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´ Algebra Linear Revis˜o sobre os m´todos de substitui¸˜o e adi¸˜o ordenada a e ca ca na resolu¸˜o de sistemas de equa¸oes lineares ca c˜
- Considere o seguinte sistema de equa¸˜es lineares co x + 2y = 2. 2x + y = -2 (a) Veri?que quais dos pares (2, 0) , (1, 3) , (-2, 2) , (4, -1) s˜o solu¸˜o da primeira equa¸ao. a ca c˜ (b) Veri?que quais dos pares (- 2, 2) , (1, -4) , (0, -2) , (0, 5) s˜o solu¸˜o da segunda equa¸ao. a ca c˜ (c) Indique, justi?cando, uma solu¸ao do sistema dado. c˜ 2. Resolva os seguintes sistemas pelo m´todo de substitui¸˜o. e ca (a) y = 2x - 3 ; x + 2y = 14 (b) y =x-4. x + 3y = 12
- Considere o sistema de equa¸oes lineares nas inc´gnitas x e y c˜ o 2x
- 3y = -1. ax - 3y = b Indique para que valores de a e b o sistema ´: poss´ e determinado; poss´ e indeterminado; e e ivel ivel imposs´ (fa¸a a interpreta¸ao geom´trica do sistema nos diferentes casos). ivel c c˜ e 4. Usando o m´todo misto (isto ´: adi¸ao ordenada at´ encontrar um sistema triangular e depois e e c˜ e substitui¸˜o), resolva cada um dos sistemas a seguir explicitados: ca (a) 2x + 3y - z = 0 -x + 5y + 2z = 0 (b) 2x - 4y - 2z = 6 3x + y + 6z = 6 (c) x + 2y - z = 3 2x + 3y + z = 1?? x - y
- 2z = 3 x + 2y - z = -3? 2y - 2z = 1?? w - x - y + 2z = 1 2w - 2x - y
- 3z = 3 (i)? -w + x - y = -3?? x1 + 4x4 = 1?? x1 + 2x2 + 4x3 = 3 (m)? 2x1 + 2x2 + x4 = 1?? x1 + 3x3 = 2
?? x+y+z =3 2x + 3y + z = 5 (d)? x - y - 2z = -5?? 2x + 4y + 6z = 8 3x + 9y + 6z = 12 (g)? -x + y - z = 1
?? 2x + y - z = 3 x + 5z = 1 (e)? -x + 3y - 2z = 0
(f )
?? -x1 + 3x2 - 2x3 + 4x4 = 0 2x1 - 6x2 + x3 - 2x4 = -3 (h)? x1 - 3x2 + 4x3 - 8x4 = 2?? w + x + 2y + z = 1?? w-x-y+z =0 (l)? x + y = -1?? w+x+z =
?? a+b+c+d=4?? a + 2b + 3c + 4d = 10 (j)? a + 3b + 6c + 10d = 20?? a + 4b + 10c + 20d = 35
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2 Espa¸os vectoriais c
- Mostre que o corpo dos n´meros complexos C ´ um espa¸o vectorial real, relativamente `s opera¸oes u e c a c˜ usuais: adi¸ao de dois n´meros FRPSOH[RV PXOWLSOLFDÜDR GH XP Q PHUR UHDO SRU XP FRPSOH[R F× X F× X Considere o conjunto dos n´meros reais positivos R+ e as opera¸˜es u co? : R+ × R+ -? R+ ,? : R × R -? R , Mostre que (R+ , ?, ?) ´ um espa¸o
vectorial real. e c 7. Mostre que (R2 , ?, ?) n˜o ´ espa¸o vectorial real se: a e c (a) (x1 , x2 )? (y1 , y2 ) := (x1 , x2 ); (b) (x1 , x2 )? (y , y2 ) := (x1 + y1 , 0); k? (x1 , x2 ) := (kx1 , kx2 ); k? (x1 , x2 ) := (kx1 , kx2 ); k? (x1 , x2 ) := (kx1 , 0); k? (x1 , x2 ) := (|kx1 |, |kx2 |).
a? b := ab;?? b := a?.
(c) (x1 , x2 )? (y1 , y2 ) := (x1 + y1 , x2 + y2 ); (d) (x1 , x2 )? (y , y2 ) := (|x1 + y1 |, |x2 + y2 |);
- O conjunto das matrizes quadradas, de ordem n, com entradas no corpo K denota-se por Mn×n (K). Mostre que (Mn×n (R), +, ·)R ´ um espa¸o vectorial. e c Subespa¸os vectoriais c Seja (E, +, ·)K um espa¸o vectorial sobre o corpo K. Sendo F um subconjunto de E, o s´ c imbolo “(F, +, ·)K ” denota o subespa¸o de (E, +, ·)K cujo conjunto-suporte ´ F. c e Quando n˜o houver ambiguidade, simpli?caremos a nota¸ao: assim, usaremos F para denotar o a c˜ conjunto-suporte e para identi?car o pr´prio subespa¸o (F, +, ·)K. o c Esta identi?ca¸ao manifesta a sua relevˆncia nos problemas envolvendo intersec¸˜o, soma e reuni˜o c˜ a ca a de subespa¸os. c 9. Seja A = {(x, y, z)? R3 : x + y + z = 0}. Mostre que (A, +, ·)R ´ um subespa¸o vectorial do espa¸o vectorial can´nico (R3 , +, ·)R. e c c o
- Averig´e quais dos seguintes conjuntos s˜o o conjunto-suporte de um subespa¸o vectorial do espa¸o u a c c vectorial mencionado: (a) (b) (c) (d) (e) A = {(x, y, z)? R3 : x = 0} , (R3 , +, ·)R. B = {(x, y, z)? R : x + y 0} , (R3 , +, ·)R. C = {(x, y, z, w)? R4 : x = 0? z = 0} , (R , +, ·)R. D = {(a + b + c, b - c, c, 1) : a, b, c? R} , (R4 , +, ·)R. E = {(2y + z, y, z, 0) : y, z? R} , (R4 , +, ·)R.
- Mostre que os conjuntos das matrizes abaixo mencionados s˜o o conjunto-suporte de subespa¸os do a c espa¸o vectorial (Mn×n (R), +, ·)R : c (i) triangulares superiores reais; (ii) diagonais reais; (iv) sim´tricas reais; e (v) hemi-sim´tricas reais. e (iii) escalares reais;
- Justi?que que, para a adi¸ao can´nica de matrizes, os conjuntos abaixo mencionados n˜o s˜o fechados: c˜ o a a (i) matrizes quadradas LQYHUW LYHLV LL PDWUL]HV TXDGUDGDV Q×R-invert´ a iveis; (iii) matrizes quadradas com a diagonal principal n˜o-nula; a (iv) matrizes quadradas cujo tra¸o ´ diferente de zero. c e
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Combina¸˜o linear de vectores ca 13. No espa¸o vectorial can´nico (R2 , +, ·)R , veri?que se o vector: c o (a) (b) (c) (2, 3) ´ combina¸ao linear GRV YHFWRUHV H F× FRPELQDÜDR OLQHDU GRV YHFWRUHV H F× (2, 3) ´ combina¸ao linear dos vectores (2, 5), (4, 10). e c˜
- Sejam u, v, w, z, v1 , v2 , v3 vectores de um espa¸o vectorial E. c Justi?que, ou refute, cada uma das asser¸oes: c˜ (a) Se u, v, w s˜o linearmente independentes, ent˜o n˜o pode veri?car-se a a a z = 2u - w e z = u + v + 3w.
(b) Se v1 , v2 , v3 s˜o linearmente independentes, ent˜o o conjunto a a {v1 , v1 + v2 , v1 + v2 + v3 } ´ constitu´ por vectores linearmente independentes. e ido (c) Se u, v, w s˜o linearmente dependentes, ent˜o o vector u ´ combina¸˜o linear dos vectores v, w. a a e ca Geradores, bases e dimens˜o a 25. Averig´e se os vectores de cada um dos conjuntos abaixo explicitados geram o espa¸o vectorial real u c assinalado: (a) (b) (c) (d) {(1, 1, 0), (0, 1, 1)}, (R3 , +, ·)R ; (R3 , +, ·)R ; (R3 , +, ·)R ;
{(1, 1, 0), (0, 1, 1), (-1, 1, 1)}, {(-1, 1, 0), (0, -1, 2), (-1, 0, 2)},
{(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 1)}, (R3 , +, ·)R.
- Seja a? R. No espa¸o vectorial (R3 , +, ·)R , considere os vectores c u = (a, 1, 0), v = (1, a, 1), w = (0, 1, a)
Identi?que todos os valores de a para os quais o conjunto {u, v, w} ´ uma base de (R3 , +, ·)R. e
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- No espa¸o vectorial (R4 , +, ·)R , considere A = {u, v, w}? R4 , com c u = (1, 0, 1, 0), v = (1, 0, 0, 1), w = (1, 1, 1, 1).
(a) Mostre que os vectores u, v, w s˜o linearmente independentes. a (b) Justi?que, ou refute, a proposi¸ao: os vectores u, v s˜o linearmente independentes. c˜ a (c) Indique todas as sequˆncias de elementos de A constitu´ e idas por vectores linearmente independentes. (d) Construa uma base B para o espa¸o vectorial real (R4 , +, ·)R de tal modo que A? B. c
- Construa uma base para o espa¸o vectorial real (R4 , +, ·)R que contenha os vectores c u = (1, 0, 1, 0), v = (0, -1, 2, 1).
- Construa, se poss´ ivel, uma base para o espa¸o vectorial real (R4 , +, ·)R que contenha os vectores c u = (1, 0, 1, 0), v = (0, -1, 2, 1), w = (2, -2, 6, 2).
- Construa uma base para o espa¸o vectorial (M2×2 (R), +, ·)R e indique a dimens˜o deste. c a 31. Construa uma base para o subespa¸o (A, +, ·)R no problema 9 e indique a dimens˜o deste. c a 32. Seja G = a b-a 0 a : a, b? R.
(a) Mostre que (G, +, ·)R ´ um subespa¸o do espa¸o (M2×2 (R), +, ·)R. e c c (b) Construa uma base para o subespa¸o (G, +, ·)R e indique a dimens˜o deste. c a? ??? c?? a b-a a a + b? : a, b, c? R. 33. Seja Q =? 0?? 0 0 c (a) Mostre que (Q, +, ·)R ´ um subespa¸o do espa¸o (M3×3 (R), +, ·)R. e c c (b) Construa uma base para o subespa¸o (Q, +,
·)R e indique a dimens˜o deste. c a 34. Identi?que — usando o conceito de caracter´ istica de uma matriz — a dimens˜o de cada um dos a subespa¸os dos espa¸os vectoriais respectivos: c c (a) (b) (c) (d) (e) (1, 2, 3), (0, 1, 2), (1, 4, 7) , (3, -1, 4), (2, 1, 3), (1, 0, 2) , (R3 , +, ·)R ; (R3 , +, ·)R ; (R3 , +, ·)R ; (R4 , +, ·)R ; (R4 , +, ·)R.
(0, 1, 2), (1, 1, 3), (0, 2, 4), (1, 2, 5) ,
(0, 1, 1, 2), (-2, 1, 0, 1), (3, 1, 5, 2), (1, 0, 3, -1) , (-1, 2, -1, 0), (0, 3, 1, 2), (1, 1, -2, 2), (2, 1, 0, -1) ,
Coordenadas de vectores numa base 35. Identi?que as coordenadas do vector u na base B e espa¸o vectorial real respectivos: c (a) (b) (c) u = (1, 0, 0), u = (1, 0, 0), u = (1, 1, 1), B = [(1, 1, 1), (-1, 1, 0), (1, 0, -1)] , B = [(-1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 0, -1)] , B = [(0, 1, -1), (1, 1, 0), (1, 0, 2)] , (R3 , +, ·)R ; (R3 , +, ·)R ; (R3 , +, ·)R ;
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(d) (e) (f)
u = (1, 1, 1), u = (2, 5, 2, 11), u = 3 - 2i, 3 -5 0 3
B = [(0, 1, -1), (1, 0, 2), (1, 1, 0)] , B = [1 - i, 1 + i] , (C, +, ·)R .
(R3 , +, ·)R ; (R4 , +, ·)R ;
B = [(1, 1, -1, 1), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 2, 0), (0, 1, 2, 3)] ,
- Seja B a base identi?cada para o subespa¸o (G, +, ·)R constante no problema 32. c Mostre que? G e identi?que as suas coordenadas na base B. para o subespa¸o (Q, +, ·)R constante no problema 33. c? 3 7?? Q. / 3 ? 3 5?? Q e identi?que as suas coordenadas na base B. 3
- Seja B a base identi?cada? 2 4? 0 2 (a) Mostre que 0 0? 2 1? 0 2 (b) Mostre que 0 0
Intersec¸˜o de subespa¸os e soma de subespa¸os ca c c Considere a informa¸˜o que precede o problema 9. ca 38. Seja G = {(x, y, z, w)? R4 : x + y + z = 0? 2x + z + w = 0}. Do espa¸o (R4 , +, ·)R , considere o subespa¸o (F, +, ·)R tal que c c (F, +, ·)R = (1, 1, 1, 0), (-1, 0, 1, 1), (-5, -2, 1, 3). (a) Mostre que (G, +, ·)R ´ um subespa¸o do espa¸o (R4 , +, ·)R e construa uma sua base. e c c (b) Caracterize o conjunto-suporte do subespa¸o F n G e indique a sua dimens˜o. c a (c) Caracterize o conjunto-suporte do subespa¸o F + G e indique a sua dimens˜o. c a 39. Do espa¸o (R4 , +, ·)R , considere os subespa¸os (F, +, ·)R , (G, +, ·)R tais que c c F = (x, y, z, w)? R4 : x = y + w? z = y - w , (a) Construa uma base para o
