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CAPÍTULO III
SISTEMAS LINEARES
INTRODUÇÃO:
Do ponto de vista da Engenharia, a matemática é encarada como uma ferramenta de auxílio na resolução de um determinado problema físico. Portanto, é natural raciocinar que o estudo matemático deva ser iniciado quando constatamos uma necessidade específica. Nesse capítulo, vamos desenvolver ferramentas para auxiliar a resolução de problemas que recaiam em sistemas lineares os quais aparecem em situações como: o cálculo da distribuição de temperatura numa placa plana, o cálculo de estruturas ou o cálculo das correntes elétricas num circuito.
EXPRESSÃO MATEMÁTICA DE UM SISTEMA LINEAR: Um sistema linear é definido como um conjunto de equações lineares não importando se o número de equações é maior, menor ou igual ao número de variáveis. O caso que tem maior interesse prático é aquele em que o número de equações é igual ao número de variáveis como o que é mostrado abaixo:
n 1 1 n 2 2 n 3 3 nn n n
21 1 22 2 23 3 2 n n 2
11 1 12 2 13 3 1 n n 1
a x a x a x ... a x b
a x a x a x ... a x b
a x a x a x ... a x b
Na forma matricial, temos que: AX=B Onde: A=[aij]nxn= matriz dos coeficientes X=[xij]nx1= vetor solução B=[bij]nx1= vetor de termos independentes
CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS LINEARES: Podemos classificar os sistemas lineares em dois tipos:
- Compatível: Quando o sistema linear possui solução única ou infinitas soluções.
- Incompatível: Quando não existe solução para o sistema linear.
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: Os métodos de resolução de sistemas lineares se dividem em dois tipos: métodos diretos e métodos iterativos. Basicamente, esses métodos se diferenciam pela resposta obtida – exata ou aproximada. Outra diferença é o fato de que o método iterativo busca uma solução através de cálculos recursivos (ou seja, repetitivos) diferentemente do que acontece com os métodos diretos. Os métodos a serem estudados no presente capítulo serão:
Diretos Iterativos Regra de Cramer Método de Gauss
Método de Gauss-Jacobi Método de Gauss-Seidel Característica: Solução exata Característica: Solução aproximada
MÉTODOS DIRETOS
REGRA DE CRAMER:
Consiste na solução do sistema linear de n variáveis através do cálculo de (n+1) determinantes das matrizes ∆.
Exemplo: Resolver o sistema linear segundo a regra de Cramer:
x
3 x
x
3 x
4 x
3 x
2 x
4 x
2 x
3
3
3
2
2
2
1
1
1
Para o sistema linear de três variáveis, devem ser calculados os quatro seguintes determinantes: ∆ - Matriz obtida com os coeficientes das variáveis do sistema linear. É conhecida como matriz dos coeficientes. ∆ 1 , ∆ 2 e ∆ 3 – Matrizes obtidas através da substituição do vetor dos termos independentes nas colunas 1, 2 e 3 da matriz dos coeficientes. Assim:
⇒ Det ∆ = -
1 ⇒^ Det^ ∆^1 = -
2 ⇒^ Det^ ∆^2 = -
3 ⇒^ Det^ ∆^3 = -
Det
Det x 1 1 = −
Det
Det x 2 2 = −
Det
Det x 3 3 = −
DESVANTAGENS:
- Grande número de operações, exigindo bastante esforço do computador.
- Para um sistema linear de muitas variáveis, o método exige muita memória do computador para armazenar as matrizes ∆, ∆ 1 , ∆ 2 e ∆ 3.
Exemplo: Resolver o sistema linear segundo o método de eliminação de Gauss:
x
3 x
x
3 x
4 x
3 x
2 x
4 x
2 x
3
3
3
2
2
2
1
1
1
- Estágio (0): apenas coletamos os coeficientes do sistema linear.
L
L
L
( 0 ) 3
( 0 ) 2
( 0 ) 1
OBS.:
Essa matriz é conhecida como matriz aumentada do sistema.
- Estágio (1): Elegemos a linha 1 como sendo a linha de referência, devendo então conservá-la no estágio (1). Depois disso, devemos calcular os multiplicadores para as linhas 2 e 3. Finalmente, devemos calcular os novos elementos das linhas 2 e 3. A matriz no estágio (1) antes dos cálculos é mostrada abaixo.
L
L
L
( 1 ) 3
( 1 ) 2
( 1 ) 1
Cálculo dos multiplicadores: Para o estágio (1), o cálculo é feito a partir da relação entre o primeiro elemento da linha que se quer calcular o multiplicador pelo primeiro elemento da linha de referência (chamado de pivô). Nesse caso, os valores são retirados da matriz do estágio (0). Matematicamente essa afirmação fica:
( 0 ) 11
( 0 ) i 1 i a
a m = para i=2, 3,..., número de linhas do sistema linear.
L
L
L
( 0 ) 3
( 0 ) 2
( 0 ) 1
a
a m (^) ( 0 ) 11
( 0 ) 21 2 = = =
L
L
L
( 0 ) 3
( 0 ) 2
( 0 ) 1
a
a m (^) ( 0 ) 11
( 0 ) 31 3 = = =
Cálculo dos elementos: Para encontrarmos os novos elementos da matriz do estágio (1) precisamos realizar a seguinte operação:
L( (^) i^1 )=L(i^0 )−mi⋅ LR Simplificadamente, a equação anterior significa que a linha a ser calculada no estágio (1) é igual à mesma linha no estágio (0) menos o multiplicador vezes a linha de referência do estágio.
- Para a linha 2 (i=2): L( 12 ) =L( 20 )−m 2 ⋅LR ( 0 ) L 2 4 4 -3^3 m 2 ⋅ LR^4 6 -2^10 ( 1 ) L 2 0 -2^ -1^ -
- Para a linha 3 (i=3): L( 13 ) =L( 30 )−m 3 ⋅LR ( 0 ) L 3 2 -3^1 - m 3 ⋅ LR^2 3 -1^5 ( 1 ) L 3 0 -6^2 -
Depois dos cálculos, a matriz do estágio (1) fica:
L
L
L
( 1 ) 3
( 1 ) 2
( 1 ) 1
OBS.:
Segundo a teoria, todos os elementos abaixo da diagonal principal devem ser iguais a zero, o que ainda não acontece nesse estágio (note o –6). Portanto, devemos fazer mais um estágio de modificação.
- Estágio (2): Elegemos agora a linha 2 como sendo a linha de referência, devendo então conservá-la (juntamente com a linha 1) no estágio (2). Depois disso, devemos calcular o multiplicador para a linha 3. Finalmente, devemos calcular os novos elementos da linha 3. A matriz no estágio (2) antes dos cálculos é mostrada abaixo.
L
L
L
( 2 ) 3
( 2 ) 2
( 2 ) 1
Cálculo dos multiplicadores: Para o estágio (2), o cálculo é feito a partir da relação entre o segundo elemento da linha que se quer calcular o multiplicador pelo segundo elemento da linha de referência (chamado de pivô). Nesse caso, os valores são retirados da matriz do estágio (1). Matematicamente essa afirmação fica:
( 1 ) 22
( 1 ) i 2 i a
a m = para i=3,..., número de linhas do sistema linear.
TÉCNICA DO PIVOTEAMENTO PARCIAL
Quando o elemento pivô é nulo ou então é muito pequeno aparecem erros nos cálculos dos elementos. Para evitar que esses erros apareçam e se propaguem, existe uma estratégia simples conhecida como pivoteamento. A técnica consiste em trocar linhas da matriz (pode ser feita em qualquer estágio) de modo que o pivô seja sempre o máximo ( não importando o sinal ).
Exemplo: Aplicar técnica do pivoteamento no problema anterior.
x
3 x
x
3 x
4 x
3 x
2 x
4 x
2 x
3
3
3
2
2
2
1
1
1
É importante lembrar que os três elementos da primeira coluna participam do cálculo dos multiplicadores do estágio (0) para as linhas 2 e 3. O primeiro elemento da segunda linha dividido pelo primeiro elemento da primeira linha (chamado de pivô) fornece o multiplicador da linha 2. Já o primeiro elemento da terceira linha dividido pelo primeiro elemento da primeira linha (pivô) resulta no multiplicador da linha 3. Como desses três valores o maior é o número 4, então devemos permutar as linhas 1 e 2:
L
L
L
( 1 ) 3
( 1 ) 2
( 1 ) 1
Cálculo dos multiplicadores:
a
a m (^) ( 0 ) 11
( 0 ) 21 2 = = =
Pivô
Maior Valor
a
a m (^) ( 0 ) 11
( 0 ) 31 3 = = =
Cálculo dos elementos:
- Para a linha 2 (i=2): L( 12 ) =L( 20 )−m 2 ⋅LR ( 0 ) L (^2)
m 2 ⋅ LR^2 2 -3/2^ 3/ ( 1 ) L (^2)
- Para a linha 3 (i=3): L( 13 ) =L( 30 )−m 3 ⋅LR ( 0 ) L (^3)
m 3 ⋅ LR^2 2 -3/2^ 3/ ( 1 ) L 3
Depois dos cálculos, a matriz do estágio (1) fica:
É importante lembrar que os dois elementos da segunda coluna participam do cálculo dos multiplicadores do estágio (1) para a linhas 3. O segundo elemento da terceira linha dividido pelo segundo elemento da segunda linha (pivô) fornece o multiplicador da linha 3. Como desses dois valores o maior, sem considerar o sinal, é o número -5, então devemos permutar as linhas 2 e 3:
L
L
L
( 2 ) 3
( 2 ) 2
( 2 ) 1
Cálculo dos multiplicadores:
a
a m (^) ( 1 ) 22
( 1 ) ( 1 ) 32 3 = =− =−
Pivô
Maior Valor
É fácil mostrar que x 1 , x 2 e x 3 podem ser encontrados conforme as equações:
( ) 11
1 12 2 13 3 (^1) a
b a x a x x
( ) 22
2 21 1 23 3 (^2) a
b a x a x x
( ) 33
3 31 1 32 2 (^3) a
b a x a x x
Ou, na forma matricial:
33
3
22
2
11
1
3
2
1
33
32 33
31
22
23 22
21
11
13 11
12
3
2
1
a
b
a
b
a
b
x
x
x
a
a a
a
a
a 0 a
a
a
a a
a 0
x
x
x
Os valores finais de x 1 , x 2 e x 3 são encontrados supondo os valores iniciais dessas mesmas variáveis. A partir desse chute inicial, são calculados repetidas vezes os novos valores de x 1 , x 2 e x 3 até que um critério de parada seja satisfeito.
CRITÉRIOS DE PARADA:
É óbvio que os cálculos recursivos não podem ser executados infinitas vezes, pois em qualquer método iterativo o erro nunca é zero (devido à impossibilidade de trabalharmos com infinitas casas decimais). Por esse motivo, é necessário informar quando o computador deve parar os cálculos, ou seja, até que ponto o erro cometido nas aproximações é insignificante para o calculista. Em geral, a escolha dentre um dos vários critérios de parada é baseada na experiência. Os critérios de parada mais utilizados são:
- Baseado no erro absoluto: (k ) i
(k 1 ) E (^) ABS = xi −x
(k ) i
(k 1 ) 1 máxi nxi^ x ε - é a tolerância no erro absoluto.
- Baseado no erro relativo:
(k 1 ) i
(k) i
(k 1 ) i REL x
x x E (^) +
≤ ε
≤≤
≤≤ (k 1 ) 1 in i
(k) i
(k 1 ) 1 i n i máx x
máxx x
ε - é a tolerância no erro percentual.
- Baseado no número de iterações: O cálculo deve parar quando for alcançado o número máximo de iterações permitido.
Exemplo: Se o limite de iterações que um pesquisador fixa é de 200 iterações, então o cálculo deve parar antes que o computador tente calcular a iteração 201.
ESTUDO DA CONVERGÊNCIA DOS MÉTODOS ITERATIVOS:
Existe ainda uma questão interessante a ser observada: o que garante a convergência dos meus cálculos iterativos? Ou melhor, o que pode garantir que, a partir de um chute inicial, os valores das variáveis x 1 , x 2 e x 3 calculados através das equações do sistema linear vão convergir para o resultado correto? Essas perguntas podem ser respondidas através dos critérios de convergência. A convergência dos métodos iterativos é baseada no critério das linhas.
Critério das linhas: É condição suficiente para garantir a convergência do sistema linear AX=B:
∑ ≠
=
n
i j
j 1
a (^) ii aij para i=1,2,3,...
Traduzindo a expressão matemática: “Em cada linha, o valor que está na diagonal principal da matriz dos coeficientes deve ser maior que a soma de todos os outros coeficientes da mesma linha”. Caso o sistema não atenda ao critério, devemos permutar as linhas até que o critério esteja totalmente satisfeito.
Exemplo 1: Verifique se o sistema abaixo converge:
8 x
2 x
1 x
6 x
2 x
3 x
0 x
5 x
1 x
3
3
3
2
2
2
1
1
1
Aplicando o critério das linhas no sistema acima: a 11 >a 12 +a 13 ∴ 1 > 3 + 1 (F ) a 22 >a 21 +a 23 ∴ 2 > 5 + 2 (F ) a 33 >a 31 +a 32 ∴ 8 > 0 + 6 (V )
Como o critério não foi atendido nas linhas 1 e 2, devemos permutá-las aplicando novamente o critério das linhas para nos assegurarmos da convergência:
8 x
1 x
2 x
6 x
3 x
2 x
0 x
1 x
5 x
3
3
3
2
2
2
1
1
1
O procedimento se resume a modificar a linha em que a aplicação do critério de convergência forneceu falso (primeira linha). Para o caso em questão devemos multiplicar a primeira linha por 3 e somá-la à segunda linha:
6 x
1 x
4 x
4 x
3 x
0 x
0 x
1 x
7 x
3
3
3
2
2
2
1
1
1
Enfim, aplicando o critério das linhas: a 11 >a 12 +a 13 ∴ 7 > 0 + 4 (V ) a 22 >a 21 +a 23 ∴ 3 > 1 + 1 (V ) a 33 >a 31 +a 32 ∴ 6 > 0 + 4 (V )
O sistema linear encontrado é equivalente ao sistema original (possui mesma solução), então podemos usá-lo nos métodos iterativos com a certeza de que os cálculos virão a convergir para o resultado esperado.
OBS.: Uma variação do critério das linhas é o critério das colunas que afirma: “Em cada coluna, o valor que está na diagonal principal da matriz dos coeficientes deve ser maior que a soma de todos os outros coeficientes da mesma coluna”. Para saber se a convergência está garantida, basta aplicar apenas o critério das linhas ou o das colunas.
MÉTODO DE GAUSS-JACOBI:
Consiste em, dado um chute inicial no vetor solução X(0), obter uma sequência de aproximações X(1), X(2), X(3),..., X(n)^ que sejam convergentes para o resultado final. Para três variáveis, esquema iterativo fica:
( ) 11
(k) 13 3
(k) (k 1 ) 1 12 2 (^1) a
b a x a x x
( ) 22
(k) 23 3
(k) (k 1 ) 2 21 1 (^2) a
b a x a x x
( ) 33
(k) 32 2
(k) (k 1 ) 3 31 1 (^3) a
b a x a x x
Generalizando: X(k+1)^ = FX(k)^ + D Onde: X(k+1)^ é o vetor solução na iteração k+1 (nova aproximação ou valor atual). X(k)^ é o vetor solução na iteração k (valor anteriormente calculado). F é a matriz dos coeficientes modificada. D é o vetor de termos independentes modificado. As aproximações posteriores são calculadas somente baseadas nas aproximações anteriores.
OBS.: O chute inicial dado pode fazer com que o cálculo necessite executar um maior ou menor número de iterações. Quando não sabemos que chute inicial dar, basta então admitirmos os valores das variáveis x 1 , x 2 , x 3 ,..., xn sendo iguais a zero.
O método de Gauss-Jacobi pode ser resumido em cinco passos:
- 1 o^ Passo: Testar o critério das linhas. Caso não atenda, permutar as linhas até que seja possível. Se não for possível, parar o problema e tentar resolver pelos métodos diretos.
- 2 o^ Passo: Construir as equações, conforme o método de Gauss-Jacobi, a partir do sistema linear depois de testado o 1o^ passo.
- 3 o^ Passo: Chutar os valores iniciais das variáveis x 1 , x 2 ,..., xn. Fazer k=0.
- 4 o^ Passo: Calcular os novos valores das variáveis x 1 , x 2 ,..., xn através das equações do 2o^ passo.
- 5 o^ Passo: Verificar o critério de parada. Se for atendido, o cálculo deve ser parado imediatamente. Caso contrário, devemos fazer k=k+1 e voltar ao 4o^ passo.
- 5 o^ Passo: Verificar o critério de parada: (k) 2 i
(k 1 ) 1 máxi n^ xi x^10
− ≤ (o máximo dos erros deve ser menor do que a tolerância)
x 1 (^1 )−x 1 (^0 ) = 0 , 75
x ( 21 )−x( 20 ) = 0 , 5
x 3 (^1 )− x( 30 ) = 1 , 75 (não atende à condição) Como o critério não foi atendido, devemos fazer k=1 e voltar ao 4o^ passo.
- 4 o^ Passo: Cálculo dos novos valores das variáveis:
( 3 2 0 , 5 1 , 75 ) 0 , 5625 4
( 3 2 x x ) 4
x ( 12 )= + ( 21 )− 3 (^1 ) = + ⋅ − =
( 2 x x ) 4
x ( 22 )= + 1 (^1 )+ ( 31 ) = + + =
( 7 x 2 x ) 4
x 3 (^2 )= − 1 (^1 )− ( 21 ) = − − ⋅ =
O vetor solução fica:
x
x
x
X ( 2 ) 3
( 2 ) 2
( 2 ) 1 ( 2 )
- 5 o^ Passo: Verificar o critério de parada: (k) 2 i
(k 1 ) 1 máxi n^ xi x^10
− ≤ (o máximo dos erros deve ser menor do que a tolerância)
x 1 (^2 )−x 1 (^1 ) = 0 , 1875
x ( 22 )− x( 21 ) = 0 , 6250 (não atende à condição)
x 3 (^2 )−x( 31 ) = 0 , 4375 Como o critério não foi atendido, devemos fazer k=2 e voltar ao 4o^ passo.
OBS.:
A partir daqui, o aluno deve terminar de fazer os cálculos.
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL:
Consiste em, dada uma aproximação inicial X(0), obter a sequência de aproximações X(1), X(2), X(3),..., X(n), que sejam convergentes para o resultado final, através do seguinte esquema iterativo (para três variáveis):
33
(k 1 ) 32 2
(k 1 ) (k 1 ) 3 31 1 3
22
(k) 23 3
(k 1 ) (k 1 ) 2 21 1 2
11
(k) 13 3
(k) (k 1 ) 1 12 2 1
a
b a x a x
x
a
b a x a x
x
a
b a x a x
x
Neste caso, os valores já calculados pela iteração atual são reaproveitados no cálculo das
variáveis restantes. Melhor explicando: ao calcularmos x ( 2 k+^1 )devemos aproveitar x 1 (k+^1 ), o qual já
foi calculado através da primeira fórmula, em vez de x 1 (k). Observando a mesma expressão,
verificamos que o valor de x ( 3 k+^1 )não é utilizado porque ainda não foi calculado até o momento.
No cálculo de x ( 3 k+^1 ), devemos aproveitar os valores de x ( 1 k+^1 )e x ( 2 k+^1 ), pois que os mesmos
já foram calculados através das duas primeiras fórmulas. As setas mostram o reaproveitamento de
valores previamente calculados.
O método de Gauss-Seidel, como o método anterior, também pode ser resumido em cinco passos:
- 1 o^ Passo: Testar o critério das linhas. Caso não atenda, permutar as linhas até que seja possível. Se não for possível, parar o problema e tentar resolver pelos métodos diretos.
- 2 o^ Passo: Construir as equações, conforme o método de Gauss-Seidel, a partir do sistema linear depois de testado o 1o^ passo.
- 3 o^ Passo: Chutar os valores iniciais das variáveis x 1 , x 2 ,..., xn. Fazer k=0.
- 4 o^ Passo: Calcular os novos valores das variáveis x 1 , x 2 ,..., xn através das equações do 2o^ passo.
- 5 o^ Passo: Verificar o critério de parada. Se for atendido, o cálculo deve ser parado imediatamente. Caso contrário, devemos fazer k=k+1 e voltar ao 4o^ passo.
- 5 o^ Passo: Verificar o critério de parada: (k) 2 i
(k 1 ) 1 máxi n^ xi x^10
− ≤ (o máximo dos erros deve ser menor do que a tolerância)
x 1 (^1 )−x 1 (^0 ) = 0 , 75
x ( 21 )−x( 20 ) = 0 , 6875
x 3 (^1 )− x( 30 ) = 1 , 2187 (não atende à condição) Como o critério não foi atendido, devemos fazer k=1 e voltar ao 4o^ passo.
- 4 o^ Passo: Cálculo dos novos valores das variáveis:
( 3 2 0 , 6875 1 , 2187 ) 0 , 7890 4
( 3 2 x x ) 4
x ( 12 )= + ( 21 )− 3 (^1 ) = + ⋅ − =
( 2 x x ) 4
x ( 22 )= + 1 (^2 )+ 3 (^1 ) = + + =
( 7 x 2 x ) 4
x 3 (^2 )= − 1 (^2 )− ( 22 ) = − − ⋅ =
O vetor solução fica:
x
x
x
X ( 2 ) 3
( 2 ) 2
( 2 ) 1 ( 2 )
- 5 o^ Passo: Verificar o critério de parada: (k) 2 i
(k 1 ) 1 máxi n^ xi x^10
− ≤ (o máximo dos erros deve ser menor do que a tolerância)
x 1 (^2 )−x 1 (^1 ) = 0 , 039
x ( 22 )− x( 21 ) = 0 , 3144 (não atende à condição)
x 3 (^2 )−x( 31 ) = 0 , 1669 Como o critério não foi atendido, devemos fazer k=2 e voltar ao 4o^ passo.
OBS.:
Fazendo o cálculo sucessivamente, encontraremos a solução aproximada em um número menor de iterações que o método anterior (fica como exercício para o aluno encontrar o vetor solução e o número de iterações em que houve convergência).
DISCUSSÃO:
Qual é o melhor método – Direto ou Iterativo?
Depende do caso em análise. Os métodos diretos executam bem o seu papel quando o sistema linear é de pequeno porte (poucas equações, portanto poucas variáveis) ou quando a matriz dos coeficientes é densa (não possui muitos zeros, ou seja, não é esparsa). Já os métodos iterativos, quando garantida a convergência (conforme os critérios apresentados), são de extrema utilidade na resolução de sistemas lineares de grande porte ou quando a matriz dos coeficientes é esparsa. Os métodos iterativos são de muita utilidade em Engenharia, já que são de grande porte e em geral esparsas a maioria dos sistemas lineares formados a partir de situações de interesse como a distribuição de velocidade sobre um carro, a distribuição de temperaturas numa placa plana ou a distribuição de tensões na fuselagem de uma aeronave, por exemplo.
OBS.: Os métodos aqui mostrados não são os únicos existentes. Outros métodos tratam de um tipo específico de sistema linear tais como os tipos de sistemas em que a matriz dos coeficientes é esparsa. Na maioria das vezes, a preocupação desses métodos está focada na economia (otimização) da quantidade de memória de armazenamento (não interessa ao pesquisador armazenar zeros na matriz dos coeficientes).
