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t t
B
A
B
A
t
0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
Temos as duas funções no domínio do tempo:
E devemos realizar a convolução entre as duas funções: 𝑔
Para isso devemos reescrever as duas funções no eixo τ (tau) e deslocar t unidades de
v(τ). Observe que no eixo τ (tau) o t passa a ser uma constante arbitrária.
Como deslocamos v(τ) em t
unidades, o seu centro que era
zero passa a ser posicionado em t.
w(τ) permanecerá fixa no eixo τ
(tau)
Sabemos que a convolução representa a área do produto das duas funções para um certo valor de t:
Como realizar uma convolução em tempo contínuo
Por Mateus Heinen Feltrin
∞
−∞
Neste documento vamos optar por deslocar v(t), aproveitando-se da propriedade comutativa da
convolução.
feltrinengenharia.wordpress.com
B
t
𝑡 +
𝑏
2
−
𝑎
2
Aumento de t
desloca v(t - τ)
para a direita
t
𝑡 +
𝑏
2
−
𝑎
2
convolução.
Podemos notar que valores muito negativos para t faz a função v(t-τ) ficar muito a esquerda de
w(τ), não existindo produto entre elas e resultando em uma convolução igual a 0.
1º Caso
Isso ocorre enquanto 𝑡 +
𝑏
2
𝑎
2
ou 𝑡 <
−𝑎−𝑏
2
2º Caso
Começamos a ter resultado no produto da convolução quando a lateral direita de v(t-τ) alcança a
lateral esquerda de w(τ). Mas para qual valor de t a função v(t-τ) alcança w(τ)?
v(t-τ) alcança w(τ) quando 𝑡 +
𝑏
2
𝑎
2
Resolvendo essa equação obtemos 𝑡 =
−𝑎−𝑏
2
Ou seja, v(t-τ) está centralizada em
−𝑎−𝑏
2
A
Esse intervalo de deslocamento de v(t-τ) termina quando a lateral esquerda de v(t-τ) atinge a lateral
esquerda de w(t). Pois, a partir daí, a integral de convolução passa a gerar uma nova função.
Mas quando a lateral esquerda de v(t-τ) atinge a lateral esquerda de w(τ)?
t
𝑡 −
𝑏
2
−
𝑎
2
B
A
Atinge quando 𝑡 −
𝑏
2
𝑎
2
Resolvendo essa equação obtemos 𝑡 =
−𝑎+𝑏
2
Ou seja, v(t-τ) está centralizada em
−𝑎+𝑏
2
O intervalo resultante para esse caso, em que v(t-τ) está “entrando” em w(τ) é:
Mas qual é o intervalo de integração em τ para os casos em que t está entre o intervalo apresentado acima?
Repare abaixo que para qualquer valor de τ dentro desse intervalo, somente existirá produto entre:
t
𝑡 +
𝑏
2
−
𝑎
2
B
A
t
𝑡 +
𝑏
2
−
𝑎
2
B
A
𝜏 =
−𝑎
2
e 𝑡 +
𝑏
2
Então esses serão os limites de integração, pois qualquer outro limite maior seria insignificante. A integral de
convolução fica:
𝑡+
𝑏
2
−𝑎
2
para
−𝑎−𝑏
2
−𝑎+𝑏
2
Nesse intervalo v(t-τ) = B e w(τ) = A
Resolvendo a integral obtemos:
𝑏+𝑎
2
ቃ para
−𝑎−𝑏
2
−𝑎+𝑏
2
3º Caso
t
𝑡 −
𝑏
2
−
𝑎
2
B
A
Esse caso começa quando v(t-τ) já está totalmente dentro de w(τ). Veremos que esse caso gera
uma área de integração sempre constante. Mas quando v(t-τ) está totalmente dentro de w(τ)?
Ora, quando 𝑡 −
𝑏
2
𝑎
2
Resolvendo essa equação obtemos: 𝑡 =
−𝑎+𝑏
2
Ou seja, v(t-τ) está centralizada em:
−𝑎+𝑏
2
Agora, repare que, enquanto deslocamos v(t-τ) dentro de w(τ) o produto é sempre o mesmo e a
área de integração não se altera:
Mas quando esse intervalo que gera um produto constante acaba?
t
𝑡 +
𝑏
2
𝑡 −
𝑏
2
−
𝑎
2
𝑎
2
A
Acaba quando 𝑡 +
𝑏
2
=
𝑎
2
Resolvendo essa equação obtemos: 𝑡 =
𝑎−𝑏
2
Ou seja, v(t-τ) está centralizada em:
𝑎−𝑏
2
B
Então para esse caso o intervalo de integração da convolução (que será determinado) vale para
qualquer valor de t que esteja entre:
Mas quais são os limites da integral de convolução para esses valores de t?
t
−
𝑎
2
B
A
t
𝑡 −
𝑏
2
−
𝑎
2
B
A
Observe acima que só existe produto, portanto área para ser calculada, entre:
𝑡 −
𝑏
2
e 𝑡 +
𝑏
2
Então a integral de convolução fica:
𝑏
2
𝑏
2
para
−𝑎+𝑏
2
𝑎−𝑏
2
Nesse intervalo v(t-τ) = B e w(τ) = A
Resolvendo a integral obtemos:
𝑔(𝑡) = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝑏 para
−𝑎−𝑏
2
−𝑎+𝑏
2
Que é exatamente a área do retângulo formado pelo produto de v(t-τ) e w(τ). A altura A.B
multiplicando a base de largura b.
4º Caso
Esse caso começa quando v(t-τ) está saindo de w(τ). Veremos que nesse caso a área de
integração vai diminuindo conforme aumentamos t.
Mas quando v(t-τ) está saindo dentro de w(τ)?
t
𝑡 +
𝑏
2
𝑡 −
𝑏
2
−
𝑎
2
𝑎
2
B
A
v(t-τ) está saindo de w(τ) quando sua lateral direita alcança a lateral direita de w(τ).
E quando isso ocorre?
Quando 𝑡 +
𝑏
2
𝑎
2
Resolvendo essa equação obtemos: 𝑡 =
𝑎−𝑏
2
Ou seja, v(t-τ) está centralizada em:
𝑎−𝑏
2
E quando v(t-τ) sai totalmente de w(τ)?
Repare que v(t-τ) saiu totalmente de w(τ) quando 𝑡 −
𝑏
2
=
𝑎
2
Resolvendo essa equação obtemos: 𝑡 =
𝑎+𝑏
2
Ou seja, v(t-τ) está centralizada em:
𝑎+𝑏
2
Então para esse caso o intervalo de integração da convolução (que ainda será determinado) vale
para qualquer valor de t que esteja entre:
Mas quais são os limites da integral de convolução para esses valores de t?
Observe acima que só existe produto, portanto área para ser calculada, entre:
𝑡 −
𝑏
2
e
𝑎
2
Então a integral de convolução fica:
𝑔
( 𝑡
) = ∫ 𝐴 ∙ 𝐵 𝑑𝜏
𝑎
2
𝑏
2
para
−𝑎+𝑏
2
≤ 𝑡 <
𝑎+𝑏
2
Nesse intervalo v(t-τ) = B e w(τ) = A
Resolvendo a integral obtemos:
𝑔(𝑡) = 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ ቂ−𝑡 +
𝑎+𝑏
2
ቃ para
𝑎−𝑏
2
≤ 𝑡 <
𝑎+𝑏
2
t
𝑎
2
B
A
𝑡 +
𝑏
2
𝑡 −
𝑏
2
t
𝑡 +
𝑏
2
𝑡 −
𝑏
2
𝑎
2
B
A
5º Caso
Esse caso ocorre quando t desloca v(t-τ) para a direita o suficiente para que v(t-τ) não fique mais
em cima de w(τ). Nesse caso a convolução é igual a zero. Veja abaixo:
B
t
𝑡 +
𝑏
2
𝑡 −
𝑏
2
−
𝑎
2
𝑎
2
Isso ocorre enquanto 𝑡 −
𝑏
2
𝑎
2
ou 𝑡 >
𝑎+𝑏
2
Repare que não há intersecção nesse caso e por isso a integral de convolução é zero.
Escrevendo g(t), o resultado da convolução
Dividimos a convolução em 5 casos, mas apenas 3 deles gerou uma função, outros casos foram
igual a zero. Ou seja, essas função geradas são as partes que compõe a g(t) de acordo com os
intervalos de t. Veja abaixo como ela ficou:
൨ , para
0 , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
