Baixe Capítulo 14 Elipse e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Capítulo 14
Elipse
Nosso objetivo, neste e nos próximos capítulos, é estudar a equação
geral do segundo grau em duas variáveis:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 , onde A 6 = 0 ou B 6 = 0 ou C 6 = 0
Para isso, de niremos, geometricamente, uma elipse, uma hipérbole e
uma parábola, que são possíveis soluções não degeneradas da equação acima.
1. Elipse
De nição 1
Uma elipse E de focos F 1 e F 2 é o conjunto do plano que consiste de todos
os pontos P , cuja soma das distâncias a F 1 e F 2 é igual a uma constante
2 a > 0 , maior do que a distância entre os focos 2 c > 0. Ou seja:
E = { P | d(P, F 1 ) + d(P, F 2 ) = 2a } ,
0 < c < a ; d(F 1 , F 2 ) = 2c
Terminologia
- Como dissemos na de nição, os pontos F 1 e F 2 são os focos da elipse.
- A reta ` que contém os focos é a reta focal.
243
244 1.. ELIPSE
Figura 1: Posicionamento dos focos da elipse na reta focal.
- A interseção da elipse com a reta focal ` consiste de exatamente dois pontos,
A 1 e A 2 , chamados vértices da elipse sobre a reta focal.
De fato, seja A ∈ E ∩ `. Então, A 6 ∈ F 1 F 2 , pois, se A ∈ F 1 F 2 , teríamos
2 c = d(F 1 , F 2 ) = d(A, F 1 ) + d(A, F 2 ) = 2a ,
isto é, 2 c = 2a, o que é impossível, já que, por de nição, 2 c < 2 a.
Seja A 2 ∈ E ∩ ` − F 1 F 2 tal que x = d(A 2 , F 2 ).
Como 2 a = d(A 2 , F 1 ) + d(A 2 , F 2 ) = x + 2c + x, pois A 2 ∈ E, temos que
x = a − c.
Figura 2: Determinação da distância dos vértices aos focos da elipse.
Logo, o ponto A 2 pertencente a ` − F 1 F 2 , que dista a − c do foco F 2 ,
pertence à elipse E. De modo análogo, o ponto A 1 pertencente a ` − F 1 F 2 ,
que dista a − c do foco F 1 , pertence à elipse E.
Figura 3: Posicionamento dos vértices em relação aos focos da elipse na reta focal.
- O segmento A 1 A 2 é denominado eixo focal da elipse. O seu comprimento
é 2 a.
Figura 4: Posicionamento dos focos, vértices e centro da elipse na reta focal.
J. Delgado - K. Frensel - L. Crissa Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
246 2.. FORMA CANÔNICA DA ELIPSE
4 F 2 P Q ≡ 4F 2 P ′Q e 4 F 1 P Q ≡ 4F 1 P ′Q.
Em particular, |F 1 P | = |F 1 P ′ | e |F 2 P | = |F 2 P ′ |. Logo,
2 a = d(P, F 1 ) + d(P, F 2 ) = d(P ′ , F 1 ) + d(P ′ , F 2 ) =⇒ P ′ ∈ E.
Figura 6: Simetria da elipse em relação à reta focal.
Se P ∈ E e P ′′^ é o simétrico de P em relação ao centro, então:
4 P CF 2 ≡ 4P ′′ CF 1 e 4 F 1 CP ≡ 4F 2 CP ′′ .
Em particular, |F 1 P | = |F 2 P ′′| e |F 2 P | = |F 1 P ′′|. Portanto,
2 a = d(P, F 1 ) + d(P, F 2 ) = d(P ′′ , F 2 ) + d(P ′′ , F 1 ) =⇒ P ′′ ∈ E.
Figura 7: Simetria da elipse em relação ao centro.
A simetria em relação à reta não focal se veri ca de maneira análoga, usando
congruência de triângulos.
2. Forma canônica da elipse
Vamos obter a equação da elipse em relação a um sistema de eixos
ortogonais OXY para alguns casos especiais.
J. Delgado - K. Frensel - L. Crissa Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
CAPÍTULO 14. ELIPSE 247
2.1 Elipse com centro na origem e reta focal coincidente
com o eixo OX
Neste caso, F 1 = (−c, 0), F 2 = (c, 0), A 1 = (−a, 0), A 2 = (a, 0),
B 1 = (0, −b) e B 2 = (0, b). Logo,
P = (x, y) ∈ E ⇐⇒ d(P, F 1 ) + d(P, F 2 ) = 2a
(x + c)^2 + y^2 +
(x − c)^2 + y^2 = 2a
(x + c)^2 + y^2 = 2a −
(x − c)^2 + y^2
⇐⇒ (x + c)^2 + y^2 = 4a^2 − 4 a
(x − c)^2 + y^2 + (x − c)^2 + y^2
⇐⇒ x^2 + 2xc + c^2 + y^2 = 4a^2 − 4 a
(x − c)^2 + y^2 + x^2 − 2 xc + c^2 + y^2
⇐⇒ 4 xc = 4a^2 − 4 a
(x − c)^2 + y^2
⇐⇒ a 2 − cx = a
(x − c)^2 + y^2
⇐⇒ (a^2 − cx)^2 = a^2 ((x − c)^2 + y^2 )
⇐⇒ a 4 − 2 a 2 cx + c 2 x 2 = a 2 (x 2 − 2 xc + c 2
⇐⇒ (a^2 − c^2 )x^2 + a^2 y^2 = a^4 − a^2 c^2 = a^2 (a^2 − c^2 )
⇐⇒ b 2 x 2
x^2 a^2
y^2 b^2
Forma canônica da elipse de centro na origem e reta focal coincidente com o eixo OX.
2.2 Esboço da Elipse
Como
y^2 b^2
x^2 a^2
a^2 − x^2 a^2
, temos que y = ±
b a
a^2 − x^2.
Consideremos o grá co da função y =
b a
a^2 − x^2 , x ∈ [0, a]. Para
x = 0 e x = a, temos y = b e y = 0, respectivamente.
É fácil veri car que a função é decrescente, pois:
x < x ⇐⇒ x 2 < x 2 ⇐⇒ a 2 − x 2
a 2 − x 2
⇐⇒ y =
b a
a^2 − x^2 > y =
b a
a^2 − x 2 ,
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF
CAPÍTULO 14. ELIPSE 249
2.3 Elipse com centro na origem e reta focal coincidente
com o eixo OY
Neste caso, F 1 = (0, −c), F 2 = (0, c), A 1 = (0, −a), A 2 = (0, a),
B 1 = (−b, 0) e B 2 = (b, 0).
Desenvolvendo como no caso anterior, podemos veri car que a equação
da elipse é:
x^2 b^2
y^2 a^2
Forma canônica da elipse de centro na origem e reta focal coincidente com o eixo OY.
Figura 10: Elipse E : x 2 b^2 +^
y^2 a^2 = 1.
Exemplo 1
Os vértices de uma elipse são os pontos (4, 0) e (− 4 , 0) e seus focos são os
pontos (3, 0) e (− 3 , 0). Determine a equação da elipse.
Solução.
Como F 1 = (− 3 , 0) e F 2 = (3, 0), a reta focal é o eixo−OX e A 1 = (− 4 , 0),
A 2 = (4, 0) são os vértices sobre a reta focal `.
Então, C =
F 1 + F 2 2
A 1 + A 2 2
= (0, 0) é o centro da elipse, a = d(C, A 1 ) =
d(C, A 2 ) = 4, c = d(C, F 1 ) = d(C, F 2 ) = 3 e b =
a^2 − c^2 =
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF
250 2.. FORMA CANÔNICA DA ELIPSE
Logo, a equação da elipse é E :
x^2 16
y^2 7
Exemplo 2
Dois vértices de uma elipse E são os pontos (0, 6) e (0, −6) e seus focos são
os pontos (0, 4) e (0, −4). Determine a equação da elipse E.
Solução.
Temos F 1 = (0, −4) e F 2 = (0, 4). Então, a reta focal (que contém os focos)
é o eixo OY , os vértices sobre a reta focal são A 1 = (0, −6) e A 2 = (0, 6),
e o centro da elipse E é a origem, pois C =
(0, 4) + (0, −4) 2
= (0, 0). Como
a = d(C, A 1 ) = 6 e c = d(C, F 1 ) = 4, temos que b^2 = a^2 − c^2 = 36 − 16 = 20.
Portanto, a equação da elipse é E :
x^2 20
y^2 36
Exemplo 3
Os focos de uma elipse são os pontos (2, 0) e (− 2 , 0) e sua excentricidade é
2 3
. Determine a equação da elipse.
Solução.
Temos que a reta focal é o eixo OX, o centro da elipse é a origem C = (0, 0),
c = d(C, F 1 ) = 2 e e =
2 3
c a
2 a
=⇒ a = 3. Logo, b^2 = a^2 − c^2 = 9 − 4 = 5
e
x^2 9
y^2 5
= 1 é a equação da elipse. (^)
Exemplo 4
Uma elipse E tem seu centro na origem e um de seus vértices sobre a reta
focal é (0, 7). Se a elipse passa pelo ponto
14 3
, determine sua equação,
seus vértices, seus focos e sua excentricidade. Faça também um esboço da
elipse.
J. Delgado - K. Frensel - L. Crissa Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
252 3.. TRANSLAÇÃO DOS EIXOS COORDENADOS
Finalmente, a excentricidade de E é e =
c a
2
√ 10 7
3. Translação dos eixos coordenados
Seja OXY um sistema de eixos ortogonais e seja O = (x 0 , y 0 ) um ponto
no plano.
Seja O X Y o sistema cujos eixos O X e O Y são paralelos aos eixos OX
e OY e têm, respectivamente, o mesmo sentido que estes eixos.
Sejam (x, y) as coordenadas do ponto P no sistema de eixos O X Y e
(x, y) as coordenadas de P no sistema de eixos OXY.
Então, as coordenadas do ponto P nos sistemas OXY e O X Y são
relacionadas por:
x = x + x 0
y = y + y 0
Figura 12: Ponto P = (x, y)O X Y = (x 0 + x, y 0 + y)OXY.
Exemplo 5
Faça um esboço da curva
x^3 − 3 x^2 − y^2 + 3x + 4y − 5 = 0.
Para isso, escreva a equação nas coordenadas x e y do sistema de eixos O X Y ,
obtido quando o sistema OXY é transladado para a origem O = (1, 2).
J. Delgado - K. Frensel - L. Crissa Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
CAPÍTULO 14. ELIPSE 253
Solução.
Fazendo x = x + 1 e y = y + 2 na equação dada, obtemos:
(x + 1)^3 − 3(x + 1)^2 − (y + 2)^2 + 3(x + 1) + 4(y + 2) − 5 = 0.
Simpli cando esta identidade, temos x^3 = y^2.
Então, y = ±x 3 / 2 e x ≥ 0.
Fazer agora o esboço da curva é bem mais simples.
Figura 13: Grá co da curva x^3 − 3 x^2 − y^2 + 3x + 4y − 5 = 0.
4. Elipse com centro no ponto O = (x 0 , y 0 )
- Caso I. Reta focal paralela ao eixo OX
Como o centro O = (x 0 , y 0 ) pertence à reta focal, temos que ` : y = y 0
é a equação cartesiana da reta focal.
Além disso, como d(F 1 , O) = d(F 2 , O) = c, onde F 1 e F 2 são os focos
da elipse, temos que F 1 = (x 0 − c, y 0 ) e F 2 = (x 0 + c, y 0 ).
Seja P = (x, y) = (x + x 0 , y + y 0 ) um ponto pertencente à elipse, onde
x, y são suas coordenadas no sistema OXY e x, y são suas coordenadas no
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF
CAPÍTULO 14. ELIPSE 255
- Caso II. Reta focal paralela ao eixo OY
Procedendo de maneira análoga ao caso anterior, veri ca-se que a
forma canônica da equação da elipse com centro no ponto (x 0 , y 0 ) e
eixo focal paralelo ao eixo OY é:
(x − x 0 )^2 b^2
(y − y 0 )^2 a^2
= 1 , onde b^2 = a^2 − c^2
Neste caso, os focos são F 1 = (x 0 , y 0 − c) e F 2 = (x 0 , y 0 + c); a reta
focal é ` : x = x 0 ; os vértices sobre a reta focal são A 1 = (x 0 , y 0 − a) e
A 2 = (x 0 , y 0 + a); a reta não focal é `′^ : y = y 0 e os vértices sobre a reta não
focal são B 1 = (x 0 − b, y 0 ) e B 2 = (x 0 + b, y 0 ).
Figura 15: Grá co da elipse E : (x−x^0 )
2 b^2 +^
(y−y 0 )^2 a^2 = 1^.
Exemplo 6
Os focos de uma elipse E são (3, 8) e (3, 2), e o comprimento do seu eixo
não focal é 8. Determine a equação da elipse E, os seus vértices e a sua
excentricidade.
Solução.
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF
256 4.. ELIPSE COM CENTRO NO PONTO O = (X 0 , Y 0 )
Como F 1 = (3, 2) e F 2 = (3, 8) são os focos da elipse, a reta focal de E é
` : x = 3 (paralela ao eixo OY ) e o centro de E é C =
F 1 + F 2 2
= (3, 5). Além
disso, 2 b = 8, isto é, b = 4, c = d(C, F 1 ) = d(C, F 2 ) = 3 e a^2 = b^2 +c^2 = 4^2 +3^2
= 16 + 9 = 25, isto é, a = 5. Portanto, e =
c a
3 5
; A 1 = (3, 0) e
A 2 = (3, 10) são os vértices de E sobre a reta focal; `′^ : y = 5 é a reta
não focal; B 1 = (− 1 , 5) e B 2 = (7, 5) são os vértices de E sobre a reta não
focal e
E :
(x − 3)^2 16
(y − 5)^2 25
é a equação da elipse. (^)
Exemplo 7
A equação de uma elipse é E : x^2 + 4y^2 + 2x − 12 y + 6 = 0. Determine a
equação da elipse na forma canônica, o seu centro, os seus vértices, os seus
focos e a sua excentricidade.
Solução.
Completando os quadrados na equação de E, temos:
E : (x 2
E : (x^2 + 2x + 1) + 4
y^2 − 3 y +
9 4
= −6 + 1 + 4 ×
9 4
E : (x + 1)^2 + 4
y −
3 2
E :
(x + 1)^2 4
y −
3 2
sendo esta última equação a forma canônica de E. Desta equação, obte-
mos que o centro da elipse é C =
3 2
, a = 2, b = 1 e, portanto,
c^2 = a^2 − b^2 = 2^2 − 12 = 3, ou seja, c =
A reta focal de E é ` : y =
3 2
, paralela ao eixo OX, e a reta não focal é
`′^ : x = − 1 , paralela ao eixo−OY.
J. Delgado - K. Frensel - L. Crissa Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
258 5.. EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU COM B = 0 E AC > 0
ou
ou
Prova.
Dividindo a equação (1) por AC, obtemos:
x^2 C
y^2 A
D AC
x +
E AC
y +
F AC
ou seja,
x^2 +
D A
x
C
y^2 +
E C
y
A
F AC
Completando os quadrados, temos:
x^2 +
D A
x+
D^2 4 A^2 C
y^2 +
E C
y+
E^2 4 C^2 A
F AC
D^2 4 A^2 C
E^2 4 AC^2
Isto é,
(
x +
D 2 A
) 2
C
(
y^2 +
E 2 C
) 2
A
C^2 D^2 + ACE^2 − 4 AF C^2 4 A^2 C^3
M 4 A^2 C^3
onde M = C^2 D^2 + ACE^2 − 4 AF C^2.
Se M = 0, a equação (2) representa o ponto
D 2 A
E 2 C
, pois A e C têm
o mesmo sinal.
Se M 6 = 0, podemos escrever a equação (2) na forma:
( x +
D 2 A
) 2
M 4 A^2 C^2
( y^2 +
E 2 C
) 2
M 4 ACC^2
Como AC > 0 , a equação (3) representa uma elipse de eixos paralelos aos
eixos coordenados e centro no ponto
D 2 A
E 2 C
, se M > 0.
Se M < 0 , a equação (3) representa o conjunto vazio, pois
M 4 A^2 C^2
< 0 e
J. Delgado - K. Frensel - L. Crissa Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
CAPÍTULO 14. ELIPSE 259
M 4 ACC^2
Os casos em que a equação do segundo grau Ax^2 +Cy^2 +Dx+Ey+F = 0,
com AC > 0 , representa um ponto ou o conjunto vazio são denominados ca-
sos degenerados da elipse.
Exemplo 8
Determine se as equações abaixo representam uma elipse ou uma elipse de-
generada. Caso seja uma elipse, determine seus principais elementos.
(a) 25 x^2 + 9y^2 − 225 = 0.
Solução.
Como 25 x 2 +9y 2 = 225, obtemos, dividindo por 225 , que a equação
x^2 9
y^2 25
representa uma elipse com:
- centro: C = (0, 0);
- reta focal: ` = eixo − OY : x = 0;
- reta não focal: `′^ = eixo − OX : y = 0;
- vértices sobre a reta focal: A 1 = (0, −5) e A 2 = (0, 5);
- vértices sobre a reta não focal: B 1 = (− 3 , 0) e B 2 = (3, 0);
- focos: F 1 = (0, −4) e F 2 = (0, 4). (^)
(b) 4 x 2
- 9y 2 − 40 x + 36y + 100 = 0.
Solução.
Completando os quadrados, obtemos:
4(x 2 − 10 x) + 9(y 2
⇐⇒ 4(x^2 − 10 x + 25) + 9(y^2 + 4y + 4) = −100 + 4 × 25 + 9 × 4
⇐⇒ 4(x − 5)^2 + 9(y + 2)^2 = 36
(x − 5)^2 9
(y + 2)^2 4
Logo, a equação representa uma elipse com:
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial GGM-IME-UFF
Capítulo 15
Hipérbole
1. Hipérbole
De nição 1
Uma hipérbole H de focos F 1 e F 2 é o conjunto do plano que consiste de
todos os pontos P tais que o módulo da diferença das distâncias a F 1 e F 2
é igual a uma constante 2 a > 0 , menor do que a distância entre os focos
2 c > 0.
H = { P | | d(P, F 1 ) − d(P, F 2 ) | = 2a }
0 < a < c ; d(F 1 , F 2 ) = 2c
Terminologia
- Os pontos F 1 e F 2 são os focos da hipérbole.
- A reta ` que contém os focos é a reta focal(ver gura 1.).
Figura 1: Reta focal da hipérbole.
- A interseção da hipérbole com a reta focal ` consiste de exatamente dois
pontos, A 1 e A 2 , chamados vértices da hipérbole.
261
262 1.. HIPÉRBOLE
Observemos primeiro que, se P ∈ ` − F 1 F 2 então P /∈ H. De fato, se P
pertence à semirreta de origem F 1 que não contém F 2 e d(P, F 1 ) = x, então
P /∈ H, pois:
|d(P, F 1 ) − d(P, F 2 )| = |x − (x + 2c)| = 2c > 2 a.
Figura 2: Posicionamento dos vértices em relação aos focos da hipérbole na reta focal.
E, se P pertence à semirreta de origem F 2 que não contém F 1 e d(P, F 1 ) = x,
então P /∈ H, pois:
|d(P, F 1 ) − d(P, F 2 )| = |(x + 2c) − x| = 2c > 2 a.
Figura 3: Posicionamento dos vértices em relação aos focos da hipérbole na reta focal.
Seja A 1 ∈ F 1 F 2 ∩ H tal que d(A 1 , F 1 ) = x e 0 < x < c.
Figura 4: Posicionamento dos vértices em relação aos focos da hipérbole na reta focal.
Como d(F 1 , F 2 ) = 2c, temos:
|d(A 1 , F 1 ) − d(A 1 , F 2 )| = 2a ⇐⇒ |x − (2c − x)| = 2a ⇐⇒ | 2 x − 2 c| = 2a
⇐⇒ 2 c − 2 x = 2a ⇐⇒ x = c − a.
Logo, o ponto A 1 de F 1 F 2 , distante c − a de F 1 , pertence à hipérbole.
Analogamente, o ponto A 2 de F 1 F 2 , distante c − a de F 2 , pertence à
hipérbole H.
- O segmento A 1 A 2 é denominado eixo focal da hipérbole e seu comprimento
é d(A 1 , A 2 ) = 2a.
J. Delgado - K. Frensel - L. Crissa Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
