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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Aula 3 - Simulação de Sistemas Dinâmicos
Introdução ao Simulink
Algoritmos de Integração Numérica
Usando Componentes Elétricos no Simulink
Simulando Sistemas Dinâmicos de Qualquer Natureza
Exercícios
Introdução ao Simulink
Será apresentado neste experimento, o programa de simulação gráfica que acompanha o Matlab, denominado Simulink. Este programa possibilita a simulação de sistemas dinâmicos lineares e não-lineares em nível de diagrama de blocos, sendo empregado para análise e projeto de sistemas de controle. O Simulink pode ser chamado através da tela de comandos do Matlab ou pela barra de ferramentas, conforme mostra a Figura 3.1.
Fig. 3.1: Forma de acesso ao Simulink.
A tela principal do Simulink, Figura 3.2, é composta por um conjunto de comandos básicos na barra superior, e por um conjunto de funções agrupadas em pastas. Estas funções pré-definidas serão empregadas para simulação dos mais variados tipos de sistemas. Na Figura 3.2 existem 17 pastas, cada um deles contendo um conjunto específico de funções, que são:
Simulink Communication Blockset Control System Control DSP Blockset Dials & Gauges Blockset Fixed-Poit Blockset Fuzzy Logic Toolbox MPC Block NCD Blockset
Neural Network Blockset Power System Blockset Real-Time Windows Target Real-Time Workshop Simulink Extras State Flow System ID Block xPC Target
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Fig. 3.2: Tela principal do Simulink. Para que o usuário tenha acesso às funções dos respectivos blocos ou pastas, deve-se clicar duas sobre o bloco ou pasta de interesse. Na Figura 3.3, observa-se o conjunto de funções existentes no bloco denominado “Continuous”.
Fig. 3.3: Funções contidas na pasta " Continuous ".
Para criar um novo ambiente ou para abrir um ambiente de simulação já existente.
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Fig. 3.6: Caixas de dialogo para o ajuste do bloco “Scope”.
Depois de montado o ambiente é necessário configurar os parâmetros de simulação acessando a opção mostrada na Figura 3.7. Inicialmente deve-se selecionar o algoritmo de integração numérica usado para resolver as equações diferenciais presentes no ambiente. Posteriormente seleciona-se o passo de integração e o tempo de simulação desejado. Em sistemas simples é conveniente usar o algoritmo ODE45 e ajustar o passo de integração de forma automática, deixando o trabalho de selecionar o passo ao encargo do próprio programa. A caixa de dialogo dos ajustes dos parâmetros de simulação é mostrada na Figura 3.8.
Fig. 3.7: Ajuste dos parâmetros de simulação”
Fig. 3.8: Caixas de dialogo para o ajuste dos parâmetros de simulação.
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Para ligar o ambiente de simulação usa-se a opção “Simulink/Start”mostrada na Figura 3.7 ou o ícone disponível na Barra de ferramentas. Para interromper a simulação usa-se a opção “Simulink/Stop” ou ícone disponível na Barra de ferramentas. Na Figura 3.9, o ambiente de simulação é ligado e o resultado é mostrado na Janela gráfica do bloco “Scope”.
Fig. 3.9:Resultado obtido após ligar o ambiente de simulação. O Simulink tem disponível vários exemplos que podem ser consultados para verificar e aprender as possibilidades do emprego do programa. Na Figura 3.10, é apresentado o arquivo “dblcart1.mdl” que mostra a simulação de um sistema massa-mola.
Fig. 3.10: Simulação de um sistema massa-mola.
Para ligar o ambiente de simulação.
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Fig. 3.11: Métodos e parâmetros dos algoritmos de integração.
Tab. 3.1: Principais algoritmos de integração do Simulink.[1]. O método de Euler emprega a derivada temporal de y no instante tn como sendo a função incremento, isto é
y n y n y t n tn
h (^) n
1 ^ ^ ^ ( ^ 1 )^ (3.5)
O erro associado ao método de Euler pode ser estabelecido considerando como valor da função no instante tn+1, descrito pela expansão da função em série de Taylor começando no ponto (tn,yn), ou seja
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y t y t y t h
y t h y t h
m
n n n n R
n n
m n
m
( ) ( ) ( ) m
1 ^ ^ ^ ^ ^
onde Rm denota todos os termos restantes de m+1 até o infinito. Rm fornece uma estimativa do erro de truncamento local, genericamente dado por
R
y
m
m h^ t
m m
n
t n (3.7)
Comparando a equação (3.5) com a equação (3.6), percebe-se claramente que o termo restante é da ordem de (h^2 ), ou seja O (h^2 ). Uma vez que o número de passos sobre um intervalo de tempo qualquer será inversamente proporcional ao incremento de integração h, conclui-se que o erro de truncamento acumulado esta na ordem de h, isto é O (h).
O método de Runge-Kutta utiliza termos de maior ordem da expansão em série de Taylor, apresentada na equação (3.6), sem calculá-los explicitamente. A equação geral de predição de um algoritmo de Runge-Kutta de ordem m é dada por
y n 1 y n (a k 1 1 a k 2 2 .... a mk m )hn (3.8)
Claramente, comparando-se (3.8) com (3.3), a função incremento do RK de ordem m é
( t n , y n , h n ) ( a k 1 1 a k 2 2 .... a m km) (3.9)
A função incremento do RK de ordem m pode ser interpretada como sendo uma média ponderada das inclinações de vários pontos entre tn e tn+3. Como exemplo, considerando m = 4 (RK de ordem 4), os k’s da equação (3.8) são determinados de acordo com a seguinte formulação:
k f t y
k f t
h
y
k
h
k f t
h
y
k
h
k f t h y k h
n n
n
n n n
n
n n n
n n n n
sendo a expressão final de yn+1 dada por
y y
h
n n k^ k^ k^ k
n
1 ^ ^1 ^2 ^3 4
Os métodos de Euler e RK, foram rapidamente explanados por serem bastante comuns, e também por serem dois métodos empregados pelo MatLab/Simulink para tarefas de integração numérica. Deve-se notar, que embora o algoritmo de RK apresente uma complexidade maior, este apresenta um erro de truncamento acumulado menor.
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Fig. 3.13: Uso de blocos conversores entre o Power System Blockset e o Simulink. Para mostrar o emprego do Power System Blockset para simular circuitos eletricos será usado o sistema apresentado na Figura 3.14 que consiste de um resistor e um capacitor. Os componentes resistor, capacitor e indutor são gerados a partir do ajuste dos parametros do bloco “Series RLC Branch” mostrado na Figura 3.15 e na Tabela 3.2. A Figura 3.16 mostra a localização dos diversos blocos do Simulink e do Power System Blockset que são necessarios para implementar o circuito eletrico da Figura 3.14..As Figuras 3.17 e 3.18 mostram respectivamente o ambiente de simulação completo e os sinais eletricos. Para gerar os sinais de tensão no capacitor e de corrente da Figura 3.18 foi considerado o capacitor inicialmente descarregado e a tensão de alimentação igual a 10 Volts. Os valores do capacitor e o do resistor empregados na simulação foram respectivamente de 100 F e 100. Complementando as informações da simulação verifica-se que foi usado o algoritmo de integração ODE23tb e o tempo de simulação de 0. segundos.
Fig. 3.14: Exemplo de um circuito elétrico composto por uma resistência e um capacitor.
Componente
Parâmetros do bloco “Series RLC Branch” Resistance R Inductance L Capacitance C Resistor Valor em Ohms 0 Inf Indutor 0 Valor em Henry Inf Capacitor 0 0 Valor em Faraday
Tab. 3.2: Ajuste do bloco “Series RLC Branch”.
Blocos do Power System Blockset
Blocos do Simulink
R
_Vi __
I C
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Fig. 3.15: Caixa de dialogo do Bloco “Series RLC Branch”.
Fig. 3.16: Localização dos blocos necessarios para simular o circuito eletrico da Fig. 3.13.
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Para resolver a equação diferencial de primeira ordem (3.12) emprega-se operação inversa a derivada, ou seja, a integração.
V t dt
RC
V t
RC
Vc t c i ()
( )
dt
dV t
I t C c^
A Figura 3.19 mostra a localização dos diversos blocos do Simulink que são necessarios para implementar a equação diferencial (3.14). A Figura 3.20 mostra o ambiente de simulação completo. Para gerar os sinais de tensão no capacitor e de corrente foram utilizadas as mesmas considerações adotadas no exemplo anterior. Somente o algoritmo de integração foi trocado para o ODE45 que é o algoritmo padrão do Simulink. Os sinais de corrente e de tensão são identicos aos obtidos no exemplo anterior pois o circuito eletrico é o mesmo, só mudou a maneira de implementar a simulação.
Fig. 3.19: Localização dos blocos necessarios para simular a equação diferencial (3.14).
Fig. 3.20: Ambiente de Simulação das equações diferencias (3.14) e (3.15).
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A Figura 3.21 mostra as caixas de dialogo dos blocos “Gain”, “Sum” e “Integrator” necessários para resolver uma ou mais equações diferenciais de primeira ordem. No contexto do exemplo a condição inicial assinalada na caixa de dialogo do bloco “Integrator” se refere à tensão existente previamente no capacitor antes de ligar a simulação.
(a) O valor do ganho deve ser ajustado.
(b) Os sinais e o número de entradas do bloco “Sum” podem ser alterados.
(c) A condição inicial do bloco “Ïntegrator” pode ser alterada. Fig. 3.21: Caixas de Dialogo dos blocos “Gain”, “Sum” e “Integrator”. Quando um sistema dinâmico exige um numero significativo de equações diferenciais de primeira ordem, sua representação usando blocos integradores pode tornar-se muito complexa. Uma boa alternativa nesse caso é representar as equações diferenciais de primeira ordem num conjunto de duas equações matriciais. A primeira equação matricial (3.16) é chamada de equação de dinâmica do sistema que relaciona todas as derivadas envolvidas nas equações que descrevem o sistema.
Axt But
dt
dx t
ou x ( t ) Ax ( t ) Bu ( t ) (3.16)
onde: u(t) é o vetor das variáveis de entrada do sistema; x(t) é o vetor das variáveis que são aplicadas a operação de derivação; A é denominada matriz de dinâmica; B é matriz que pondera cada uma das variáveis de entradas.
A segunda equação matricial (3.17) é chamada de equação de saída do sistema que determina as variáveis de saída do sistema.
y ( t ) Cx ( t ) Du ( t ) (3.17)
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A Figura mostra a caixa de dialogo do bloco responsável por implementar a equação matricial (3.21) no ambiente de simulação.
Fig. 3.23: Caixa de Dialogo do bloco “State-Space”.
Exercícios
- Equacionar o circuito elétrico abaixo, enunciando as leis ou propriedades físicas utilizadas. Representar o sistema na forma similar a um sistema de equações algébricas lineares, considerando o caso em que Vi = 0 , C= 100 F, R=100 e L= 100 Escolha um valor inicial valido no instante t =0 para a variável VC(t).
As equações que descrevem o sistema são:
V i ( t ) VR ( t ) VL ( t ) VC ( t )
onde
VR ( t ) R I ( t ) ,
dt
dIt
VL t L
( ) e It dt
C
VC t ()
Vi _
R L
I C
Vi _
R L
I C
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Construa um ambiente de simulação com blocos “Integrator” usando as equações diferenciais que representam o comportamento dinâmico do sistema
Construa um ambiente de simulação com o bloco “State-Space” usando a equação matricial que representam o comportamento dinâmico do sistema.
V t
L
V t
L
It
L
R
I t
I t
C
V t
c i
C
Considerando que:
x 1 ( t ) I ( t ) , x 2 ( t ) Vc ( t ), u ( t ) Vi ( t )
y 1 (t)I(t) ey 2 (t)Vc(t)
Obtêm-se:
2 2
1 1
2 1 2
1 2
y t x t
y t x t
ut
L
x t
L
R
x t
L
x t
x t
C
x t
Tab. 3.3: Equacionamento do Exercício 1.
- A figura abaixo ilustra um sistema de dois tanques interligados, cada um deles com formato cilíndrico cuja área da seção transversal é dada respectivamente por A 1 e A 2 .. A resistência a passagem do liquido pelas válvulas C 1 e C 2 é indicada pelos parâmetros R 1 e R2. Representar o sistema na forma similar a um sistema de equações algébricas lineares, considerando o caso em que Qi = 0.
Escolha um conjunto de parâmetros {A 1 , A 2 , R 1 , R 2 ) adequados para simular o sistema. Observação R 1 ou R 2 → ∞ indica válvulas fechadas. Escolha um valor inicial valido no instante t =0 para a variável H 1 (t).
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- A figura abaixo ilustra um sistema do tipo massa, mola e amortecedor. Representar o sistema na forma similar a um sistema de equações algébricas lineares, considerando o caso em que F(t) = 0.
Admite-se que o coeficiente de amortecimento b =1.0, a constante da mola k =2 N/m e a massa do carro m =5 Kg. Não há entradas no sistema. Considerando-se a deflexão inicial igual 1m da posição de equilíbrio.
As equações que descrevem o sistema são: F ( t ) FM ( t ) Fk ( t ) Fb ( t )
onde
2
dt
d xt
FM t M , Fk ( t ) k x ( t ) e
dt
dxt
Fbt b
Construa um ambiente de simulação com blocos “Integrator” usando as equações diferenciais que representam o comportamento dinâmico do sistema
Construa um ambiente de simulação com o bloco “State-Space” usando a equação matricial que representam o comportamento dinâmico do sistema.
Considerando que
dt
dxt
v t
F t
M
vt
M
b
xt
M
k
vt
xt vt
Considerando que:
x 1 ( t ) x ( t ) , x 2 ( t ) v ( t )e u ( t ) F ( t )
Obtêm-se:
2 2
1 1
2 1 2
1 2
y t x t
y t x t
ut
M
x t
M
b
x t
M
k
x t
x t x t
Tab. 3.5: Equacionamento do Exercício 3.
Bibliografia
[1] Curso de Simulink 2.0 – Modelagem, Simulação e Análise de Sistemas- 1º Edição,
Laboratório de Engenharia Elétrica, Universidade do estado do Rio de Janeiro.
F(t)
x(t) b
k
M
