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PROBLEMAS R ESOLVIDOS DE FÍSICA
Prof. Anderson Coser Gaudio
Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo
http://www.cce.ufes.br/anderson
[email protected] Última atualização: 21/07/2005 15:50 H
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED.,
LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 1
Capítulo 11 - Cinemática
Rotacional
Problemas
Problemas Resolvidos
04. Uma roda gira com aceleração angular α dada por
3 2 α = 4 at − 3 bt
onde t é o tempo e a e b são constantes. Se a roda possui velocidade angular inicial ω 0 , escreva
as equações para (a) a velocidade angular da roda e (b) o ângulo descrito, como função do
tempo.
( Pág. 225 )
Solução.
(a) Vamos partir da equação dada:
3 2 4 3
d at bt dt
ω = −
3 2
d ω = 4 at − 3 bt dt
( ) dt
0
3 2 0
t d at bt
ω
ω
∫ ω =^ ∫ −
4 3 ω − ω 0 = at − bt
4 3
ω = ω 0 + at − bt
(b) Vamos partir do resultado do item (a):
4 3 0
d at bt dt
θ = ω + −
4 3
d θ = ω 0 + at − bt dt
( t^ ) dt
0
4 3 0 0
t d at b
θ
θ
θ = ω + −
5 4
0 0 5 4
at bt
θ − θ = ω t + −
5 4
0 0 5 4
at bt
θ = θ + ω t + −
[Início]
05. Qual é a velocidade angular (a) do ponteiro de segundos, (b) do ponteiro de minutos e (c) do
ponteiro de horas de um relógio?
( Pág. 225 )
Solução.
(a)
0,104719 rad/s t 60 s
θ π ω
ω ≈ 0,105 rad/s
(b)
1, 7453 10 rad/s t 60 60 s
= = = ×
Δ ×
2
( Pág. 225 )
Solução.
Vamos dividir o intervalo total de 5 s em três subintervalos: A (0 s – 1 s), B (1 s – 3,5 s) e C (3,5 s –
5 s). Em A e C o movimento é acelerado e em B o movimento é com velocidade angular constante.
O número de revoluções pode ser calculado diretamente pela variável Δφ, uma vez que se use ω em
rev/s e α em rev/s
2
. O número total de revoluções será:
Δ φ = Δφ A + Δφ B + Δφ C
Cálculo de Δφ A :
0 0
φ = φ + ω +ω t
0 (^ )
( ) 0 300 rev/s (1 ) 2 2
Δ φ A = ω A + ω A t = ⎡⎣ + ⎤⎦ s
Δ φ A = 1.500 rev
Cálculo de Δφ B :B
φ = φ 0 +ω t
Δ φ (^) B (^) = ω B t = ( 300 rev/s (2,5 )) s
Δ φ B = 11.250 rev
Cálculo de Δφ C :
0 0
φ = φ + ω +ω t
0 (^ )
( ) 0 3.000 rev/s 0 (1,5 ) 2 2
Δ φ C = ω C + ω C t = ⎡⎣ + + ⎤⎦ s
Δ φ C = 2.250 rev
Logo:
Δ φ = 11.250 rev
É evidente que esta mesma resposta pode ser obtida de maneira mais confortável a partir do gráfico
ω( t ) × t , que foi dado. Vejamos:
( ) ( )
t t
d
dt
d φ ( ) t =ω( ) tdt
4
0
( ) ( )
t
Δ φ t = ∫ t ω tdt
Portanto, a área compreendida no gráfico ω( t ) × t , no intervalo entre t 0 e t corresponde ao
deslocamento angular Δφ. Como o gráfico apresentado é um trapézio, sua área será:
B b h A
Onde B é a base maior e b é a base menor do trapézio.
( ) [ (5 s^ 0)^ (3,5 s^ 1 s) (3.000 rev/s)]^0
2 2
Δφ = Δ t^^ i^ + Δ t^ s Δ^ ω= −^ +^ −^ −
Δ φ = 11.250 rev
[Início]
29. Um pino rosqueado com 12,0 voltas/cm e diâmetro 1,18 cm é montado horizontalmente. Uma
barra com um furo rosqueado de forma a se ajustar ao pino é aparafusada nele; veja a Fig. 17. A barra gira a 237 rev/min. Quanto tempo levará para a barra se mover 1,50 cm ao longo do pino?
( Pág. 226 )
Solução.
A velocidade ( v ) com que a barra avança no pino é dada por:
l v t
Nesta equação ω é a velocidade angular da barra, λ é a densidade linear de voltas da rosca e l é a
distância que a barra avança num tempo t. Logo:
0, 07594 min
l t t
t ≈ 4, 6 s
[Início]
34. Um método antigo de se medir a velocidade da luz utiliza uma roda dentada girante. Um feixe
de luz passa por uma fenda na borda da roda, como na Fig. 18, propaga-se até um espelho
distante e retorna à roda no tempo exato para passar através da fenda seguinte na roda. Uma
destas rodas dentadas possui raio de 5,0 cm e 500 dentes em sua borda. Medidas tomadas
quando o espelho se encontrava à distância de 500 m da roda indicaram uma velocidade de 3,
5
módulos das velocidades lineares na borda das duas rodas são iguais.)
( Pág. 227 )
Solução.
O tempo procurado pode ser obtido a partir da equação de movimento acelerado da roda C :
ω = ω 0 +α t
ω C = ω C 0 +α C t
C
C
t
Embora as acelerações angulares das rodas C ( α C ) e A ( α A ) sejam diferentes, suas acelerações
tangenciais ( aC e aA ) são iguais, pois é a mesma aceleração da correia B.
a A = aC
α A rA =α C rC
A A C C
r
r
Substituindo-se (1) em (2):
16,3624 s
C C
A A
r t r
t ≈ 16, 4 s
[Início]
36. As lâminas de um moinho de vento partem do repouso e giram com aceleração angular de 0,
rad/s
2
. Quanto tempo passa até que um ponto da lâmina assuma os mesmos valores para os
módulos da aceleração centrípeta e da aceleração tangencial?
( Pág. 227 )
Solução.
A condição para que a aceleração centrípeta e a aceleração tangencial sejam iguais é:
a C = aT
2 ω r =α r
O tempo para atingir essa velocidade partindo do repouso é:
ω = ω 0 +α t
7
α = 0 +α t
2
t 2, 0584 s
t ≈ 2, 06 s
[Início]
41. Um objeto se move no plano de xy de forma que x = R cos ω t e y = R sen ω t , sendo x e y as
coordenadas do objeto, t o tempo e R e ω constantes. (a) Elimine t entre estas equações para
encontrar a equação da curva na qual o objeto se move. Que curva é essa? Qual é o significado
da constante ω? (b) Derive as equações de x e y em relação ao tempo para encontrar as
componentes x e y da velocidade do corpo, vx e vy. Combine vx e vy para encontrar o módulo, a
direção e o sentido de v. Descreva o movimento do objeto. (c) Derive vx e vy com relação ao
tempo para obter o módulo, a direção e o sentido da aceleração resultante.
( Pág. 227 )
Solução.
(a) Vamos elevar ao quadrado a equação de x.
x = R cos ω t 2 2 2 x = R cos ω t
2 2 2
x = R 1 −sen ω t
2 2 sen (^1 )
x t R
Agora vamos fazer o mesmo com a equação de y :
y = R sen ω t
2 2 2
y = R sen ω t (2)
Substituindo-se (1) em (2):
2 2 2 y = R − x
2 2 2 x + y = R (3)
A Eq. (3) corresponde à equação de uma circunferência. A constante ω ajusta a freqüência dos
ciclos das funções trigonométricas seno e cosseno. Em termos físicos, ω é a freqüência ou
velocidade angular do objeto que se move ao longo da trajetória circular. Veja o esquema a seguir:
x
y
y
r
θ
x
8
2 2 sen
y y
dv a R t dt
= = − ω ω = −ω y
Logo:
2 2 a = a x i + a (^) y j = − ω x i −ω y j
Esta equação mostra que a tem a mesma direção de r , porém com o sentido contrário. Ou seja, a
aponta no sentido radial. O módulo de a vale:
2 2 2 2 2 2
a = − ω x + −ω y = ω x +
2 y
2 a = ω r
Veja o esquema a seguir:
x
y
y
r
θ
x
a
ax
a y
[Início]
10
