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CINEM¡TICA DA ROTA«√O
Corpo rÌgido È um sistema de partÌculas no qual todos os pontos permanencem inalterados durante o movimento. Isto significa que as dist‚ncias , assim como os ‚ngulos entre partes diferentes deste sistema, permanecem constantes.
Velocidade e aceleraÁ„o angulares
y
s r x
A rotaÁ„o de um corpo rÌgido È descrita com referÍncia ao ‚ngulo , contado a partir do sentido positivo do eixo dos x. Na rotaÁ„o em torno de um eixo z, perpendicular ao plano da figura, cada ponto do corpo rÌgido descreve um deslocamento angular dado por (em radianos), e percorre um arco s dado por
s= r θ A velocidade angular do corpo È
= θ θ ω = & dt
d
e a aceleraÁ„o angular do corpo È
= θ
θ
ω α = 2 &&
2
dt
d dt
d
Por definiÁ„o, os vetores e s„o paralelos ao eixo de rotaÁ„o (no caso da figura acima, o eixo de rotaÁ„o È perpendicualr ao plano da figura). O sentido positivo ou negativo destes vetores È determinado pela regra da m„o direita. Exemplo 1. A situaÁ„o abaixo exemplifica a rotaÁ„o sem deslizamento de um disco ao longo da circunferÍncia de outro disco de mesmo raio r :
θ θ
Para um deslocamento angular , o centro do disco girante percorre 2 rθ, enquanto um di‚metro
qualquer na circunferÍncia descreve um deslocamento angular total igual a 2 θ. O giro completo
em torno do disco fixo resulta em uma rotaÁ„o de 4 radianos do disco girante (duas rotaÁıes completas, ou 720o). A velocidade do centro do disco girante È portanto igual a 2 rω, e a
aceleraÁ„o È 2 rα. Um ponto na circunferÍncia do disco girante descreve uma epicilÛide (Na figura
abaixo, a trajetÛria do ponto de tangÍncia inicial para dois discos de raio igual a 1).
Uma epiciclÛide.
Exemplo 2. Um disco de raio r rola sem deslizamento por um plano horizontal. Determine o movimento angular do disco em termos do movimento linear do centro do disco.
s
θ
O
A dist‚ncia percorrida pelo ponto de tangÍncia inicial È obviamente
s = r θ.
DaÌ, a velocidade e a aceleraÁ„o do centro O s„o, respectivamente,
v = ωr, a=αr.
O ponto inicial de tangÍncia descreve uma ciclÛide:
12. CIN…TICA DA ROTA«√O I
Um corpo rÌgido foi definido como um aglomerado de pontos que mantem fixas entre si as dist‚ncias. Assim, È possÌvel generalizar para um corpo rÌgido as formas das leis da mec‚nica como foram aplicadas a um sistema de partÌculas. Fi y
G m (^) i ri 2 m (^) i a m (^) i ri a
x
O conjunto de forÁas Fi aplicadas ao corpo rÌgido de centro de massa G produz uma aceleraÁ„o resultante a deste centro de massa, a aceleraÁ„o angular . A aceleraÁ„o centrÌpeta È calculada de acordo com a fÛrmula j· deduzida anteriormente para uma partÌcula, isto È,
i
2 i
2 i
2
i
2 c (^) r r
r r
v a =ω
ω = =.
Cada ponto m (^) i do corpo rÌgido est· assim sujeito ‡s aceleraÁıes a e . A posiÁ„o de m (^) i È definida pelo raio vetor ri , medido em relaÁ„o ao centro de massa G.
Torque Se em m (^) i a forÁa resultante È F , em relaÁ„o ao ponto G esta forÁa produz um torque definido prlo produto vetorial τ= r × F
… este torque que produz a aceleraÁ„o angular de mi. No movimento plano, este vetor, assim como os vetores e , È perpendicular ao plano do movimento, consistente com a definiÁ„o de produto vetorial vista anteriormente. Na situaÁ„o desenhada na figura abaixo, a massa mi est· presa a uma barra sÛlida de peso desprezÌvel, formando um corpo rÌgido que gira em torno da extremidade da barra: y F φ
m (^) i ri O x
O valor do torque sobre o corpo rÌgido devido ‡ forÁa F È
τ =r (^) i(Fsenφ)=ri(miαri)=(miri^2 )α=I α
A quantidade I = mi ri^2 È o momento de inÈrcia , ou inÈrcia rotacional do corpo rÌgido, calculada
nesta situaÁ„o em torno do eixo O.
… importante observar aqui que a equaÁ„o entre o torque, a aceleraÁ„o angular e o momento de inÈrcia È a express„o da 2a^ lei de Newton para a mec‚nica do corpo rÌgido.
Energia cinÈtica Para um corpo rÌgido a energia cinÈtica total È composta da energia cinÈtica devida ‡ velocidade linear do centro de massa mais a energia cinÈtica rotacional:
(^22) G I 2
mv 2
K = + ω ,
onde o momento de inÈrcia I do corpo rÌgido È agora a soma de todos os produtos I = m (^) i ri^2 das massas que compıem o corpo rÌgido em torno do centro de massa. … claro que para uma distribuiÁ„o contÌnua destas massas m (^) i o somatÛrio se generaliza para uma integral em toda a massa M do corpo:
= ò
M
I r^2 dm.
Nesta definiÁ„o, o c·lculo do momento de inÈrcia È realizado em relaÁ„o a um eixo que passa pelo centro de massa, mas o raio vetor r pode ser medido em relaÁ„o a qualquer outro eixo em torno do qual o corpo rÌgido tenha uma rotaÁ„o. Fica claro tambÈm que a distribuiÁ„o de massa em torno do centro de massa de um corpo rÌgido afeta diretamente o valor da sua inÈrcia rotacional. O raio de giraÁ„o de um corpo rÌgido em torno de um eixo È definido como
M
I
k 2 =.
Se M È a masa total de um corpo rÌgido concentrada em um ponto, k È a dist‚ncia deste ponto a um eixo de rotaÁ„o em relaÁ„o ao qual a inÈrcia rotacional È igual ‡ do corpo rÌgido. Conhecido o momento de inÈrcia I de um corpo rÌgido em relaÁ„o a um determinado eixo paralelo a um outro eixo que passa pelo centro de massa do corpo, e se d È a dist‚ncia entre estes dois eixos, o
teorema dos eixos paralelos permite calcular o momento de inÈrcia I em relaÁ„o ao eixo que passa pelo centro de massa atravÈs da seguinte fÛrmula de transferÍncia
I = I+Md^2.
Exemplos de c·lculo de momento de inÈrcia:
- Momento de inÈrcia em torno de um eixo de simetria de uma barra retilÌnea sÛlida de densidade uniforme e massa total M:
G
x dx
L
ML
L
L
3 L
M
xdx L
M
I rdm
L/ (^2332)
L/ 2
2 M
÷÷
ø
ö çç è
æ
= ò = ò = +
−
Para um eixo paralelo que passe por uma das extremidades da barra, o teorema dos eixos paralelos fornece, imediatamente,
ML
L
M
ML
I I Md
2 2 2 = +^2 = + =.
b) 9 2
5 (^2 2) ( 365 )( 24 )( 3600 )^2.^26410 rad/s
dt
dT T
T
dt
d dt
d − − =− × π × =− π ÷=− ø
ö ç è
α= ω= æ^ π
c) O tempo de parada do pulsar , em anos, a contar de hoje (2000 AD):
2000 4640 AD
T 2000
t 2000 9 + ≈ ×
π
π
ω = (^) −
d)
T t T T 0. 033 ( 2000 1054 ) 0. 021 s 21 ms dt
dT = κ Þ =κ+ o Þ o= −κ − = =.
41 Livro-texto
As velocidades tangenciais das duas polias s„o iguais. Em qualquer momento, ωA rA =ωCrC. As
aceleraÁıes angulares estar„o portanto relacionadas por
2 A C
A A A C C C 25 (^1.^6 )^0.^64 rad/s
r
r r α =rα Þ α = α = =
DaÌ segue
- 4 s. ( 0. 64 )( 60 )
C Ct t =
π ω =α Þ =
55 Livro-texto
Pelo teorema dos eixos paralelos,
M(a b) 4
(a b ) M 12
M(a b) I I Md
2 2 2 2 2 2 = +^2 = + + + = +
66 Livro-texto
Calculando o torque resultante,
τ=F 1 R 2 −F 2 R 2 −F 3 R 1 =( 6 )( 0. 12 )−( 4 )( 0. 12 )−( 2 )( 0. 05 )= 0. 14 Nm
A aceleraÁ„o angular È dada pela equaÁ„o da 2a^ Lei de Newton para a rotaÁ„o de corpo rÌgido:
2 (^2) ( 2 ) ( 0. 12 ) 2 1.^55 rad/s
M r
I =
π
π
τ τ = α Þ α= no sentido anti-hor·rio (positivo).
85 Livro-texto
A corda garante que, n„o havendo deslizamento, as velocidades tangenciais da esfera e da polia s„o iguais ‡ velocidade de queda do objeto. Com isto È possÌvel obter imediatamente as velocidades angulares da esfera e da polia em termos da velocidade de queda do objeto:
r
v e R
v ωeR =ωpr=v Þωe= ωp=
Aplicando o teorema do trabalho e da energia cinÈtica ao sistema,
2M3m Imr 2
2 2 2 2 1
2gh mgh v r
v I 2
R
v 3
2 MR
mv 2
÷ = Þ =
ø
ö ç è
æ ÷^ + ø
ö ç è
æ ÷÷ ø
ö çç è
æ +.
13. CIN…TICA DA ROTA«√O II
O IÙ-IÙ
R
r
m g
T
Pela 2a^ Lei de Newton, as forÁas aplicadas ao iÙ-iÙ na vertical d„o origem ‡ aceleraÁ„o do iÙ-iÙ, e o torque d· origem ‡ sua aceleraÁ„o angular:
r
a Tr I I
T mg ma
τ= = α =
Com isto,
1 I mr^2
g a
Assim, a aceleraÁ„o linear do iÙ-iÙ, devido ‡ sua inÈrcia rotacional, È menor que a aceleraÁ„o da gravidade: quanto maior o momento de inÈrcia, menor ser· o valor da aceleraÁ„o vertical do iÙ-iÙ.
Momento angular
O momento angular de um sistema de partÌculas È definido como o momento do momento linear do sistema:
= å × =å
i i
L r i mi v i l i
O momento angular, assim como o torque, sÛ existe em relaÁ„o a um ponto. No movimento plano , o momento angular, assim como o torque, existem em relaÁ„o a um eixo , e o vetor L È sempre perpendicualar ao plano do movimento, e a notaÁ„o vetorial torna-se desnecess·ria, como acontece com o torque, a velocidade angular e a aceleraÁ„o angular. Calculando a derivada do momento angular em relaÁ„o ao tempo,
=å × +å × =å × = ττττ
i
i i i i
i i i i
i i
i dt
d m dt
d m m dt
d dt
d v r
v v r
L r
Isto È, o torque resultante em um sistema de partÌculas È igual ‡ derivada do momento angular resultante. O ponto em relaÁ„o ao qual r i È determinado pode ser o prÛprio centro de massa do sistema. Se mi varia, ent„o as equaÁıes acima n„o se aplicam porque dm (^) i dt≠ 0. As expressıes acima s„o diretamente generaliz·veis para um corpo rÌgido. Assim, para um corpo rÌgido em movimento plano, com o centro de massa ‡ velocidade v, o momento angular em relaÁ„o a um eixo qualquer ‡ dist‚ncia d do centro de massa ser·
L = Iω+mvd.
