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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA
Operações Unitárias I – Notas de Aula
Capítulo 3
Escoamento Através de Meios Porosos Indeformáveis
Referências específicas
Scheideger : The Physics of Flow Through Porous Media , University of Toronto, (1960)
Katz : Handbook of Natural Gas Engineering , McGraw-Hill (1959)
Bear : Dynamics of Fluids in Porous Media , American Elsevier, (1972)
1. – Introdução
Um meio poroso é uma fase sólida contínua que contém muitos espaços vazios, ou poros, em seu interior. São exemplos as esponjas, tecidos, papel, areia e cascalho, tijolos, filtros e os leitos empacotados, ou de recheios, usados na indústria química nas operações de absorção, troca iônica, destilação, extração líquido-líquido, etc.
Muitos materiais são porosos, mas os espaços vazios não se comunicam entre si, impedindo que um fluido escoe através deles. Por exemplo, os recipientes de poliestireno, os preservativos e as caixas de isopor contêm muitos poros, mas, devido a estrutura de “cela fechada” dos plásticos, eles não possuem interconexão, formando então uma excelente barreira ao escoamento de fluidos Uma pilha de areia, contudo, tem menos poros que um recipiente de poliestireno expandido, mas seus poros são interconectados , de modo que os fluidos podem atravessá-los facilmente. Os meios cujos poros não estão ligados entre si são descritos como impermeáveis ao escoamento de fluidos e aqueles com poros interconectados como permeáveis. (de Nevers, 1991) A definição analítica de permeabilidade será dada posteriormente.
O escoamento de fluidos através de meios porosos permeáveis é uma situação encontrada em larga escala em hidrologia e na indústria química na produção de óleo e gás, na filtração, nos leitos fluidizados, nas colunas de recheio para absorção, destilação e extração líquido-líquido, e requer que se conheçam expressões que permitam prever a relação “vazão-queda de pressão” para o fluido, associada à resistência ao escoamento causada pelas partículas.
As colunas com enchimento (recheio) são amplamente utilizadas com a finalidade de proporcionar um contato íntimo entre dois fluidos imiscíveis, ou parcialmente miscíveis, podendo ser eles um gás e um líquido, ou dois líquidos. Os fluidos escoam em contracorrente, com o gás, ou líquido mais leve, sendo alimentado pelo fundo da coluna e o
segundo fluido pelo topo. Um exemplo do sistema líquido-gás é o processo de absorção, ilustrado na figura ao lado, em que um gás solúvel é “lavado” de uma mistura de gases mediante um líquido.
Neste curso trataremos apenas da fluidodinâmica do escoamento, devendo os detalhes de operação e construção da coluna, e o cálculo dos valores dos coeficientes de transferência ser estudados nas disciplinas específicas que tratam da transferência de massa.
3.1.1 – Descrição Geral das Torres de Recheio
A parede da coluna pode ser construída com materiais tão diversos como metal, cerâmica, vidro ou plástico, ou metal com revestimento resistente à corrosão. O enchimento apóia-se numa grelha ou tela que deve ter um bom padrão de abertura para não oferecer muita resistência ao fluxo. O líquido é introduzido no topo e deve ser uniformemente distribuído por toda a seção reta. A distribuição geralmente é feita por uma série de pulverizadores, sendo essencial a uniformidade do fluxo de fluido. Se a coluna for alta torna- se necessário dividir o leito em várias seções, inserindo-se no espaço vazio entre eles, pratos de redistribuição do líquido. Os redistribuidores são necessários em intervalos de 2 1/ a 3 diâmetros de coluna para anéis Raschig, e cerca de 5 a 10 diâmetros de coluna para
anéis Pall, não superando 20 pés de distância ( Coulson-Richardson, 1965 )
3.1.2 – Enchimento da Coluna
Existem três tipos de recheios: sólidos quebrados, grades e os enchimentos com forma definida (anéis, cilindros, cubos, esferas, etc.). Os sólidos quebrados, apesar de serem mais baratos e muitas vezes resistirem bem à corrosão, obviamente não alcançam a mesma eficiência que os enchimentos com forma definida em relação ao fluxo de líquido, nem quanto à superfície específica disponível para a transferência. O enchimento deve ser tão uniforme quanto possível, de modo a formar um leito com características e porosidade uniformes.
Alguns dos enchimentos mais correntemente usados nas indústrias químicas são mostrados na Figura 2. A maior parte dos recheios industriais está disponível numa grande variedade de materiais como cerâmica, metais, vidro, plástico, carbono e borracha. O escoamento preferencial, isto é, a distribuição não uniforme de líquidos através da seção reta da coluna, com formação de canais, é muito menos pronunciado com os recheios de forma definida e sua resistência ao fluxo é muito menor ( Coulson-Richardson, p.28, 1965 ).
A dimensão do recheio usado influencia as dimensões (altura e diâmetro) da coluna, a perda de carga e o custo do enchimento. Em geral o aumento do tamanho do enchimento, diminui o custo por unidade de volume de enchimento e a perda de carga por unidade de
motora e inversamente proporcional à espessura do meio. Este princípio ficou perpetuado como “Lei de Darcy” e se aplica a uma única fase fluida percolando um meio poroso em escoamento lento, e pode ser escrita na forma:
Onde q é a velocidade superficial (vazão por unidade de área),F 0 6 Dé a viscosidade do fluido, ( dp/dz) o gradiente de pressão (força motriz do escoamento) e k é a permeabilidade do meio.
3.2.1 – Permeabilidade (k)
É a propriedade mais importante na descrição do escoamento através de um meio poroso, e dá uma indicação sobre a facilidade com que o fluido escoa através dos poros. Tem a dimensão de uma área [L 2 ]. A permeabilidade deve ser expressa em função da porosidade (fração de vazios do meio), uma vez que no escoamento em um leito poroso apenas parte da área da seção transversal total está disponível para o fluxo do fluido. A expressão mais usual para predição da permeabilidade de um meio é a equação de Kozeny- von Càrman que é escrita, em sua forma mais geral, como:
Sendo S (^) P é a superfície específica da partícula (área superficial por unidade de volume), que
pode ser estimada facilmente quando as partículas são de geometria simples. Em algumas situações, como no caso de meios consolidados artificialmente, a determinação da superfície específica é difícil sendo mais conveniente fazer sua aferição experimentalmente em laboratório.
Para esferas de tamanho homogêneo, A = 4F 0 7 0r^2 e V = (4/3)F 0 7 0r^3 a superfície específica é
dada por:
e a equação ( 2 ) torna-se
Onde DP é o diâmetro da esfera de igual volume que a partícula eF 0 6 2 é a constante de Kozeny, um parâmetro que depende da forma das partículas e da porosidade do meio. Dados experimentais indicam queF 0 6 2 , para meios fixos, assume valores entre 4 e 5. Para
partículas esféricas,F 0 6 2= 5 para meios de porosidade entre 30 e 50% (Massarani, 1979). Para
partículas de outras formas se sugere sua a estimativa no gráfico abaixo (Coulson-
Richardson, 1965, p.12).
Figura 3 - Variação da constante de Kozeny com a porosidade
O gráfico acima apresenta o inconveniente da limitação a uma pequena faixa de porosidade. Happel (1958) deduziu uma equação teórica para a determinação da constante de Kozeny numa ampla faixa de porosidade, válida para partículas esféricas :
3.2.2 – Fator de Atrito em Meios Porosos - Equação de Kozeny-Càrman
A equação para estimativa da permeabilidade de um meio foi deduzida por Kozeny (1927) e resultou da analogia entre o escoamento laminar de um fluido em tubos retos e o escoamento lento num meio poroso, representado por um modelo simplificado onde diversos tubos capilares, de iguais comprimentos e diâmetros, compunham o leito compacto. Posteriormente Càrman (1938) aplicou a equação aos resultados experimentais do escoamento através de leitos recheados observando queF 0 6 2= 5.
A equação de Poiseuille para escoamento em tubos é dada por:
onde Vf é a velocidade média do fluido no duto, R (^) H é o raio hidráulico eF 0 6 2uma constante
que depende da geometria. O escoamento lento através de um meio poroso é descrito pela Lei de Darcy:
A velocidade do fluido em qualquer seção reta perpendicular ao escoamento, pode ser relacionada à área total da seção transversal, A, como se não houvesse o meio poroso, sendo neste caso chamada velocidade superficial, q
ou pode se basear na área realmente aberta ao escoamento do fluido, correspondendo assim à velocidade do fluido nos canais sinuosos formados pelos poros do meio, sendo designada neste caso como velocidade intersticial V (^) i
onde Q é a vazão volumétrica do fluido, m a vazão mássica eF 0 6 5a porosidade, ou fração de vazios do meio, isto é, a fração da seção reta não ocupada pelos sólidos, já definida anteriormente. A relação entre a velocidade superficial e a velocidade intersticial é, portanto,
q = F 06 5 v i
Um meio indeformável é aquele que tem suas propriedades constantes. Para as deduções subseqüentes vamos tomar o seguinte modelo físico:
O fato do meio ser rígido implica que a velocidade do sólido é nula (v (^) s = 0) e a porosidade constante. Supondo que as densidades do sólido e do fluido também são constantes e que o estado é estacionário, vamos aplicar a equação da continuidade e do movimento às fases sólida e fluida.
Equação da continuidade
1. Constituinte fluido:
Pelas suposições acima a equação se reduz a , isto é (F 0 6 5v) = constante.
Como vimos anteriormente,F 0 6 5.v = q = velocidade superficial.
2. Constituinte sólido:
a equação é plenamente satisfeita poisF 0 7 2S e F 06 5 são constantes e v (^) s = 0
Equação do movimento
1. Constituinte fluido:
na expressão acima, m é a força resistiva e F 07 4 é a tensão de cisalhamento do fluido no meio poroso, que só tem valor relevante no escoamento de fluidos não newtonianos; supondo escoamento laminar, os termos inerciais, no lado esquerdo da equação, podem ser desprezados, resultando:
3.2.4 – Força Resistiva (m)
É a força de interação exercida pelo fluido sobre o sólido, por unidade de volume do meio poroso, não incluindo o empuxo.
a) escoamento laminar. No escoamento lento, pela Lei de Darcy a força resistiva é
Substituindo na equação (12) temos
que é a equação de Darcy, onde é a pressão piezométrica do fluido. No escoamento de fluido incompreensível, a densidade é constante, de forma que podemos escrever:
No escoamento horizontal, o efeito gravitacional é desprezível, pois a aceleração não tem componente nesse eixo, de modo que podemos escrever simplesmente,
O sinal negativo aparece na equação apenas para manter a velocidade positiva, sendo opcional desde que se use o valor absoluto da velocidade superficial. Para um meio homogêneo a expressão anterior pode ser integrada, dando:
A equação do movimento aplicada ao constituinte sólido, não fornece nenhuma informação adicional.
b) Escoamento a altas vazões (de uma única fase fluida)
Para o fluxo de fluido newtoniano a vazões mais elevadas, os resultados experimentais levam a desvios significativos da lei de Darcy, e não se consegue mais correlacionar os resultados teóricos e experimentais utilizando a forma simplificada da equação (13).Scheideger (1973) sugere o uso de uma expressão generalizada para a força resistiva, m , dada pela forma quadrática de Forcheimmer, que se aplica tanto ao escoamento lento como ao escoamento a vazões mais elevadas:
Sendo:
F 0 6 D- viscosidade do fluido k - permeabilidade do meio F 0 7 2- densidade do fluido q - velocidade superficial c -fator geométrico adimensional, que só depende da matriz sólida (esqueleto poroso).
O número de Reynolds modificado, dado por corrige o desvio em relação à lei de Darcy. Para escoamento laminar o primeiro membro do lado direito da equação prevalece sobre o segundo e a expressão recai na equação (13). Para altas vazões, o segundo termo, que é função da velocidade ao quadrado, aumenta muito mais rapidamente que o primeiro
e este se torna desprezível.
Material F 0 6 5 (%) K (cm^2 ) c
Arenito 21,5 (^) 2.4x10 -9^40 Placa porosa metálica 26,0 (^) 9,2x10 -8^15 Esferas de chumbo (0,2cm) 37,0 2,5x10 -5^ 0, Areia (28/35) 42,0 1,5x10 -6^ 1, Anéis Raschig 55,0 2,5x10 -4^ 0, Bombril (prensado) 68,0 (^) 7,5x10 -7^ 0,
3.4 – Determinação Experimental da Porosidade
Meios consolidados:
Uma técnica para a confecção de meios porosos artificialmente consolidados, é dada por Massarani & Thirriot (1976). Os meios porosos de que tratam a referência são de areia, consolidados com adesivo à base de resina epóxi (Araldite), apresentando excelentes propriedades mecânicas como a possibilidade de serem trabalhadas em torno mecânico, serem seguidamente submetidas ao escoamento dos mais diversos fluidos, com repetidas secagens em estufa a 110ºC se que se constate qualquer variação da permeabilidade ou perda das propriedades mecânicas.
A determinação da porosidade de meios consolidados é obtida pela análise num picnômetro de uma pequena amostra do meio, já que suas propriedades (F 0 6 5e k) se mantêm constante por toda a extensão do meio.
Sejam: V MP = volume do meio poroso, medido gravimetricamente.
m (^) as = massa da amostra seca m (^) p+a = massa do picnômetro com água m (^) p+a+as = massa do picnômetro com água e amostra.
O volume de sólidos, ( V (^) S ) será dado por: e a porosidade, como definido antes, é Atualmente já existe uma técnica mais moderna de medição da porosidade, através da propagação de ondas (raios gama).
Meios não-consolidados
A porosidade de meios não-consolidados pode ser obtida por picnometria, como acima descrito, ou por medida do volume ocupado pela massa, m, de uma amostra do material a ser utilizado no meio poroso numa proveta, por exemplo. Suponhamos que uma massa de 153,6 g de areia, de densidade 2,6 g/ cm^3 , forme um meio poroso de 96 cm^3. A porosidade
deste meio será:
Caso a partícula tenha perfurações, como diversos tipos de recheios industriais, a determinação é feita pela Adição de uma certa massa do material a um dado volume de água, medindo-se então o volume resultante. Se V 0 é o volume de fluido e V (^) T o volume total (fluido mais amostra), o volume de sólidos será (V (^) T - V 0 ). Se V (^) MP é o volume do meio poroso, a porosidade será:
Exemplo: V 0 =116 cm 3 água V (^) MP = 92 cm 3 V (^) T = 172 cm 3 , então,
3.5 – Esquema para Determinação Experimental de “k” e “c”
Um esquema clássico e largamente usado em laboratório para a determinação da permeabilidade , sob queda de pressão reduzida, é ilustrado na Figura abaixo (D’Àvila- Sampaio, 1980).
Aplicando Bernoulli entre as seções (1) e (2), vem:
v 12 = v 22 = 0 (admite-se estática, já que as velocidades são pequenas). Z 1 = H; Z 2 = 0 e p 1 = 0, portanto,
mas (24)
Q = q.A = V / t é a vazão volumétrica. Então , (26)
Determinação de “c” e “k” em permeâmetro
Um aparelho para medição da permeabilidade e de c em leitos fixos, utilizando ar ou água como fluido de percolação, pode ser construído segundo o esquema representado ao lado.
Para determinação da permeabilidade, tomam-se medidas da velocidade superficial (Q/A) e da queda de pressãoF 0 4 4F 0 5 2.
a) Medida com Fluido Incompreensível
Equação do movimento para o fluido num meio poroso:
- Thirriot, C.; Massarani, G.; Cohen, B.M.; Cohen, M., Análise da Força Resistiva no Escoamento de Fluidos em Meios Porosos , V Congresso Interamericano de Engenharia Química, Rio de Janeiro, 1973.
- Happel, J. Viscous Flow in Multiparticle Systems: Slow Motion of Fluid Relative to Beds of Spherical Particles , A.I.Ch.E. Journal, 4, 197, 1958. D’Àvila, J.S.; Sampaio, R.S. Sistemas Particulados , Publicação Didática UFSE, Aracaju, 1980
Massarani, G. Notas de Aulas, EQ/UFRJ, Rio de Janeiro, 1979.
Massarani, G., Thirriot, C. Uma Técnica para Preparação de Meios Poroso Artificialmente Consolidados, Revista Brasileira de Tecnologia, 3, 1976.
- Scheideger, A. E., The Physics of Flow Through Porous Media , University of Toronto, Canada, 1973.
9.. Coulson, J.M., Richardson, J. F., Tecnologia Química vol.2 , Fundação Calouste Gulbenkian, 2ª Edição, Lisboa,
EXERCÍCIOS
Existe um escoamento de água através de um leito de esferas, sob ação da gravidade. O leito, contido num cilindro vertical, consiste de um enchimento de esferas de 2,0 cm de diâmetro e porosidade de 0,40. A água entra e sai do leito sob pressão atmosférica. Calcular a velocidade superficial atingida, admitindo escoamento turbulento (Bennett, 14.13)
Através de um leito de partículas cúbicas de 5 mm de aresta, passa um gás com velocidade de 1 m/s. A densidade das partículas é 1.500 kg/m 3 e a densidade global (densidade aparente do leito) é 950 kg/m^3. Calcular: A porosidade do leito O diâmetro equivalente das partículas A queda de pressão através do leito para uma altura de 2 m, se a densidade do gás à temperatura de operação e à pressão média entre os valores de entrada e saída é 0,70 kg/ m^3 e a viscosidade 0,02 centipoise.
A alimentação de uma coluna recheada é feita através de uma caixa d’água. Determine a vazão de água a 25ºC que percola pelo leito, desprezando as perdas de carga na tubulação e nos acidentes. A coluna tem 30 cm de diâmetro e 1 m de altura, sendo o recheio constituído de partículas esféricas de 0,6mm de diâmetro. A porosidade do enchimento é de 37%.
Um conversor secundário de SO 2 tem 7,5 ft de diâmetro e contém três camadas de catalisador de 1,5 ft de espessura. As partículas têm a forma de cilindros eqüiláteros de 3/8 in de diâmetro. A porosidade do leito é de 35%. O gás entra no conversor a 400ºC e 2 atm, com a seguinte composição: SO 3 SO 2 O 2 N (^2) Alimentação (%molar) 6,6 1,7 10,0 81, Produto (% molar) 8,2 0,2 9,3 82,
A velocidade mássica do gás é de 520 lb/hr.ft 2 e a viscosidade 0,032 cP. Calcular a queda
de pressão no conversor. (Coulson-Richardson, p.737, 1968 )
