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I. CIRCUNFERÊNCIA
1.1. Definição
Denomina-se circunferência o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo C, denominado centro da circunferência.
1.2. Equação da Circunferência
Considere o plano cartesiano e a circunferência de centro C (a, b) e raio r, conforme indica a figura. No caso particular de o centro da circunferência estar na origem, isto é, a = b = 0, a equação será:
Exemplos:
(1) Determinar a equação da circunferência com centro no ponto C (4, 7) e raio r = 2. (2) Determinar a equação da circunferência com centro no ponto C (2, 3) e que passa pelo ponto P(-1, 2). (3) Achar a equação da circunferência cujas extremidades de um diâmetro são os pontos A (0, -8) e B (6, 0). (Ponto médio) (4) Achar a equação da circunferência que passa pelos pontos A (0, 1) e B (1, 4) e tem centro sobre a reta de equação x = 2.
(1) Equação Geral da Circunferência
A equação reduzida da circunferência é dada por. Desenvolvendo os quadrados, obtemos:
Fazendo , e , vem:
Toda circunferência pode ser representada por uma equação da forma , mas nem toda equação dessa forma representa uma circunferência. Como , temos as seguintes possibilidades:
Exemplos :
(2) Determinar a forma geral da equação da circunferência com centro no ponto Q (-1, 2) e raio r = 3.
Resposta: (3) Determinar as coordenadas do centro e o raio da circunferência de equação. Resposta: (4) Verificar se a equação representa uma circunferência. Resposta: (não) (5) Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos A(4, 2), B(-1, 1) e C(1, -1).
1.4. Exercícios
- Verifique se as equações dadas representam uma circunferência:
a) b) c) d) e)
- Em cada caso, obter as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência:
a) b) c) d)
Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(0, 0), B(4, 1) e C(1, 4).
Determine a equação da circunferência com centro no ponto C (2, 5) e raio r = 3.
Uma circunferência de raio r = 4 tem o centro no ponto Q (0, -2). Determine a equação dessa circunferência.
Dada a circunferência de equação , determine as coordenadas do centro C (a, b) e o raio r.
Verifique entre os pontos A (0, 3), B (7, 2) e C (-1, 3), quais pertencem à circunferência de equação.
Determine a equação da circunferência com centro no ponto Q (-1, 2) e que passa pelo ponto M (2, 0).
Observando a circunferência da figura ao lado, determine a sua equação.
Verifique se o gráfico da equação é uma circunferência.
Por que a equação não tem como gráfico uma circunferência?
Verifique se a equação representa uma circunferência.
Respostas
, ou seja, a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos focos deve permanecer constante. Fixaremos essa soma em 2a.
Tomando a distância entre os focos como 2c , teremos que 2a > 2c.
2.1. Elementos da Elipse
- Focos : são os pontos F 1 e F (^) 2.
- Distância foc al: é a distância 2c entre os focos.
- Centro : é o ponto médio C do segmento F (^) 1F (^) 2.
- Eixo maior : é o segmento A (^) 1A 2 de comprimento 2a. (o segmento A (^) 1A 2 contém os focos e os seus extremos pertencem à elipse) - Eixo menor : é o segmento B1B 2 de comprimento 2b (B (^) 1B 2 F 05 E A1A 2 no seu ponto médio).
- Vértice : são os pontos A (^) 1, A2, B 1 e B2.
Obs.: em toda a elipse vale a relação. Para obter a equação da Elipse deveremos referencia-la ao sistema plano de coordenadas cartesianas.
2.2. Equação da Elipse de centro na origem.
1º caso: o eixo maior está sobre o eixo x.
Como a distância entre os focos é 2c, então F 1 (-c, 0) e F2(c, 0).
Se P (x, y) é ponto de uma elipse conforme a figura acima, então por definição teremos:
Dividindo todos os membros da equação por , obtemos:
que é a equação reduzida da elipse de centro na origem e eixo maior sobre o eixo dos x.
2º caso: o eixo maior está sobre o eixo y.
Com raciocínio análogo ao 1º caso, obtemos a equação:
F 0 A E Forma reduzida da equação da elipse de centro na origem e eixo maior sobre o eixo x
2.3. Translação de eixos
Consideremos no plano cartesiano xOy um ponto O’(h,k), arbitário. Vamos introduzir um novo sistema x’O’y’ tal que os eixos O’x’ e O’y’ tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy. Nestas condições, um sistema pode ser obtido do outro, através de uma translação de eixos.
Seja um ponto P qualquer do plano tal que suas coordenadas são: a) x e y em relação ao sistema xOy; b) x’ e y’ em relação ao sistema x’O’y’.
Pela figura acima, obtém-se: ou
Estas são as fórmulas de translação que permitem transformar coordenadas de um sistema para outro.
2.4. Equação da Elipse de centro fora da origem do sistema, C (h, k).
1º caso: o eixo maior é paralelo ao eixo x.
Anteriormente definimos a equação da elipse com centro na origem do sistema xOy. Como agora a elipse está fora da origem, referenciamos esta elipse ao sistema x’O’y’, cuja origem coincidirá com o centro C (h, k).
Assim, a equação da elipse no sistema x’O’y’ será:
Substituindo nesta equação obtemos a equação:
F 0 A E equação da elipse com centro C (h, k) e eixo maior sobre o eixo x no sistema XOY.
2º caso: eixo maior é paralelo ao eixo y.
De forma análoga teremos:
No sistema x’O’y’ a equação da elipse será:
No sistema xOy a equação da elipse será:
equação da elipse de C (h, k) e eixo maior paralelo ao eixo y.
