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CAPÍTULO V
INTEGRAÇÃO
MOTIVAÇÃO:
Basicamente, a integração é a operação inversa à derivação. Em engenharia, a utilização da
integral está comumente ligada ao cálculo de áreas, volumes e valores médios.
Matematicamente, a integral de uma função f(x) no intervalo [a,b] é definida por:
f(x)dx F(a) F(b )
b
a
∫
Na equação acima, a função F(x), conhecida como primitiva de f(x), atende à seguinte
condição:
F ′(x)=f(x )
Em determinadas situações, o cálculo analítico se torna inviável devido à dificuldade na
obtenção da função F(x). Além disso, na maioria dos problemas de engenharia dispomos apenas de
dados tabelados. Por esses motivos, os métodos numéricos surgem como alternativa interessante.
Ao final deste capítulo estaremos habilitados a resolver integrais através dos seguintes métodos
numéricos:
a
regra de Simpson
a
regra de Simpson
A abordagem desses métodos é baseada no polinômio interpolador de Gregory-Newton:
z (z 1 ) (z 2 ) ... 3!
y z (z 1 ) 2!
y z 1!
y P( x) y
0
3 0
2 0
1
Onde:
h
x x z
OBS.: os métodos a serem apresentados neste capítulo exigem que os valores de x estejam igualmente
espaçados.
REGRA DO TRAPÉZIO
Sabemos que a integral de uma função no intervalo considerado é dada pela área sob a curva
f(x). No presente método, a intenção é aproximar essa área pela área de um trapézio que se ajusta ao
intervalo dado conforme a figura abaixo.
Em termos matemáticos, aproximamos a função f(x) pelo polinômio de Gregory-Newton de
primeiro grau, ou seja:
∫ ≈ ∫
b
a
b
a
f (x)dx P(x) dx, com^ z
y P( x) y
0
1
Para avaliarmos a integral através do polinômio interpolador torna-se necessária uma mudança
de variável de x para z.
Sabendo-se que a variável z se relaciona com x segundo a equação:
h
x x z
Então:
dx = hdz
Além de mudar a variável de integração para z, também precisamos mudar os limites de
integração. Para x=a (e a=x 0 conforme o gráfico):
h
x x
h
a x z
0 0 0
Para x=b (e b=x 1 conforme o gráfico):
h
h
h
x x
h
b x z
0 1 0 = =
Desta forma, a integral da função f(x) no intervalo [a,b] pode ser calculada por:
∫ ∫
1
0
0
1
0
b
a
z hdz 1!
y f(x)dx y
z f(x)dx h y z y
2
0
1 0
b
a
∫ ≈ ⋅ ⋅ +∆ ⋅
PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON
A integral, conforme a primeira regra de Simpson, é obtida através da aproximação da função
f(x) pelo polinômio interpolador de Gregory-Newton de segundo grau:
∫ ∫
b
a
b
a
f (x)dx P(x) dx, com^ z (z 1 )
y z 1!
y P (x) y
0
2 0
1
Para avaliarmos a integral com o auxílio do polinômio interpolador torna-se necessária uma
mudança de variável de x para z. Já sabemos que a seguinte relação é verdadeira:
dx = hdz
O próximo passo consiste em mudar os limites de integração. O cálculo da integral exige que
tenhamos três pontos tabelados: x 0 (é o ponto a), x 1 e x 2 (é o ponto b) a fim de que possamos calcular a
diferença finita, 0
2
∆ y , existente na equação do polinômio interpolador. Para x=a (e a=x 0 conforme o
gráfico):
h
x x
h
a x z
0 0 0
Para x=b (e b=x 2 conforme o gráfico):
h
2 h
h
x x
h
b x z
0 2 0 = =
Desta forma, a integral da função f(x) no intervalo [a,b] pode ser calculada por:
∫ ∫
2
0
0
2 0
1
0
b
a
z (z 1 ) hdz 2!
y z 1!
y f(x)dx y
Equação que fica melhor reescrita na forma:
∫ ∫
2
0
0 2
2
0
1 0
b
a
(z z) hdz 2!
y f(x)dx y y z
Integrando o segundo membro da equação acima:
z
z
y
z f(x)dx h yz y
3 2 0
2 2
0
1 0
b
a
∫
∫ 0
2 0
1 0
b
a
y 3
f(x)dx h 2 y 2 y
As diferenças finitas de ordem 1 e 2 são calculadas segundo as expressões:
0 1 0
1 ∆y =y −y
0 (^21 )^ (^10 )^210
1 1
1 0
2 ∆y =∆y −∆y = y −y − y −y =y − 2 y +y
Substituindo na expressão da integral:
( ) ( )
∫ 0 1 0 2 1 0
b
a
y 2 y y 3
f(x)dx h 2 y 2 y y
Assim, conforme a primeira regra de Simpson, a integral da função f(x) é dada por:
( 0 1 2 )
b
a
y 4 y y 3
h f (x)dx≈ ⋅ + + ∫
OBS.: a primeira regra de Simpson também é conhecida como regra do 1/3.
Fórmula Composta
O refinamento do cálculo da integral pela primeira regra de Simpson pode ser feito através da
divisão do intervalo [a,b] em n subintervalos de tamanho h, similarmente ao que acontecia com a regra
do trapézio. Vale a pena notar que o número de subintervalos deve sempre ser par, pois calcularemos a
integral a cada três pontos, ou seja, a cada 2 subintervalos.
Aplicando sucessivamente a primeira regra de Simpson, partindo do ponto x 0 até o ponto xn (de
três em três pontos), obtemos para a integral:
( 0 1 2 ) ( 2 3 4 ) ( (^) n 2 n 1 n)
b
a
y 4 y y 3
h y 4 y y .... 3
h y 4 y y 3
h f (x)dx≈ ⋅ + + + ⋅ + + + + ⋅ − + − + ∫
Note que o primeiro termo do lado direito é a integral entre x 0 e x 2 , o segundo termo é a integral
entre x 2 e x 4 e assim sucessivamente.
Finalmente, a expressão da integral aplicando a subdivisão do intervalo [a,b] fica:
( (^01234) n 2 n 1 n)
b
a
y 4 y 2 y 4 y 2 y ... 2 y 4 y y 3
h f (x)dx≈ ⋅ + + + + + + − + − + ∫
SEGUNDA REGRA DE SIMPSON
A integral, conforme a segunda regra de Simpson, é obtida através da aproximação da função
f(x) pelo polinômio interpolador de Gregory-Newton de terceiro grau:
∫ ∫
b
a
b
a
f (x)dx P(x) dx, com z (z 1 ) (z 2 )
y z (z 1 ) 2!
y z 1!
y P( x) y
0
3 0
2 0
1
Da mesma forma que os outros métodos, torna-se necessária uma mudança de variável de x para
z. Já sabemos que a seguinte relação é verdadeira:
dx = hdz
O próximo passo consiste em mudar os limites de integração. O cálculo da integral exige que
tenhamos quatro pontos tabelados: x 0 (é o ponto a), x 1 , x 2 e x 3 (é o ponto b) a fim de que possamos
calcular a diferença finita, 0
3
∆ y , existente na equação do polinômio interpolador. Para x=a (e a=x 0 ):
h
x x
h
a x z
0 0 0
Note que o primeiro termo do lado direito é a integral entre x 0 e x 3 , o último termo é a integral
entre xn-3 e xn.
Finalmente, a expressão da integral aplicando a subdivisão do intervalo [a,b] fica:
( (^0123456) n 3 n 2 n 1 n)
b
a
y 3 y 3 y 2 y 3 y 3 y 2 y ... 2 y 3 y 3 y y 8
3 h f (x)dx≈ ⋅ + + + + + + + + − + − + − + ∫
QUADRATURA DE GAUSS
De modo geral, todos os métodos de integração mostrados anteriormente consistem em realizar
a seguinte aproximação:
0 0 11 n n
b
a
f (x)dx≈A y +A y +...+A y ∫
Ou melhor:
f (x)dx A 0 f(x 0 ) A 1 f(x 1 ) ... Anf(xn )
b
a
∫
Observe que os métodos mostrados consistem em calcular aproximadamente a integral através
da média ponderada entre os valores tabelados da função a ser integrada. Vale observar que os
coeficientes A 0 , ..., An e os valores tabelados f(x 0 ), ..., f(xn) são todos conhecidos.
Suponha que não tenhamos mais os valores tabelados, porém, conhecemos a função a ser
integrada. Considere ainda que não exista forma analítica para o cálculo da integral da função. Um
exemplo de integral deste tipo aparece frequentemente nos cálculos de probabilidades e é dada por:
∫
− e dx
2 x
O método da quadratura de Gauss consiste em realizar a aproximação da integral através da
média ponderada:
f (x)dx A 0 f(x 0 ) A 1 f(x 1 ) ... Anf(xn )
b
a
∫
A diferença entre a quadratura de Gauss e os métodos anteriores é que os coeficientes A 0 , ..., An
e os valores tabelados f(x 0 ), ..., f(xn) são todos desconhecidos e precisam ser determinados.
Mais especificamente, se a integral for avaliada em dois pontos, podemos realizar a
aproximação da integral por:
f (x)dx A 0 f(x 0 ) A 1 f(x 1 )
b
a
∫
Como são quatro incógnitas (A 0 , A 1 , x 0 , x 1 ) precisamos ter quatro equações de modo que, ao
resolvermos o sistema de equações, tenhamos condições de calcular as quatro variáveis de interesse.
Gauss propôs que o seu método produza resultados exatos para polinômios de grau igual ao número de
pontos mais uma unidade, ou seja, no nosso caso, polinômio de terceiro grau.
Suponha então que f(x) seja dada por:
3 3
2 f (x)=a 0 +a 1 x+a 2 x +a x
Integrando este resultado entre os pontos a e b:
x b
x a
4
3
3
2
2
0 1
b
a
3 3
2 0 1 2
b
a
x a 3
x a 2
x f(x)dx (a ax a x a x )dx a x a
=
=
∫ ∫
Que resulta em:
(b a ) a 3
(b a ) a 2
(b a ) f(x)dx a (b a) a
4 4
3
3 3
2
2 2
0 1
b
a
∫
Por outro lado, podemos utilizar a fórmula da quadratura de Gauss para dois pontos:
f (x)dx A 0 f(x 0 ) A 1 f(x 1 )
b
a
∫
Note a presença do sinal de igualdade na equação, pois a integral deve ser exata quando a
função polinomial for utilizada. Substituindo na função f(x) os pontos x 0 e x 1 :
f (x)dx A (a ax a x a x ) A (a ax a x a x )
3 (^31)
2 (^101121)
3 (^30)
2 (^001020)
b
a
∫
Reorganizando:
f (x)dx a (A A ) a (A x Ax) a (A x A x ) a (A x Ax )
3 (^11)
3 (^300)
2 (^11)
2 (^00110011200)
b
a
∫
Comparando as equações (1) e (2) podemos mostrar que:
A 0 +A 1 =b− a
b a A x Ax
2 2
0 0 11
b a A x Ax
3 3 2 (^11)
2 (^00)
b a A x Ax
4 4 3 (^11)
3 (^00)
Este sistema com quatro equações e quatro variáveis tem as seguintes soluções:
b a A 0 A 1
b a
b a x (^0)
b a
b a x 1
Assim, a fórmula da quadratura de Gauss para dois pontos é dada por:
∫ 2
b a
b a f 2
b a
b a
b a f 2
b a f(x)dx
b
a
