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CCI-
Matemática Computacional
Carlos Henrique Q. Forster
(a partir dos slides de Carlos Alonso)
CCI-
Introdução e Motivação
Conteúdo, Avaliação, Bibliografia
ConteConte
úú
do
do
Em muitas universidades, este curso costumaser chamado de
Cálculo Numérico
Corresponde a um conjunto de ferramentas oumétodos para a obtenção de uma
solução
aproximada
de problemas matemáticos
Exemplos: raízes de equações, interpolação devalores coletados, integração numérica, etc.
Sua aplicação refere-se a problemasnuméricos que não possuem uma solução exata
Finalidade
Finalidade
Processo
físico
Modelo
matemático
Solução analítica
Método
numérico
Solução
computacional
JustificativasJustificativas
Em alguns problemas, a resolução analítica éimpraticável
Exemplo: sistemas lineares com muitas variáveis
Há problemas que não podem ser resolvidosanaliticamente
Exemplo: determinadas integrais e equaçõesdiferenciais
Nos problemas reais, os dados são medidasfísicas não exatas, com erros inerentes
É preciso considerar suas aproximações
Um caso real
Um caso real
Em 04/06/1996, na GuianaFrancesa, o lançamento dofoguete Ariane 5 falhou por umalimitação da representaçãonumérica (quantidadeinsuficiente de
bits
Houve um erro na trajetória,36,7 segundos após olançamento, seguido de explosão
Prejuízo: US$ 7,5 bilhões
Plano do curso Plano do curso
Primeiro bimestre:
Representação numérica, erros earredondamento
Raízes de sistemas de equações lineares
Ajuste de curvas
Segundo bimestre:
Interpolação polinomial
Zeros de funções
Integração e diferenciação numéricas
Avalia
Avalia
ç
ç
ão
ão
1 prova bimestral
2 ou 3 exercícios de laboratório
Pesos:
Prova: 60%
Média dos exercícios: 40%
Os trabalhos devem ser feitos em dupla e umrelatório impresso deve ser entregueapresentando a solução dos exercícios econsiderações. Código-fonte não é consideradoresultado (tabelas e gráficos sim). Pode havertroca de informação entre duplas desde que suaocorrência seja devidamente relatada, ainformação criticada e o mérito atribuído peladupla que utilizou a informação.
CCICCI
Sistemas de numeração
Bases: decimal, binária, etc.
Números fracionários
Mudanças de base
Representação de números
Inteiros
Reais
CCI
CCI
Sistemas de numeração
Bases: decimal, binária, etc.
Números fracionários
Mudanças de base
Representação de números
Inteiros
Reais
Sistemas de numeraSistemas de numera
çç
ãoão
Base decimal
10 dígitos disponíveis: 0, 1, 2, ..., 9
“Posição” indica a potência positiva de 10
Exemplo:
5432 = 5.
3
2
1
0
Base binária: é análogo
2 dígitos (
bi
nary digits
“Posição” indica potência positiva de 2
Exemplo:
1011
2
= 1.
3
2
1
0
= 8+0+2+1 = 11
10
CCI
CCI
Sistemas de numeração
Bases: decimal, binária, etc.
Números fracionários
Mudanças de base
Representação de números
Inteiros
Reais
NN
ú
ú
meros fracionmeros fracion
á
á
rios
rios
Base decimal
Potência negativa de 10 para parte fracionária
Exemplo:
54,32 = 5.
1
0
Base binária: também é análogo
Potência negativa de 2 para parte fracionária
Exemplo:
(10,11)
2
= 1.
1
0
(10,11)
2
= 2 + 0 + ½ + ¼ = (2,75)
10
Idem para outras bases: octal, hexadecimal,etc.
CCI
CCI
Sistemas de numeração
Bases: decimal, binária, etc.
Números fracionários
Mudanças de base
Representação de números
Inteiros
Reais
Conversão ou mudanConversão ou mudan
ç
ç
a de base
a de base
Uma caixa alienígena com o número 25 gravadona tampa foi entregue a um grupo decientistas. Ao abrirem a caixa, encontraram 17objetos. Considerando que o alienígena tem umformato humanóide, quantos dedos deverá ternas duas mãos?
Solução:
10
b
17 = 2.b
1
0
17 = 2b + 5
b = 6
Outro exemplo
Outro exemplo
Um
sistema de numeração ternário
tem três
trits
, que podem ter valor 0, 1 ou 2. Quantos
trits
são necessários para representar um
número de seis
bits
Solução:
6
y
6.log
2
2 ≤ y.log
2
y =
6/log
2
y = 4
Comprovando: 3
3
4
ExercExerc
í
í
cioscios
Verificar:
10
2
, ou seja, é uma dízima
10
2
Repare que a vírgula foi deslocada uma casa para adireita, pois 11,6 = 2. 5,
Portanto, todo computador que trabalha coma base 2, como possui uma quantidade limitadade
bits
, armazenará uma aproximação para
números como 5,8 ou 11,
Não se pode esperar resultados exatos emseus cálculos...
CCI
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Bases: decimal, binária, etc.
Números fracionários
Mudanças de base
Representação de números
Inteiros
Reais
RepresentaRepresenta
ç
ç
ão de n
ão de n
ú
ú
meros inteiros
meros inteiros
No armazenamento de um número inteiro, oscomputadores utilizam geralmente umaquantidade fixa de m
bits
, chamada
palavra
O primeiro
bit
à esquerda representa o sinal,
e os demais, o módulo do número
Dentro desse esquema, há duas maneiras derepresentar os números inteiros:
Pelo módulo
Pelo complemento de 2
Representa
Representa
çç
ão pelo mão pelo m
óó
dulodulo
O primeiro
bit
é o sinal, e os demais m-
bits
representam o módulo do número
Exemplo para palavras com m = 4
bits
(0 000)
2
= +
(1 000)
2
= -
(0 100)
2
= +
(1 100)
2
= -
(0 001)
2
= +
(1 001)
2
= -
(0 101)
2
= +
(1 101)
2
= -
(0 010)
2
= +
(1 010)
2
= -
(0 110)
2
= +
(1 110)
2
= -
(0 011)
2
= +
(1 011)
2
= -
(0 111)
2
= +
(1 111)
2
= -
Problemas:
Duas representações para o zero
Incoerência nos cálculos5 – 2 = 5 + (-2) = (0101)
2
2
2
RepresentaRepresenta
ç
ç
ão pelo complemento de 2
ão pelo complemento de 2
O primeiro
bit
continua sendo o sinal
Os demais
bits
obedecem a seguinte regra:
Se o número for positivo, representarão o seumódulo
Exemplo: (5)
10
2
Se o número for negativo, representarão seumódulo complementado e acrescido de 1
Exemplo: (-5)
10
Módulo: 101
Complemento: 010
Acréscimo de 1: 011
Portanto, (-5)
10
= (1011)
2
Ideia de fundo
:
ao serem somados, resultado final será
(0000)
2
Representa
Representa
çç
ão pelo complemento de 2ão pelo complemento de 2
Exemplo para palavras com m = 4
bits
(0 000)
2
= +
(0 100)
2
= +
(1 000)
2
= -
(1 100)
2
= -
(0 001)
2
= +
(0 101)
2
= +
(1 001)
2
= -
(1 101)
2
= -
(0 010)
2
= +
(0 110)
2
= +
(1 010)
2
= -
(1 110)
2
= -
(0 011)
2
= +
(0 111)
2
= +
(1 011)
2
= -
(1 111)
2
= -
Valor de (1xx...x)
2
: (0xx...x)
2
m-
Intervalo de representação: [-
m-
m-
–1]
Zero e positivos: [0, 2
m-
–1]
Negativos: [-
m-
, -1]
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Bases: decimal, binária, etc.
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Representação de números
Inteiros
Reais
Representa
Representa
çç
ão de não de n
úú
meros reaismeros reais
A representação de números reais é chamadade ponto flutuante (
float
), porque o ponto (a
vírgula, em português) pode variar (ou flutuar)de posição conforme a potência da base
Exemplo:
,
0
,
1
,
2
,
