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Capítulo 10
Rotação
Neste capítulo vamos estudar o movimento de rotação de corpos
rígidos sobre um eixo fixo. Para descrever esse tipo de movimento,
vamos introduzir os seguintes conceitos novos:
-Deslocamento angular
-Velocidade angular instantânea média e (símbolo: ω )
-Aceleração angular média e instantânea (símbolo: α )
-Momento de inércia (símbolo I )
-Torque (símbolo τ )
Também vamos aprender a calcular a energia cinética associada à
rotação, escrever a segunda lei de Newton para o movimento de
rotação e introduzir a energia cinética e o trabalho para o movimento
de rotação
As variáveis de rotação Neste capítulo vamos estudar o movimento de rotação de corpos rígidos em torno de eixos fixos. O corpo rígido é definido como aquele que pode girar com todas as suas partes fixas e em conjunto e sem qualquer alteração da sua forma. O eixo fixo significa que o objeto roda em torno de um eixo que não se move. Podemos descrever o movimento de um corpo rígido rotação em torno de um eixo fixo, especificando apenas um parâmetro. Considere o corpo rígido da figura ao lado.
Tomamos o do eixo z para ser o eixo fixo de rotação. Nós definir uma linha de referência que é fixada no corpo rígido e é perpendicular ao eixo de rotação. Uma vista do topo é mostrado na parte inferior da figura. A posição angular da linha de referência a qualquer momento t é definido pelo ângulo θ(t) que faz com que as linhas de referência com a posição em t = 0. O ângulo θ (t) também define a posição de todos os pontos no corpo rígido, porque todos os pontos estão bloqueados como eles rodam. O ângulo θ está relacionada com o comprimento do arco s percorrida por um ponto a uma distância r a partir do eixo através da equação: s Nota: O ângulo θ é medido em radianos
r
ω 1
ω 2
t 1
t 2
d dt
Aceleração Angular Se a velocidade angular de um objeto rotativas alterações rígidas com o tempo podemos descrever a taxa de variação de ω definindo a aceleração angular.
Na figura é mostrada a linha de referência, uma vez t 1 e numa altura posterior t 2. A velocidade angular do corpo rotativo é igual para ω 1 em t 1 e ω 2 em t 2. Definimos como aceleração angular médio para o intervalo de tempo (t 1 , t 2 ) a relação:
A unidade SI para a velocidade angular é radianos / segundo^2
Nós definimos como a aceleração angular instantânea como:
ou
Vetor velocidade angular Para rotações de corpos rígidos sobre um eixo fixo podemos descrever com precisão a velocidade angular por designação de um sinal algébrica. Positivo para anti-horário e negativo para rotação no sentido horário
Na verdade, podemos usar a notação de vetor para descrever o movimento de rotação que é mais complicada. O vector de velocidade angular é definida como se segue:
A direção de 𝜔 é ao longo do eixo de rotação. O sentido de 𝜔 é definido pela regra da mão direita Regra da mão direita: Fechar a mão direita de modo que os dedos apontam na direção da rotação. O polegar da mão direita dá a sensação de 𝜔
θ (^) A O s
v r
T
T
f
2 f
Relacionando as variáveis lineares e angulares
Considere um ponto P sobre um corpo rígido girando sobre um eixo fixo. Em t =0 a linha de referência, que liga a origem com O ponto P está no eixo x (ponto A). Durante um intervalo de tempo, o ponto P se move ao longo do arco AP e percorre uma distância s. Ao mesmo tempo, a referência linha OP gira por um ângulo θ.
Relação entre a velocidade angular e a velocidade O comprimento de arco s e o ângulo θ estão ligados pela equação: onde r é a distância OP. A velocidade do ponto P é: (^) ou
O período revolução T é dada por: como Então:
2 2 r
v
a r
r
A aceleração A aceleração do ponto P é um vetor que tem duas componentes. A componente "radial" ao longo do raio r é apontando para o ponto O. Esta componente já foi vista no capítulo 4, onde chamamos aceleração "centrípeta". A sua magnitude é:
A segunda componente é ao longo da tangente ao caminho circular de P e é assim conhecido como a componente "tangencial". A sua magnitude é:
A magnitude do vector de aceleração é:
Na tabela abaixo listamos as inércias rotacionais para alguns corpos rígidos
I r dm^2
2
I I com Mh
Cálculo do momento de inércia O momento de inércia é dado por: para um corpo rígido que tem um distribuição discreto de massa.
Esta expressão é útil
Para uma distribuição contínua de massa a soma torna-se uma integral
Vimos anteriormente que I depende da posição do eixo de rotação Para um novo eixo que deve recalcular a integral para I. O método mais simples tira partido do teorema eixo paralelo. Considere o corpo rígido de massa M mostrado na figura ao lado. Nós assumimos que sabemos que o momento de inércia I com em torno do eixo de rotação um que passa através do centro de massa S e é perpendicular à página. O momento de inércia I sobre um eixo paralelo ao eixo por meio de S que passa através do ponto P, uma distância h de O é dada pela equação:
r F
Torque Na figura A ao lado é mostrado um corpo que pode girar em torno de um eixo que passa O ponto sob a ação de uma força F aplicada no ponto P a uma distância r de O. Na Figura b separamos F em duas componentes, radial e tangencial. O componente radial Fr não pode causar qualquer rotação porque atua ao longo de uma linha que passa através de O. A tangencial componente Ft = Fsin(ϕ) por outro lado faz com que a rotação do objeto em torno de O. A capacidade de F para rodar o corpo depende da magnitude Ft e também sobre a distância r entre os pontos P e A. Assim, podemos definir como torque:
A distância é conhecido como o braço de momento e é o distância perpendicular entre o ponto O e o vetor F. O sinal algébrico do binário é atribuído como se segue:
- Se uma força F tende a girar um objeto no anti-horário o sinal de direção é positiva.
- Se uma força F tende a girar uma objeto no sentido horário o sinal é negativo.
I (10-14)
Segunda Lei de Newton para a Rotação Para a segunda lei de movimento de translação de Newton liga a força que atua sobre uma partícula com a aceleração resultante. Há uma relação semelhante entre o torque de uma força aplicado sobre um objeto rígido e a aceleração angular resultante.
Esta equação é conhecida como segunda lei de Newton para a rotação. Vamos explorar esta lei, estudando um corpo simples que consiste em um ponto de massa m no final de uma haste sem massa de comprimento r. Uma força F é aplicada sobre a partícula e gira o sistema torno de um eixo na origem. Como fizemos anteriormente, vamos resolver em um F tangencial e uma componente radial. O componente tangencial é responsável para a rotação. Nós primeiro aplicar a segunda lei de Newton para Ft. Ft=mat (eq 1). O torque da agindo sobre a partícula é: τ=rFt (eq 2). Nos eliminamos Ft nas equações
(compare com F=ma)
(^1 2 ) 2^ f^ 2 i
K I I
Trabalho e energia cinética de rotação W K No capítulo 7 vimos que se uma força faz trabalho W sobre um objeto, isso resulta em uma mudança de sua energia cinética ΔK=W. De um modo semelhante, quando um torque faz trabalho W em um corpo em rotação rígida, ela muda a sua cinética de rotação energia na mesma quantidade:
Considere o corpo simples rígido mostrado na figura acima, que consiste numa massa m na extremidade de uma barra sem massa de comprimento r. A força F faz trabalho dW =Ft rdθ. O componente radial Fr faz trabalho zero, porque é em ângulo reto com o movimento. O trabalho é igual a:
em virtude do teorema da energia cinética que o trabalho têm uma variação da energia cinética:
f
i
W d
f
i
W d
W f i For constant torque
W K I f I i
P (10-17)
Potência A energia foi definida como a taxa a que o trabalho é feito por uma força e, no caso de movimento de rotação por um torque. Vimos que um torque produz trabalho dW =Ft rdθ como gira um objeto por um ângulo dθ.
Abaixo, um resumo dos resultados do teorema da energia cinética de rotação trabalho:
Para torque constante
Trabalho-rotação Teorema Energia Cinética
