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Elipse (^) M ODULO 1´ - AULA 18
Aula 18 – Elipse
Objetivos
- Descrever a elipse como um lugar geom´etrico.
- Determinar a equa¸c˜ao reduzida da elipse no sistema de coordenadas com origem no ponto m´edio entre os focos e eixo x como o eixo focal.
- Esbo¸car o gr´afico da elipse, a partir da equa¸c˜ao reduzida, e fazer transla¸c˜oes.
- Identificar os parˆametros a,b e c e a sua excentricidade.
- Determinar as coordenadas dos focos e dos v´ertices, a partir da equa¸c˜ao reduzida.
Conceitos: Sistemas de coordenadas e distˆancias no plano.
Referˆencias: Aulas 13 e 14.
Como acabamos de mencionar na aula anterior, h´a muitas aplica¸c˜oes para a par´abola, sendo esta curva plana encontrada em v´arias situa¸c˜oes na pr´atica cotidiana. A elipse, curva plana que vamos descrever nesta aula, n˜ao ´e t˜ao facilmente encontrada na natureza. Por´em, observe as seguintes figuras:
Figura 18.1: Vemos uma elipse olhando um c´ırculo de lado.
Figura 18.2: Elipse na superf´ıcie da ´agua num copo inclinado.
Figura 18.3: Elipse no telhado do planet´ario Ty- cho Brahe em Copenha- gen, Dinamarca.
Kepler, 1571-1630. Nasceu perto de Stuttgart. Obteve o modelo para o movimento dos planetas, usando os dados observados pelo astrˆonomo Tycho Brahe.
Embora os gregos j´a conhecessem as cˆonicas, apenas em 1609 o astrˆonomo alem˜ao Johann Kepler descobriu que as ´orbitas dos planetas eram elipses.
Consideremos fixados no plano dois pontos F 1 e F 2. A elipse ´e o lugar geom´etrico dos pontos do plano cuja soma das distˆancias aos pontos F 1 e F 2 ´e constante. Escrevendo esta constante como 2 a, temos
elipse = {P | d(P, F 1 ) + d(P, F 2 ) = 2a}. Os pontos F 1 e F 2 s˜ao chamados focos da elipse.
Foi Kepler quem introduziu o nome foco.
Elipse
Figura 18.4: Vista da ´orbita que a Terra faz ao redor do Sol.
Figura 18.5: A soma das distˆancias de um ponto da elipse a F 1 e F 2 ´e constante: d 1 +d 2 = 2 a.
Vocˆe j´a deve ter observado que os jardineiros, preferencialmente, cons- troem canteiros circulares e el´ıpticos. E muito f´´ acil desenhar na terra ou no papel c´ırculos e elipses. O jardineiro amarra cada ponta de um barbante em um graveto, fixa os dois gravetos, na terra, a uma distˆancia menor que o comprimento do barbante e, com um terceiro graveto, estica o barbante. Os pontos na terra descritos pelo terceiro graveto formam a elipse.
Vocˆe pode desenhar uma elipse no papel, prendendo as extremidades do barbante com tachas e usando um l´apis para esticar o barbante. As tachas ser˜ao os focos da elipse. Observe que a distˆancia entre os focos ´e, obviamente, menor do que o comprimento do barbante.
Figura 18.6: Desenhando uma elipse no papel.
Seja 2c a distˆancia entre F 1 e F 2. Note que 2c < 2 a, isto ´e, c < a. Para encontrar a equa¸c˜ao de uma elipse, vamos fixar um sistema de coordenadas. Consideramos o eixo x como a reta passando por F 1 e F 2 , com a origem O situada no ponto m´edio do segmento F 1 F 2 , e o eixo y sendo a reta perpendicular a este segmento passando por O. A orienta¸c˜ao do eixo x
Elipse
Como a > c > 0, temos que a^2 > c^2. Assim, a^2 − c^2 ´e um n´umero real positivo e podemos escrevˆe-lo como o quadrado de um n´umero real b > 0, logo b^2 = a^2 − c^2. Observe que b < a. A equa¸c˜ao anterior se reescreve como b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2 que, dividindo por a^2 b^2 6 = 0, ´e equivalente a
x^2 a^2 +^
y^2 b^2 = 1,^ onde^ c
(^2) = a (^2) − b (^2).
Esta equa¸c˜ao ´e chamada equa¸c˜ao reduzida da elipse. A interpreta¸c˜ao geom´etrica para a e b pode ser vista a partir da equa¸c˜ao reduzida. Fazendo y = 0 nesta equa¸c˜ao, obtemos x
2 a^2 = 1, que ´e equivalente a x^2 = a^2. Portanto, x = ±a e os pontos A 1 = (−a, 0) e A 2 = (a, 0) s˜ao pontos da elipse, chamados v´ertices. O eixo maior da elipse ´e o segmento de reta A 1 A 2 , que tem comprimento 2a. Fazendo agora x = 0, obtemos y
2 b^2 = 1, que d´a y = ±b. Logo, os pontos B 1 = (0, −b) e B 2 = (0, b) s˜ao os pontos de interse¸c˜ao da elipse com o eixo y e s˜ao as extremidades do eixo menor, cujo comprimento ´e 2b. A origem O ´e o centro da elipse. Observe que os focos est˜ao situados no eixo maior da elipse.
Figura 18.8: Eixos maior e menor da elipse.
Figura 18.9: Rela¸c˜ao dos parˆametros: a^2 = b^2 + c^2.
O gr´afico da elipse ´e
Graf =
(x, y)
∣∣ x^2 a^2 +^
y^2 b^2 = 1
Ilustramos, nas Figuras 18.10 e 18.11, os gr´aficos de x
2 4 +^
y^2 1 = 1 e x^2 9 +^
y^2 4 = 1.
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Figura 18.10: Elipse x 42 + y 12 = 1. Figura 18.11: Elipse x 92 + y 42 = 1.
Note que:
(1) um ponto P = (x, y) est´a na elipse ⇐⇒ (x, −y) tamb´em est´a na elipse.
(2) um ponto P = (x, y) est´a na elipse ⇐⇒ (−x, y) tamb´em est´a na elipse.
(3) um ponto P = (x, y) est´a na elipse ⇐⇒ (−x, −y) tamb´em est´a na elipse.
As propriedades anteriores s˜ao conseq¨uˆencia das vari´aveis x e y apare- cerem ao quadrado na equa¸c˜ao da elipse e significam, respectivamente, que:
(1) o gr´afico da elipse ´e sim´etrico com respeito ao eixo x. (2) o gr´afico da elipse ´e sim´etrico com respeito ao eixo y. (3) o gr´afico da elipse ´e sim´etrico com respeito `a origem O.
Figura 18.12: Visualiza¸c˜ao das simetrias dos pontos da elipse.
A excentricidade da elipse ´e o n´umero real
e = c a
, 0 < e < 1.
A excentricidade da elipse ´e respons´avel pela forma da elipse. Elipses com excentricidade pr´oxima de zero tˆem os semi-eixos com com- primentos pr´oximos. Elas s˜ao aproximadamente um c´ırculo, pois
e = c a ≈ 0 =⇒ c ≈ 0 =⇒ c^2 ≈ 0 =⇒ b^2 = a^2 − c^2 ≈ a^2 =⇒ b ≈ a. (^) o s´ımbolo ≈ significa aproximadamente.
Elipse (^) M ODULO 1´ - AULA 18
x^2 9 +^
y^2 4 = 1. O centro (0,^ 0) desta ´ultima elipse ´e transladado para (1,^ −2).
De modo geral, a elipse x
2 a^2 +^
y^2 b^2 = 1 tem centro (0,^ 0) e eixos de simetria x = 0 e y = 0. Quando esta elipse ´e transladada de h unidades, horizontal- mente, e de k unidades, verticalmente, uma elipse congruente ´e obtida tendo equa¸c˜ao
(x − h)^2 a^2 +
(y − k)^2 b^2 = 1.
O centro (0, 0) ´e transladado para o ponto (h, k) e os focos, os v´ertices, as extremidades do eixo menor e os eixos de simetria s˜ao transladados como indicado a seguir:
x^2 a^2 +^
y^2 b^2 = 1^
(x − h)^2 a^2 +^
(y − k)^2 b^2 = 1 centro: (0, 0) −→ (h, k) focos: (c, 0) e (−c, 0) −→ (c + h, k) e (−c + h, k) v´ertices: (a, 0) e (−a, 0) −→ (a + h, k) e (−a + h, k) extremidades do eixo menor :^ (0, b) e (0,^ −b)^ −→^ (h, b^ +^ k) e (h,^ −b^ +^ k) eixos de simetria: x = 0 e y = 0 −→ x = h e y = k
Aten¸c˜ao:
A transla¸c˜ao n˜ao afeta a excentricidade, porque a transla¸c˜ao n˜ao de- forma a figura.
Figura 18.14: Elipses x a^22 + y b 22 = 1 e (x− a 2 h )^2 + (y− b 2 k )^2 = 1, com a > b.
Elipse
Resumo
Vocˆe aprendeu a descrever a elipse como um lugar geom´etrico; a deter- minar os parˆametros a, b e c da elipse, a partir da equa¸c˜ao reduzida obtida no sistema de coordenadas onde o eixo x ´e o eixo focal e a origem ´e o centro de simetria da elipse ; a fazer transla¸c˜oes; a determinar as coordenadas dos focos, dos v´ertices e do eixo menor; a determinar a excentricidade da elipse e o seu significado.
Exerc´ıcios
- Esboce o gr´afico das elipses:
(a) x
2 16 +^
y^2 9 = 1 (b) x
2 4 +^
y^2 1 = 1 (c) x
2 25 +^
y^2 16 = 1 (d) 8x^2 + 9y^2 = 72
(e) x^2 + 9y^2 = 36 (f) (x^ −^ 1)
2 9 +^
(y + 2)^2 4 = 1 (g) 9(x − 3)^2 + 16(y − 2)^2 = 144 (h) 4(x + 2)^2 + 9(y − 3)^2 = 36 (i) 9x^2 + 25y^2 = 225
- Considere as elipses do exerc´ıcio anterior. Determine: (a) as coordenadas dos focos e dos v´ertices. (b) a excentricidade.
- Determine a equa¸c˜ao reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada:
(a) Centro (0, 0), eixo maior horizontal de comprimento 8 e eixo menor de comprimento 6. (b) Focos (± 3 , 0) e v´ertices (± 5 , 0). (c) Os pontos limitantes dos eixos maior e menor s˜ao, respectiva- mente, (3, 1), (9, 1) e (6, −1), (6, 3). (d) Focos (− 2 , 4) e (6, 4), eixo menor de comprimento 8.
- Determine as coordenadas do centro, v´ertices e focos das elipses: 4 x^2 − 8 x + 9y^2 − 36 y + 4 = 0 e 16y^2 + 64y + x^2 − 4 x + 52 = 0.
- O Sputnik, primeiro sat´elite lan¸cado da Terra em 1957, descrevia uma ´orbita el´ıptica, sendo o centro da Terra um dos focos. Determine a equa¸c˜ao da sua ´orbita, sabendo que, aproximadamente, a sua maior
