhecidas e vamos adot´a-las como verdadeiras mesmo sem apresentar uma prova. Na verdade, em certas situa¸c˜oes estas propriedades se tomam como parte da defini¸c˜ao do sistema dos n´umeros reais. A primeira tarefa a cumprir para atingir nosso objetivo, ´e a de descrever formalmente as duas opera¸c˜oes bin´arias conhecidas em R^2 por quem j´a estudou Geometria Anal´ıtica Plana. Para realizar esta descri¸c˜ao ´e fundamental esclarecer melhor a nota¸c˜ao que vai ser usada.
Completado o primeiro passo, o seguinte passo seria investigar que propriedades elementares do plano real se seguem destas defini¸c˜oes. Na verdade isto faz parte de um curso moderno de Geometria Anal´ıtica, onde se estudam as propriedades vetoriais do plano e do espa¸co tridimen- sional. O resultado deste processo est´a resumido no seguinte teorema.
Teorema 1.1 O plano R^2 , com as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao de pontos e multiplica¸c˜ao por um n´umero dadas por (1.6) e (1.9), tem as seguintes propriedades.
A1. Para quaisquer x, y ∈ R^2 vale x + y = y + x.
A2. Para quaisquer x, y, z ∈ R^2 vale x + (y + z) = (x + y) + z.
A3. Se 0 = (0, 0) ∈ R^2 ent˜ao para todo x ∈ R^2 vale x + 0 = x.
A4. Dado x ∈ R^2 , se −x = (−x 1 , −x 2 ) ∈ R^2 ent˜ao x + (−x) = 0.
M1. Para quaisquer α, β ∈ R e x ∈ R^2 vale α(βx) = (αβ)x.
M2. Para todo x ∈ R^2 vale 1 x = x.
D1. Para quaisquer α, β ∈ R e x ∈ R^2 vale (α + β)x = αx + βx.
D2. Para todo α ∈ R e x, y ∈ R^2 vale α(x + y) = αx + αy.
As primeiras quatro propriedades se referem a adi¸c˜ao de pares ordenados, as pr´oximas duasa multiplica¸c˜ao de um n´umero por um par ordenado, e as ´ultimas duas se referem `a intera¸c˜ao entre estas duas opera¸c˜oes. Vejamos a prova de cada uma destas propriedades.
A1. (A adi¸c˜ao de pontos em R^2 ´e comutativa) Prova. Vamos realizar a prova de duas maneiras aparentemente diferentes, mas de fato equivalentes.
- As primeiras componentes de x + y e de y + x s˜ao
(x + y) 1 = x 1 + y 1 e (y + x) 1 = y 1 + x 1.
Lembrando que a adi¸c˜ao em R ´e comutativa temos
x 1 + y 1 = y 1 + x 1 ,
e portanto (x + y) 1 = (y + x) 1. Em palavras, a primeira componente do ponto x+y ´e igual a primeira componente do ponto y + x. Realizando exatamente os mesmos passos nas segundas componentes chegamosa conclus˜ao de que a segunda componente de x + y ´e igual `a segunda componente de y + x. Acabamos de provar que x + y tem as mesmas componentes que y + x, logo s˜ao o mesmo ponto do plano, ou seja x + y = y + x.
- Exatamente o mesmo procedimento que acima pode ser realizado seguindo um estilo diferente. Usando a express˜ao (1.6), apelando `a comutatividade dos reais, e usando
novamente a express˜ao (1.6), para quaisquer x, y ∈ R^2 temos
x + y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ) = (y 1 + x 1 , y 2 + x 2 ) = y + x.
A comutatividade dos reais ´e usada duas vezes na passagem da primeira para a segunda linha, uma vez em cada componente.
A2. (A adi¸c˜ao de pontos em R^2 ´e associativa) Prova. Vamos realizar de novo a prova de duas maneiras equivalentes.
- As primeiras componentes de x + (y + z) e de (x + y) + z s˜ao
(x + (y + z)) 1 = x 1 + (y + z) 1 = x 1 + (y 1 + z 1 ) e ((x + y) + z) 1 = (x + y) 1 + z 1 = (x 1 + y 1 ) + z 1.
Lembrando que a adi¸c˜ao em R ´e associativa temos
x 1 + (y 1 + z 1 ) = (x 1 + y 1 ) + z 1 ,
e portanto (x + (y + z)) 1 = ((x + y) + z) 1. Em palavras, a primeira componente do ponto x + (y + z) ´e igual a primeira compo- nente do ponto (x + y) + z. Realizando exatamente os mesmos passos nas segundas componentes chegamosa conclus˜ao de que a segunda componente de x + (y + z) ´e igual `a segunda componente de (x + y) + z. Acabamos de provar que x + (y + z) tem as mesmas componentes que (x + y) + z, logo s˜ao o mesmo ponto do plano, ou seja x + (y + z) = (x + y) + z.
- Usando a express˜ao (1.6) e apelando `a associatividade dos reais, para quaisquer x, y, z ∈ R^2 temos
x + (y + z) = (x 1 + (y + z) 1 , x 2 + (y + z) 2 ) = (x 1 + (y 1 + z 1 ), x 2 + (y 2 + z 2 )) = ((x 1 + y 1 ) + z 1 , (x 2 + y 2 ) + z 2 ) = ((x + y) 1 + z 1 , (x + y) 2 + z 2 ) = (x + y) + z.
A associatividade dos reais ´e usada duas vezes na passagem da segunda para a terceira linha, uma vez em cada componente.
A3. (O plano R^2 tem elemento neutro) Prova. Aqui tamb´em vamos realizar a prova de duas maneiras equivalentes.
- A primeira componente de x + 0 ´e
(x + 0) 1 = x 1 + 0 1 = x 1 + 0 = x 1.
- Usando a express˜ao (1.9), para todo α, β ∈ R e todo x ∈ R^2 temos
α(βx) = (α(βx) 1 , α(βx) 2 ) = (α(βx 1 ), α(βx 2 )) = ((αβ)x 1 , (αβ)x 2 ) = (αβ)x.
M2. (Elemento neutro multiplicativo) Prova. Novamente vamos realizar a prova de duas maneiras equivalentes.
- A primeira componente de 1x ´e
(1x) 1 = 1 x 1 = x 1.
Em palavras, a primeira componente do ponto 1x ´e x 1. Realizando exatamente os mesmos passos na segunda componente chegamos `a conclus˜ao de que a segunda componente de 1x ´e x 2. Ou seja 1x = x.
- Usando a express˜ao (1.9), para todo x ∈ R^2 temos
1 x = (1x 1 , 1 x 2 ) = (x 1 , x 2 ) = x.
D1. (Distributividade) Prova. Mais uma vez, vamos realizar a prova de duas maneiras equivalentes.
- Seguindo (1.8), as primeiras componentes de (α + β)x e de αx + βx s˜ao
((α + β)x) 1 = (α + β)x 1 e
(αx + βx) 1 = (αx) 1 + (βx) 1 = αx 1 + βx 1. Lembrando que a multiplica¸c˜ao em R ´e distributiva em rela¸c˜ao a adi¸c˜ao temos
(α + β)x 1 = αx 1 + βx 1 ,
e portanto ((α + β)x) 1 = (αx + βx) 1. Em palavras, a primeira componente do ponto (α + β)x ´e igual a primeira compo- nente do ponto αx + βx. Realizando exatamente os mesmos passos nas segundas componentes chegamosa conclus˜ao de que a segunda componente de (α + β)x ´e igual `a segunda componente de αx + βx. Acabamos de provar que (α + β)x tem as mesmas componentes que αx + βx, logo s˜ao o mesmo ponto do plano, ou seja (α + β)x = αx + βx.
- Usando a express˜ao (1.9), para todo α, β ∈ R e todo x ∈ R^2 temos
(α + β)x = ((α + β)x 1 , (α + β)x 2 ) = (αx 1 + βx 1 , αx 2 + βx 2 ) = ((αx) 1 + (βx) 1 , (αx) 2 + (βx) 2 ) = αx + βx.
D2. (Distributividade) Prova. Mais uma vez, vamos realizar a prova de duas maneiras equivalentes.
- Seguindo (1.8), as primeiras componentes de α(x + y) e de αx + αy s˜ao
(α(x + y)) 1 = α(x + y) 1 = α(x 1 + y 1 ) e
(αx + αy) 1 = (αx) 1 + (αy) 1 = αx 1 + αy 1.
Lembrando que a multiplica¸c˜ao em R ´e distributiva em rela¸c˜ao a adi¸c˜ao temos
α(x 1 + y 1 ) = αx 1 + αy 1 ,
e portanto (α(x + y)) 1 = (αx + αy) 1. Em palavras, a primeira componente do ponto α(x + y) ´e igual a primeira compo- nente do ponto αx + αy. Realizando exatamente os mesmos passos nas segundas componentes chegamosa conclus˜ao de que a segunda componente de α(x + y) ´e igual `a segunda componente de αx + αy. Acabamos de provar que α(x + y) tem as mesmas componentes que αx + αy, logo s˜ao o mesmo ponto do plano, ou seja α(x + y) = αx + αy.
- Usando a express˜ao (1.9), para todo α ∈ R e todo x, y ∈ R^2 temos
α(x + y) = (α(x + y) 1 , α(x + y) 2 ) = (α(x 1 + y 1 ), α(x 2 + y 2 )) = (αx 1 + αy 1 , αx 2 + αy 2 ) = ((αx) 1 + (αy) 1 , (αx) 2 + (αy) 2 ) = αx + αy.
1.1.2 O espa¸co Rn
Vamos generalizar um pouco o exemplo visto acima. Dado n ∈ N, considere o espa¸co formado pelas n–uplas ordenadas de n´umeros reais, chamado de espa¸co real n–dimensional, e denotado por Rn. Formalmente temos
Rn^ = {(x 1 , x 2 ,... , xn) / x 1 , x 2 ,... , xn ∈ R}. (1.11)
O plano real corresponde ao caso n = 2. O caso n = 3 deve tamb´em ser familiar dos cursos de Geometria Anal´ıtica. Tomando por exemplo n = 5, ´e f´acil adivinhar como somar 5–uplas ordenadas, por exemplo,^2
(3, 5 , 1 , − 2 , 3) + (1, − 2 , 4 , 0 , −1) = (4, 3 , 5 , − 2 , 2) , (1.12) (^2) Na verdade ningu´em est´a adivinhando coisa alguma, estamos generalizando, e isso ´e uma coisa boa de se fazer quando se estuda matem´atica.
Da mesma forma que no caso do plano R^2 , completado o primeiro passo, deveriamos a continua¸c˜ao investigar quais propriedades elementares de Rn^ se seguem destas defini¸c˜oes. Ob- servando as provas das propriedades alg´ebricas de R^2 realizadas acima, podemos perceber que o procedimento seguido foi decompor a prova correspondente para cada componente do par. Esta observa¸c˜ao leva a pensar na possibilidade de agir do mesmo modo em Rn. Esta estrat´egia deveria funcionar pois as opera¸c˜oes acima foram definidas componente a componente. De fato esta estrat´egia funciona. Observe a seguir que as propriedades elementares de Rn^ s˜ao formalmente idˆenticas `as propriedades deduzidas para R^2. Observe que as provas s˜ao tamb´em formalmente idˆenticas.
Teorema 1.2 O espa¸co Rn^ com as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao de pontos e multiplica¸c˜ao por um n´umero dadas por (1.15) e (1.16) tem as seguintes propriedades.
A1. Para quaisquer x, y ∈ Rn^ vale x + y = y + x
A2. Para quaisquer x, y, z ∈ Rn^ vale x + (y + z) = (x + y) + z.
A3. Se (^0) i = 0, com i ∈ In, ent˜ao para todo x ∈ Rn^ vale x + 0 = x.
A4. Dado x ∈ Rn, se (−x)i = −xi para todo i ∈ In, ent˜ao x + (−x) = 0.
M1. Para quaisquer α, β ∈ R e x ∈ Rn^ vale α(βx) = (αβ)x.
M2. Para todo x ∈ Rn^ vale 1 x = x.
D1. Para quaisquer α, β ∈ R e x ∈ Rn^ vale (α + β)x = αx + βx.
D2. Para todo α ∈ R e x, y ∈ Rn^ vale α(x + y) = αx + αy.
A1. (A adi¸c˜ao de pontos em Rn^ ´e comutativa) Prova. Vamos realizar a prova de duas maneiras equivalentes.
- As primeiras componentes de x + y e de y + x s˜ao
(x + y) 1 = x 1 + y 1 e (y + x) 1 = y 1 + x 1.
Lembrando que a adi¸c˜ao em R ´e comutativa temos
x 1 + y 1 = y 1 + x 1 ,
e portanto (x + y) 1 = (y + x) 1. Em palavras, a primeira componente do ponto x + y ´e igual a primeira componente do ponto y + x. Realizando exatamente os mesmos passos para todas as outras componentes chegamosa conclus˜ao de que x + y tem as mesmas componentes que y + x, e portanto s˜ao o mesmo ponto de Rn, ou seja x + y = y + x.
- Exatamente o mesmo procedimento que acima pode ser realizado seguindo um estilo diferente. Para todo i ∈ In e todo x, y ∈ Rn^ temos
(x + y)i = xi + yi = yi + xi = (y + x)i.
Como x + y tem as mesmas componentes que y + x, segue–se x + y = y + x. Observe que a comutatividade dos reais ´e usada n vezes na passagem da primeira para a segunda linha, uma vez em cada componente.
Um exame cuidadoso mostra que as duas maneiras de provar a comutatividade de pontos em Rn^ s˜ao idˆenticas. Contudo, o segundo modo de escrever a prova ´e mais elegante e se presta para generaliza¸c˜oes interessantes, como veremos nas pr´oximas se¸c˜oes. Nas provas a seguir vamos utilizar apenas o segundo modo de escreve–las.
A2. (A adi¸c˜ao de pontos em Rn^ ´e associativa) Prova. Para todo i ∈ In temos
(x + (y + z))i = xi + (y + z)i = xi + (yi + zi) = (xi + yi) + zi = (x + y)i + zi = ((x + y) + z)i.
Como x + (y + z) tem as mesmas componentes que (x + y) + z, segue–se x + (y + z) = (x + y) + z. Observe que a associatividade dos reais ´e usada n vezes na passagem da segunda para a terceira linha, uma vez em cada componente.
A3. (O espa¸co Rn^ tem elemento neutro) Prova. Se para todo i ∈ In vale 0i = 0, ent˜ao temos
(x + 0)i = xi + 0i = xi + 0 = xi.
Como x + 0 tem as mesmas componentes que x, segue–se que x + 0 = x.
A4. (Todo ponto de Rn^ tem inverso aditivo) Prova. Definindo (−x)i = −xi para todo i ∈ In, temos
(x + (−x))i = xi + (−x)i = xi + (−xi) = 0.
Como todas as componentes de x + (−x) s˜ao nulas, segue–se que x + (−x) = 0.
Vamos definir os n´umeros complexos como sendo os pares ordenados de n´umeros reais sujeitos a duas opera¸c˜oes bin´arias, an´alogas `as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao de n´umeros reais. Considere as opera¸c˜oes bin´arias no plano R^2
σ : R^2 × R^2 → R^2 (x, y) 7 → x + y e ρ : R^2 × R^2 → R^2 (x, y) 7 → xy ,
descritas a seguir.
Adi¸c˜ao de pontos. Dados dois pontos x, y ∈ R^2 , temos
(x + y) 1 = x 1 + y 1 e (x + y) 2 = x 2 + y 2 , (1.17)
ou equivalentemente,
(x 1 , x 2 ) + (y 1 , y 2 ) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ). (1.18)
Multiplica¸c˜ao de pontos. Dados dois pontos x, y ∈ R^2 , temos
(xy) 1 = x 1 y 1 − x 2 y 2 e (xy) 2 = x 1 y 2 + x 2 y 1 , (1.19)
ou equivalentemente,
(x 1 , x 2 )(y 1 , y 2 ) = (x 1 y 1 − x 2 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 ). (1.20)
Estas opera¸c˜oes munem o plano real de uma estrutura de corpo, muito similar `a estrutura de corpo de R.
Teorema 1.3 O plano real R^2 , junto com as opera¸c˜oes bin´arias (1.18) e (1.20), forma um corpo, ou seja valem as seguintes afirma¸c˜oes.
A1. Para quaisquer x, y ∈ R^2 vale x + y = y + x.
A2. Para quaisquer x, y, z ∈ R^2 vale (x + y) + z = x + (y + z).
A3. Se 0 = (0, 0) ∈ R^2 ent˜ao para todo x ∈ R^2 vale x + 0 = x.
A4. Dado x ∈ R^2 , se −x = (−x 1 , −x 2 ) ∈ R^2 ent˜ao x + (−x) = 0.
M1. Para quaisquer x, y ∈ R^2 , vale xy = yx.
M2. Para quaisquer x, y, z ∈ R^2 vale x(yz) = (xy)z.
M3. Se 1 = (1, 0) ∈ R^2 ent˜ao para todo x ∈ R^2 vale 1 x = x.
M4. Dado x ∈ R^2 \ { 0 }, se x−^1 =
x 1 x^21 +x^22 ,^
−x 2 x^21 +x^22
∈ R^2 ent˜ao xx−^1 = 1.
D. Para todo x, y, z ∈ R^2 vale x(y + z) = xy + xz.
Prova. As propriedades A1–A4 foram demonstradas ao apresentar o plano R^2. Vamos provar as restantes.
M1. Dados x, y ∈ R^2 temos
xy = (x 1 , x 2 )(y 1 , y 2 ) = (x 1 y 1 − x 2 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 ) = (y 1 x 1 − y 2 x 2 , y 1 x 2 + y 2 x 1 ) = (y 1 , y 2 )(x 1 , x 2 ) = yx.
M2. Dados x, y, z ∈ R^2 temos
x(yz) = (x 1 , x 2 )((y 1 , y 2 )(z 1 , z 2 )) = (x 1 , x 2 )(y 1 z 1 − y 2 z 2 , y 1 z 2 + y 2 z 1 ) = (x 1 (y 1 z 1 − y 2 z 2 ) − x 2 (y 1 z 2 + y 2 z 1 ), x 1 (y 1 z 2 + y 2 z 1 ) + x 2 (y 1 z 1 − y 2 z 2 )) = ((x 1 y 1 − x 2 y 2 )z 1 − (x 1 y 2 + x 2 y 1 )z 2 , (x 1 y 1 − x 2 y 2 )z 2 + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )z 1 ) = (x 1 y 1 − x 2 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 )(z 1 , z 2 ) = ((x 1 , x 2 )(y 1 , y 2 ))(z 1 , z 2 ) = (xy)z.
M3. Dado x ∈ R^2 temos
1 x = (1, 0)(x 1 , x 2 ) = (1x 1 − 0 x 2 , 1 x 2 + 0y 1 ) = (x 1 , x 2 ) = x.
M4. Dado x ∈ R^2 temos
xx−^1 = (x 1 , x 2 )
x 1 x^21 +x^22 ,^
−x 2 x^21 +x^22
x^21 x^21 +x^22 −^
−x^22 x^21 +x^22 ,^
−x 1 x 2 x^21 +x^22 +^
x 1 x 2 x^21 +x^22
x^21 +x^22 x^21 +x^22 ,^0
D. Para todo x, y, z ∈ R^2 vale
x(y + z) = (x 1 , x 2 )(y 1 + z 1 , y 2 + z 2 ) = (x 1 (y 1 + z 1 ) − x 2 (y 2 + z 2 ), x 1 (y 2 + z 2 ) + x 2 (y 1 + z 1 )) = (x 1 y 1 + x 1 z 1 − x 2 y 2 − x 2 z 2 , x 1 y 2 + x 1 z 2 + x 2 y 1 + x 2 z 1 )) = ((x 1 y 1 − x 2 y 2 ) + (x 1 z 1 − x 2 z 2 ), (x 1 y 2 + x 2 y 1 ) + (x 1 z 2 + x 2 z 1 )) = (x 1 y 1 − x 2 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 ) + (x 1 z 1 − x 2 z 2 , x 1 z 2 + x 2 z 1 ) = (x 1 , x 2 )(y 1 , y 2 ) + (x 1 , x 2 )(z 1 , z 2 ) = xy + xz.
Observemos agora que para todo x = (x 1 , x 2 ) ∈ C vale
x = (x 1 , x 2 ) = (x 1 , 0) + (0, x 2 ) = x 1 (1, 0) + x 2 (0, 1) = x 1 1 + x 2 i = x 1 + x 2 i ,
onde na ´ultima linha escrevemos x 1 no lugar de x 1 1, seguindo o costume de n˜ao escrever o elemento neutro multiplicativo quando est´a multiplicando um n´umero. A primeira componente de x ∈ C ´e chamada de parte real de x, e a segunda componente de parte imagin´aria. Se x = (x 1 , x 2 ), escrevemos
x 1 = Re(x) e x 2 = Im(x) , (1.22)
ou tamb´em x = Re(x) + Im(x)i. (1.23)
Se Im(x) = 0 temos que x = (x 1 , 0), mas de acordo a (1.22) e (1.23) temos x = x 1. Como ´e poss´ıvel que por um lado x seja um par ordenado e por outro, o mesmo x seja um n´umero real? O que aconteceu aqui foi o seguinte. O conjunto dos n´umeros complexos com parte ima- gin´aria nula ´e C 0 = η(R). Agora, como η : R → C ´e um mergulho, ou seja um isomorfismo de R sobre sua imagem C 0 = η(R), ´e natural identificar esta imagem com o corpo dos n´umeros reais. Em outras palavras, todo n´umero complexo da forma (a, 0) ´e considerado como sendo o n´umero real a. Como consequˆencia da identifica¸c˜ao entre C 0 e R, a identidade (1.21) toma a forma
i^2 = − 1. (1.24)
Mais ainda, daqu´ı surge a famosa express˜ao
i =
com a qual temos que ter cautela para n˜ao cair em situa¸c˜oes absurdas que podemos encontrar se manipulamos sem cuidado a express˜ao i =
−1. O seguinte lema fornece uma dica da fonte das confus˜oes.
Lema 1.6 As ´unicas solu¸c˜oes em C da equa¸c˜ao x^2 + 1 = 0 s˜ao i e −i.
Prova. Seja (a, b) ∈ C uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao x^2 + 1 = 0. Temos ent˜ao que se verifica a identidade
(0, 0) = (a, b)^2 + (1, 0) = (a, b) · (a, b) + (1, 0) = (a^2 − b^2 , 2 ab) + (1, 0) = (a^2 − b^2 + 1, 2 ab).
Como a, b ∈ R, devemos ent˜ao encontrar solu¸c˜oes reais do sistema
a^2 − b^2 + 1 = 0 e 2 ab = 0.
Temos ent˜ao a = 0 e b = ±1, ou seja x = (0, 1) = i ou x = (0, −1) = −i.
A equa¸c˜ao x^2 + 1 = 0 tamb´em pode ser escrita na forma
x^2 = − 1 ,
o que induz a pensar que x =
−1, e portanto x = i. Mas pelo Lema 1.6 sabemos agora que x = i ou x = −i. Como surguiu este −i? Acontece que −1 tem duas ra´ızes quadradas, ou seja, existem dois n´umeros (complexos) cujo quadrado ´e −1, e portanto a opera¸c˜ao de tirar a raiz quadrada n˜ao est´a bem definida. Quando trabalhamos com n´umeros reais apenas, ao escrever o s´ımbolo √^ pressup˜oe–se que estamos nos referindo `a raiz positiva. Esta conven¸c˜ao n˜ao ´e mais poss´ıvel ao trabalharmos com n´umeros complexos. N˜ao h´a n´umeros complexos positivos nem negativos. A express˜ao i =
−1 tem valor hist´orico e nem´onico, mas n˜ao ´e v´alida como igualdade matem´atica. A igualdade que vale ´e i = (0, 1), e vale por defini¸c˜ao. No entanto, esta nota¸c˜ao antiga continua sendo ´util, pois permite escrever as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao de n´umeros complexos de um modo mais familiar. Dados x, y ∈ C, onde
x = x 1 + x 2 i e y = y 1 + y 2 i ,
temos
x + y = (x 1 + y 1 ) + (x 2 + y 2 )i e xy = (x 1 y 1 − x 2 y 2 ) + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i.
Estamos prontos agora para apresentar o espa¸co Cn, onde n ∈ N, llamado de espa¸co com- plexo n–dimensional e formado pelas n–uplas ordenadas de n´umeros complexos. Formalmente temos
Cn^ = {(x 1 , x 2 ,... , xn) / x 1 , x 2 ,... , xn ∈ C}. (1.25)
A esta altura do campeonato todo mundo j´a imagina como se somam duas n–uplas orde- nadas de n´umeros complexos, e tamb´em como se multiplica um n´umero complexo por uma n–upla ordenada. Do mesmo modo que nos casos anteriores, o nosso objetivo agora ´e enten- der formalmente estas duas opera¸c˜oes, assim como extrair propriedades alg´ebricas elementares induzidas em Cn^ por elas. Pela Defini¸c˜ao (1.25), se x ∈ Cn^ ent˜ao x ´e uma n–upla ordenada de n´umeros complexos. Vamos denotar cada n´umero desta n–upla ordenada sempre por x 1 , x 2 ,... , xn, e chama–los de primeira, segunda,... , n–´esima componentes de x. Resumimos isto de maneira formal do seguinte modo
x ∈ Cn^ ←→ ∀i ∈ In , ∃xi ∈ C , x = (x 1 , x 2 ,... , xn) , (1.26)
A descri¸c˜ao das duas opera¸c˜oes ´e apenas uma c´opia do caso real. σ : Cn^ × Cn^ → Cn (x, y) 7 → x + y
e μ : C × Cn^ → Cn (λ, x) 7 → λx.