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Cinemática Rotacional
Introdução
O que existe em comum entre os movimentos de um CD, de uma roda gigante, de um serra circular e de um ventilador de teto? Nenhum desses movimentos pode ser representado adequadamente como o movimento de um ponto , cada um deles envolve um corpo que gira em torno de um eixo que permanece estacionário em algum sistema de referencia inercial. A rotação ocorre em todas as escalas, desde o movimento de elétrons em átomos até movimento das galáxias interiras. Precisamos desenvolver métodos gerais para analisar o movimento de corpos que giram. Neste capítulo e no próximo vamos considerar corpos com tamanho e forma definidos, que no caso geral possui um movimento de rotação combinado com um movimento de translação. Os corpos do mundo real podem ainda ser mais complexos; as forças que atuam sobre eles podem deforma-los, esticando-os, torcendo-se e comprimindo-os. No nosso estudo sobre rotação vamos desprezar essas deformações, ou seja, vamos supor que o corpo possua uma forma definida e imutável. Esse modelo de corpo ideal denomina-se CORPO RÍGIDO. Neste capítulo estudaremos a cinemática de rotação. No capítulo seguinte vamos estudar os princípios da dinâmica que relacionam as forças que atuam sobre um corpo com o seu movimento de rotação.
Fig1. (a) A patinadora em movimento de translação pura, o movimento é ao longo de uma direção fixa. (b) rotação pura, o movimento é em torno de um eixo fixo.
Fig 2. Movimento de rotação e translação de um corpo rígido arbitrário. Neste caso particular, o movimento de translação está confinado ao plano xy. A linha tracejada mostra o caminho correspondente ao movimento de translação do eixo de rotação, que é paralelo ao eixo z e passa pelo ponto A, no plano xy. O movimento rotacional é indicado pela linha de referência AP.
As Variáveis da Rotação
Vamos começar nosso estudo sobre a rotação de corpos rígidos em torno de um eixo fixo. Vale ressaltar que o estudo aqui abordado não inclui um corpo como o Sol, porque este não é um corpo rígido (“uma bola de gás”), um corpo como uma bola de boliche rolando sobre a pista porque, neste caso, há um rolamento, isto é, uma rotação em torno de um eixo móvel.
Posição Angular : (medidas em radianos)
s r
θ =
sendo um comprimento de arco de uma seção circular qualquer
entre o eixo e a linha de referência, e o raio dessa seção circular
s
x r
Um ângulo definido dessa forma é medido em radianos (rad) ao invés
de revoluções (rev) ou graus. O radiano, sendo a razão entre duas
distâncias, é um número adimensional. Como a circunferência de um
círculo de raio r é 2π r , um círculo completo tem 2π radianos:
2 1rev 360 2 rad
1rad 57,3 0,158rev
o
o
r
r
π = = = π
= =
Fig.3a (^) Fig.3b
¾ ROTAÇÃO COM ACELERAÇÃO ANGULAR CONSTANTE
Vamos obter a expressão que relaciona ω , α e , para o caso de t α =constante. d d dt dt
ω α = ⇒ ω =α
Integrando a equação acima, temos
0
0 0 0
t t
o
d dt dt t t
ω
ω
∫ ω^ =^ ∫ α^ =^ α^ ∫ ⇒^ ω^ −^ ω^ =^ α^ ⇒^ ω^ =^ ω^ +α
Movimento Rotacional (eixo fixo)
Movimento Translacional (direção fixa)
Tabela: Movimento com aceleração linear ou angular constante
v = v o + at
1 2 x = x 0 (^) + v t 0 + 2 at
2 2
v = v 0 + 2 ( a x − x 0 )
0 0 2
v v x x t
= +
1 2 x (^) = x 0 (^) + v t (^) − 2 a t
ω = ω 0 +α t
1 2 θ = θ 0 + ω 0 t + 2 α t
2 2 ω = ω 0 + 2 α θ ( −θ 0 )
0 0 2
t
ω ω θ θ
= +
1 2 θ = θ 0 + ω t − 2 α t
¾ GRANDEZAS ROTACIONAIS COMO VETORES Podemos descrever a posição, a velocidade e a aceleração de uma partícula por meio de vetores. Contudo, se a partícula estiver em uma trajetória retilínea, podemos dispensar o tratamento vetorial. Como a partícula tem apenas dois sentidos possíveis, podemos indica-los pelos sinais mais (no sentido do eixo dos x positivos) e menos (no sentido do eixo dos x negativos). Da mesma forma, um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo pode ser feito apenas no sentido horário ou anti-horário, e portanto, podemos fazer a associação aos sinais mais e menos.
Rotação 90o Eixo x
Rotação 90o Eixo y
Rotação 90o Eixo y
Rotação 90o Eixo x
Estabelecemos o sentido para o vetor^ ω^ pela regra da mão direita
Fig 4:
Fig 5.
¾ RALAÇÕES ENTRE AS VARIÁVEIS LINEARES E ANGULARES: FORMA VETORIAL
r sen θ r sen θ
Fig.7: (a) Uma partícula em P do corpo rígido girante é localizada pelo vetor posição com origem em O. A partícula possui uma velocidade angular (dirigida ao longo do eixo z) e velocidade tangencial. (b) A partícula em P possui aceleração angular ao longo do eixo z, aceleração tangencial e aceleração radial.
v = ω × r em módulo temos, v =ω r sen θ
G G G
d v d d d r
a r r
dt dt dt dt
= = ω × = × + ω×
G G G
G G G G G
a = α × r + ω × v
G G G G G
t
t r
r
a r
a a a
a v
= ×
= ×
G G G
G G G
G G G
