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Operações Unitárias I – Notas de Aula
Centro de Tecnologia – Departamento de Engenharia Química
Capítulo 2
2.1 - Fluidodinâmica da Partícula
Mecanismo do movimento da partícula
Equação para o movimento unidimensional
Velocidade terminal
Coeficiente de Arraste
Equação do movimento para partículas esféricas
Critério para determinação do Regime de Escoamento
Correlações empíricas para o coeficiente de arraste
Determinação da velocidade terminal à partir do coeficiente de arraste
Efeito de população
Exercícios
2.2 - Separação Sólido-Fluido em Sistemas Diluídos:
Classificação e Separação por densidades no campo gravitacional
Elutriação
Câmaras Gravitacionais; decantação.
Separação centrífuga: Ciclones e Hidrociclones
Centrifugação
Separação eletromagnética
Exercícios
Fluidodinâmica da Partícula
Introdução - Muitas etapas de processos, especialmente as separações mecânicas, envolvem o
movimento de partículas sólidas, ou gotas de um líquido, através de um fluido - líquido ou gás -
escoando ou estagnado. São exemplos disto a remoção de pós e fumos do ar, ou de um gás de
chaminé, a remoção dos sólidos de líquidos residuais antes de sua descarga nos sistemas públicos
de drenagem, ou ainda a recuperação da névoa ácida do gás perdido numa planta industrial de
produção de ácido.
Dinâmica da Partícula Sólida em Suspensão - Para que uma partícula se desloque através de um
fluido, é necessário que exista uma diferença de densidade entre a partícula e o fluido e, obviamente,
que uma força externa atue sobre o sistema proporcionando o movimento relativo sólido-fluido. A
força externa normalmente é a gravitacional, mas, quando a partícula é muito pequena, tornando a
gravidade ineficaz para movê-la através do fluido, aplica-se uma força centrífuga. Quanto maior a
diferença de densidades, mais eficaz o processo. Se o fluido e a partícula têm densidades iguais, o
empuxo causado por sua imersão será igual à força externa, e ela não se moverá através do fluido.
Pelo menos três forças atuam sobre uma partícula submersa num fluido:
- Força externa, F (^) E – Impulsora da partícula, pode ser de origem
gravitacional ou centrífuga.
- Força de empuxo, FB – Descrita pelo princípio de Archimedes, é
paralela à força externa e tem sentido contrário.
- Força de arraste, FD - se apresenta sempre que ocorre movimento
relativo sólido-fluido; opõe-se ao movimento da partícula, atuando na
mesma direção do seu deslocamento e em sentido oposto.
Em princípio, a direção do movimento da partícula em relação ao fluido pode não ser paralela
à direção das forças externa e de empuxo; então a força de arraste faz um ângulo com as outras
duas. Neste caso, a força de arraste deverá ser decomposta em componentes, resultando um
escoamento bidirecional, complicando o tratamento da mecânica do escoamento da partícula. Na
literatura existem equações disponíveis para o movimento bidirecional, mas aqui consideraremos
apenas o movimento unidirecional, onde as linhas de ação de todas as forças que atuam sobre a
partícula são colineares.
Movimento unidirecional de partículas submersas num fluido
Considere uma partícula de massa m , movendo-se através de um fluido sob ação de uma força
externa FE. Sejam U a velocidade relativa, FB o empuxo sobre a partícula e FD a força de arraste. A
força resultante sobre a partícula será:
∑ Fi^ =^ FE − FB − FD
Velocidade terminal - Na sedimentação gravitacional g é constante, mas o arraste sobre a
partícula aumenta sempre que a velocidade aumenta. Na equação do movimento, observa-se que a
aceleração decresce com o tempo e aproxima-se de zero. A partícula alcança rapidamente uma
velocidade constante, máxima sob as circunstâncias , denominada velocidade terminal.
A equação para a velocidade terminal, no campo gravitacional, é obtida desprezando-se, na
equação do movimento, a aceleração instantânea da partícula ( dv/dt = 0), que na prática é da ordem
de um décimo de segundo. A expressão resultante é:
( ) (2.7)
ρ ρ
ρ −ρ
P D
t A sC
g s m v
No campo centrífugo, a velocidade depende do raio e a aceleração não é constante se a
partícula estiver se movimentando em relação ao fluido. Nos vários usos práticos da força centrífuga,
entretanto, dv/dt é muito pequeno comparado com os outros dois termos da equação 2-7 e pode ser
desprezado. A velocidade terminal no campo centrífugo, a um raio qualquer dado, pode então ser
definida pela equação:
( ) (2.8)
ρ ρ
ρ −ρ = ω AC s
r s m v P D
t
Coeficiente de Arraste
O uso das equações anteriores requer que sejam estimados valores numéricos para o
coeficiente de arraste, CD. O gráfico da Figura 1 mostra a curva experimental do coeficiente de
arraste em função do número de Reynolds, R (^) e, para esferas.
Para partículas não esféricas, são obtidas curvas para cada forma diferente de partícula, em
função da esfericidade. Essas curvas, na prática, aplicam-se somente para uma orientação
especificada da partícula. Partículas não esféricas, em queda livre, têm sua orientação
constantemente alterada, consumindo energia e aumentando o arraste efetivo sobre a partícula,
fazendo com que o coeficiente de atrito, C (^) D , seja maior que no escoamento do fluido ao redor de uma
partícula estacionária. Assim, a velocidade terminal, especialmente para partículas em forma de
discos, será menor do que a estimada nas curvas obtidas para partículas com orientação fixa.
No tratamento a seguir as partículas serão consideradas esféricas, pois uma vez conhecido o
coeficiente de arraste para o movimento livre desta espécie, os mesmos princípios aplicam-se a
quaisquer formas. (Pettyjohn and Christiansen: Chem. Eng. Prog., 48 :157(1948))
Quando as partículas estão a uma distância suficiente das paredes do recipiente e de outras
partículas, de modo que seu movimento não seja afetado por elas, o processo é chamado
sedimentação livre. Se o movimento da partícula é impedido por outras partículas, o que fatalmente
ocorrerá quando as partículas estão próximas umas das outras, mesmo que não em trajetórias
colidentes, o processo é chamado sedimentação retardada (ou impedida). O coeficiente de arraste na
sedimentação retardada é maior que na sedimentação desimpedida.
Quando as partículas são de tamanho muito reduzido (2 -3 μm) aparece o efeito do movimento
Browniano , que é um movimento aleatório provocado pelo choque da partícula com moléculas do
fluido que a cerca. Esse efeito predomina sobre a força da gravidade em partículas de 0,1μm ou
menores. O movimento randômico da partícula tende a suprimir o efeito da força externa e o seu
deslocamento pode não ocorrer. A aplicação de uma força centrífuga reduz o efeito relativo ao
movimento Browniano.
1. - SEDIMENTAÇÃO LIVRE – Equação do movimento para partículas
esféricas
Se a partícula é uma esfera de diâmetro D (^) P, sua massa é obtida do produto da densidade pelo
volume, ou
Substituindo m e D (^) P na equação 2-
Na velocidade terminal, a partícula não tem aceleração, então ( dv/dt) = 0, e
O coeficiente de arraste gerado pelo movimento relativo entre o fluido e uma esfera sólida
movendo-se sob ação da gravidade será, portanto,
e A 6
2
P
3 P S
Dp D m
π ρ =
π
( ) (2.9)
S P
D t
S
S E D
C v a dt
dv
ρ
ρ − ρ
ρ −ρ
( )
P
s D t E D
C v a
2 .
ρ
ρ−ρ
( ) (2.10)
2 T
S F P D v
g D C ρ
ρ −ρ
Esta é a equação de uma reta de inclinação −2, passando pelos pontos Re = 1 e CD =
( ) 2 3 4 g ρ s −ρρ Dp 3 μ. Como a expressão não contém v t., é possível determinar-se a velocidade
terminal traçando a reta definida por estes pontos no Gráfico “C (^) D x Re”. A perpendicular ao eixo das
abscissas, traçada a partir da interseção desta reta com a curva de esfericidade apropriada, dará o
valor numérico do número de Reynolds correspondente à velocidade terminal desta partícula de
tamanho conhecido (veja a Figura 2). Conhecido o número de Reynolds, se determina então v t.
Estimativa de Dp à partir da velocidade terminal:
Por procedimento análogo se obtém uma expressão independente do tamanho da partícula, Dp.
A equação é:
( )
ρ
ρ −ρμ = + 2 3 3
log logRe log v
g s C D
A expressão acima corresponde também a equação de uma reta, de inclinação +1, passando
pelo ponto “Re = 1” e “C (^) D = 4 g ( ρ s −ρ)μ 3 ρ^2 v^3 ”. A interseção desta reta com a curva de esfericidade
adequada dará o número de Reynolds na velocidade terminal, a partir do qual se obtém D (^) p.
1.2 – M ÉTODOS A NALÍTICOS :
2.1 – Equações aproximadas para cálculo do coeficiente de arraste de
esferas
Apesar da relação “ C (^) D x R (^) e ” na Figura 2 ser uma curva contínua, para simplificar
os cálculos, ela pode ser substituída por três linhas retas sem perda considerável na
precisão[McCabe-Smith, 1976]. Cada uma dessas linhas cobre uma faixa definida de
números de Reynolds, como mostrado pelas linhas tracejadas na Figura 2-
As equações para as linhas retas e as faixas do número de Reynolds onde cada uma se
aplica, são:
Região de Stokes: Re < 2 Re
CD =
FD = 3 πμ vtD p
( )
μ
ρ −ρ
18
E p t
a s D v
Região Intermediária:^2 <^ Re^ <^500
0 , 6 Re
CD =
( )
1 , 4 0 , 6 0 , 4 FD = 2 , 31 π vtDp μ ρ
( )
0 , 29 0 , 43
0 , 71 1 , 14 0 , 71 0 , 153
ρ μ
ρ −ρ
a D s v
E p t
Região de Newton: 500 < Re < 200.
CD = 0 , 44
= π ( ) ρ
2 FD 0 , 55 vtDp
( )
1 / 2
1 , (^75)
ρ
ρ −ρ
ae s Dp vt
Critério para identificar o regime de escoamento (K) – Quando se deseja
estimar a velocidade terminal de uma partícula de diâmetro conhecido, e o valor
numérico de Reynolds é desconhecido (pois é função de DP e vt ), a escolha da equação
adequada só poderá ser feita por tentativas. Neste caso, para identificar em que região
ocorrerá o movimento da partícula, elimina-se o termo de velocidade na expressão do
número de Reynolds, substituindo vt pela equação correspondente ao regime laminar
resultando, para a faixa da lei de Stokes:
( ) ( ) 2
2 3
Re μ
ρ −ρρ
μ
ρ −ρ
μ
ρ
μ
ρ
p E S p p E S t
p D a D D a v
D
O movimento das gotas está bem dentro da região da lei de Stokes, então:
( )
μ
ρ −ρ
18
E p t
a s D v
Em 1 minuto, as partículas sedimentam 0,02 x 60 = 1,2 ft (0,37m ), então a altura da
câmara não deverá ser maior que este valor.
Outra maneira de eliminar a dificuldade ao se estimar o coeficiente de arraste na
equação 2.10, pelo fato deste ser função da esfericidade e do número de Reynolds, (cuja
determinação implica conhecimento de v (^) T e Dp ), é a utilização do número de Galileu:
Como se pode ver, esse grupo adimensional independe da velocidade terminal, v (^) t.
QUADRO III - Pontos de transição para Ga
REGIME N (^) Ga
Laminar
Intermediário
Newton
< 60
entre 60 e 140.
> 140.
Um outro grupo adimensional, independente do diâmetro da partícula e função da
velocidade terminal, é “CD / Re”:
v t = = ft s m s
− 32,17 4,92 10 56,
x
2 x
10 x
x x
2
2 2
μ
ρ
D g Ga
P
( )
2
2 2 2
2
2 . 3
Re μ
ρ
ρ
ρ −ρ = =
T P
T
S D
v D
v
g Ga C
( )
3
Re 2
3 2
μ
ρ −ρ ρ
S P E D
D a C
( )
t P^ t
D P S
v D v
C D g
. 2 .
Re ρ
μ
ρ
ρ −ρ
( ) (2.12) 3
Re 3 2 U
C D S aE
ρ
μρ −ρ
QUADRO IV - Pontos de transição para CD/Re
REGIME N (^) Ga
Laminar
Intermediário
Newton
> 7,
entre 7,5 e 0,
< 0,
A equação 11 pode ser usada para o cálculo de vt , pois C (^) D Re
2 não inclui esta
variável; já a equação 12 deve ser utilizada no cálculo de D (^) p já que o adimensional C (^) D /Re
independe do diâmetro. Em ambos os casos, v t e D (^) p são obtidos a partir do número de
Reynolds (Tabelas 1 a 4; gráficos 2 e 3)
As correlações nas Tabelas I a IV aplicam-se ao movimento de partículas
isométricas isoladas em fluidos newtonianos. Embora a Tabela III inclua a partícula
esférica, nos cálculos com partículas desta forma deve-se usar a Tabela II para maior
precisão.
A Tabela IV fornece diretamente a expressão para cálculos da velocidade relativa
partícula - fluido e do diâmetro da partícula, quando prevalece o regime de Stokes (Re <
0,5) ou o de Newton ( 3 < Re < 2x 5 )
Tabela I - Partícula esférica isolada ; correlações de Coelho & Massarani (1996) com
base nos dados de Lapple & Shepherd (1940) e Pettyjohn & Christiansen (1948).
Re < 5x
4
Descrição n Valor médio e desvio padrão n n
n C D
Re
( )
( )
Re
Re exp = ± cor
n C D n CD n
Re
Re Re
( )
( )
Re
Re exp = ± cor
n n
C
n
C D D
Re
Re
Re (^)
( )
( )
exp = ± C cor
C
D
D
onde
( ) ( )
2 3
D
2
3
3
Re
C
Re , Re U
aD a C
DU
F
F S F E P S F E D
P F
ρ
ρ −ρ μ
μ
ρ ρ −ρ
μ
ρ
Influência da presença de fronteiras rígidas
Tabela 4 - Efeito de parede na fluidodinâmica da partícula isométrica em fluido
newtoniano (Almeida, 1995): 0,65 < φ < 1 e 0 < DP /DT ≤ 0,
μ
ρ ∞ =
Dpv ∞ Re (^) t
T P P D
D
v
v k = β= ∞
e
(Francis, 1933)
− β
−β kP =
3
= = − β
β −
∞
8 , 91 , 1 , 17 10 0 , 281
1 Re
2 , 79 3 A e B x
A
k B P
3
(Francis, 1933)
32 kP = 1 −β
( )
= − φ
φ
ρ
ρ −ρ < = μ
ρ = = −
β
0 , 843 log
,n 0,85 Re 35 , ( )
24 exp( 3 , 54 ) Re
(^1102)
(^12) (^12)
K K
v
gD C
Dv
K C K t
S P D
Pt n n n D
2. – SEDIMENTAÇÃO OBSTADA : P ARTÍCULA ESFÉRICA E EFEITO DE POPULAÇÃO
Quando um fluido contém muitas partículas em suspensão, ocorre uma
interferência mútua no movimento destas, e a velocidade de sedimentação é muito
menor do que a prevista pelas equações deduzidas sob a hipótese de movimento livre
das partículas. A partícula sedimenta, neste caso, através de um lodo ou suspensão de
outras partículas no fluido, ao invés do fluido puro.
Um aumento na concentração da suspensão acarreta uma substancial redução na
velocidade terminal do conjunto de partículas, fato importante no estudo da separação
sólido-fluido. Uma correlação clássica, de Richardson e Zaki (1954), é válida para
porosidades inferiores a 75%:
n v t = vt ∞ε
onde v (^) t∞ é a velocidade terminal da partícula à diluição infinita, isto é, escoando
livremente sem interferência de outras partículas ou das vizinhanças, e o expoente n é
um parâmetro que depende do número de Reynolds
Re∞ n
0,2 − 1 4,4 Re∞
-0,
1-500 (^) 4,4 Re∞ -0,
Para sistemas de baixa porosidade a velocidade terminal pode ser calculada com
auxílio do Gráfico mostrado na figura abaixo (Massarani, 1979, p.57):
Embora se possa considerar a velocidade de deposição constante para todas as
partículas, será diferente de acordo com a concentração da suspensão. Para definir a
velocidade da suspensão pode-se recorrer à sua porosidade, ε, introduzindo-a na fórmula
de Stokes para regime laminar. A equação resultante é:
( ) (13) 18
2
SUSP
S SUSP P sus
g D v μ
ρ −ρ =ε
sendo ρsus e μsus a massa específica e a viscosidade da suspensão. O valor de ρsus é
calculado pela média ponderada de ρp (partícula) e ρ (líquido), ou seja,
Quadro 1 – Campos de força para separação de partículas sólidas
Dimensão ( μ m) Designação Campos de força
0,1 Fumos Elétrico
0,1 a 0,4 Fumos
Elétrico
Filtros de pano
Lavadores de poeira
1 a 10 Poeiras
Elétrico
Filtros de pano
Lavadores de poeira
10 a 100 Poeiras
Centrífugo
Filtros de pano
Filtros recobertos
viscosos
100 a 1000 Poeiras Centrífugo
Gravidade
> 1000 Poeiras Gravidade
PARTE DOIS
Separação sólido-fluido em Sistemas Diluídos
2.I - Campo Gravitacional
2.I.1 E LUTRIAÇÃO - É a operação de separação (ou classificação por tamanhos) de
partículas, obtida mediante uma corrente ascendente de líquido em contracorrente com
os sólidos. Quando o objetivo é a classificação por tamanhos de partículas de um único
material homogêneo, a separação é obtida com base apenas na diferença de velocidades
terminais das diversas partículas: aquelas que tiverem uma velocidade de queda menor
que a velocidade de ascensão do líquido serão arrastadas por este, enquanto que as de
maior velocidade sedimentarão e serão coletadas no fundo do vaso.
Quando se trata de uma mistura de dois materiais diferentes , a separação é
conseguida em função do tamanho das partículas e da diferença de densidades entre
estas. Assim, as partículas mais densas sedimentarão com maior velocidade, devendo a
velocidade de ascensão do líquido ser ajustada num valor entre a velocidade terminal da
menor partícula do material mais denso, e a maior partícula do material menos denso.
Quando isto é possível, a sedimentação é completa.
g D
C
g D
C
s (^) A
D (^) A
s B
D (^) B
ρ ρ
ρ
ρ ρ
ρ
− D
D
C
C
A
B
B
A
D A
D B
ρ ρ
ρ ρ
lifica nd
Sejam dois materiais A e B , sendo A mais denso que B. Se a faixa de tamanhos for
grande, é possível que a velocidade terminal das maiores partículas de B sejam
superiores às das menores partículas de A. Ocorrendo isto, evidentemente a separação não
será completa. O intervalo de separação possível ( razão de separação ) pode ser determinado
à partir da relação entre as dimensões das partículas de A e B que têm mesma velocidade
terminal. Então, igualando as velocidades terminais de A e B,
D
D
D v
D v
A
B
B
A
B B
A A
ρ ρ
ρ ρ
μ ρ
μ ρ
Ocorrem dois casos extremos: a) No regime laminar, (para baixos valores do número de
Reynolds), C (^) D = 24/ Re. Substituindo e simplificando a expressão resultante, temos:
b) No caso de partículas de mesma esfericidade sedimentando a altos números de
Reynolds (alta vazão ou grandes dimensões), o coeficiente de arraste é
aproximadamente constante e igual a 0,44. Desse modo, teremos:
D
D
A
B
B
A
ρ ρ
ρ ρ
Conclusão: a separação de dois materiais diferentes será possível se a razão de
separação for maior do que:
D
D
A
B
B
A
ρ ρ
ρ ρ
n
sendo n = 0,5 no regime laminar
0,5 < n < 1,0 no regime de transição
n = 1,0 no regime turbulento
EXEMPLO: Uma mistura de galena (densidade 7.500 kg/m
3 ) e sílica (densidade 2.650 kg/m
3 ),
deve ser separada por Elutriação. A mistura tem dimensões entre 0,7 e 0,8mm.
Admitindo que a esfericidade de ambos os materiais é a mesma e igual a 0,806,
determine:
a) Qual a velocidade da água para se ter como produto a galena pura (admitir
sedimentação livre a 20ºC. viscosidade = 0,001 N.s/m
2 ).
b) Qual o intervalo de dimensões da galena obtida como produto? (Foust,
exemplo 22.2 p.543 )
ρ
ρ ρ
Não há movimento de fluido na direção perpendicular ao escoamento, então, uy = 0. Por
definição, o módulo da diferença de velocidades é:
Como uy = 0 e ux = v (^) x , resulta
Substituindo esses valores na equação do movimento, chega-se a
Se fizermos, na expressão acima, o volume e a área iguais aos de uma esfera,
obteremos a expressão geral para a velocidade terminal como na Lei de Newton.
Diâmetro da menor partícula que pode ser coletada na câmara:
O diâmetro crítico de separação pode ser obtido se analisarmos a condição de a
menor partícula, lançada na condição mais desfavorável, ser coletada. Admite-se que
esta partícula sedimente Admite-se que esta partícula sedimente na extremidade oposta
da câmara, ou seja, em l = L. O tempo necessário para que a partícula de diâmetro
crítico percorra na direção x a distância L é:
u
L
t =
onde u é a velocidade média do fluido entre as placas, relativa à vazão Q. ( HB
Q
u = ).
O tempo necessário para que a partícula de diâmetro crítico percorra na direção y a
distância H, é:
v t
H
t =
= V − g + − −
A
P ρ P^ ρ F^ y^ ρ F u^ v CD^ u^ y^ vy
u − v = u x − v x + u y − vy
(^2 )
u − v = − v y = v y = vt 2
v v
V g
A C
y t
p p
p D
2 ρ −ρ
ρ
Para a partícula ser coletada, estes tempos devem ser iguais. Igualando-se as
expressões, obtemos a equação para o cálculo da velocidade terminal da partícula de
diâmetro crítico:
L
Hu vt =
Como nos interessa o diâmetro dessa partícula, podemos estimá-lo através do grupo
C (^) D / Re ou com auxílio do gráfico CD x Re. A velocidade pode também ser dada em
função da vazão, como:
A proj
Q
BL
Q
vt = =
O diâmetro crítico está relacionado às condições de operação (vazão da suspensão) e
às dimensões do equipamento. Partículas maiores que aquelas de diâmetro crítico são
também coletadas com eficiência de 100%; as menores, com eficiência inferior. No
escoamento lento de partículas esféricas, teremos:
EXEMPLO: Uma suspensão diluída de cal em água, contém areia como produto indesejável.
Determinar a capacidade da unidade abaixo esquematizada para a separação completa da
areia (m
3 suspensão /h). Não há efeito de população pois a suspensão é bem diluída. Determine
também a percentagem de cal perdida na separação.
D ADOS: Faixa granulométrica da areia = 70 < Da < 250 μm
Para a cal: esfericidade = 0,80; densidade = 2,2 g/cm 3
Para a areia: esfericidade = 0,7; densidade = 2,6 g/cm 3
Temperatura de operação = 30ºC
Análise granulométrica das partículas de cal
Dp(μm) 20 30 40 50 60 70 80 100
% < Dp 15 28 48 54 64 72 78 88
(G.Massarani, Problemas em Sistemas Particulados IV, Publicação Didática-PDD 03/82, COPPE/UFRJ, p.17,
D
Hu
gL
HQ
S S gV
18 μ 18
ρ ρ
μ
ρ ρ
sendo V = HBL
