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PCS 2214
Fund. Eng. Comp. I
1o.Sem. / 2005
Profs: Anna H. R. Costa Jaime S. Sichman Líria M. Sato Romero Tori © 2005
Módulo: Complexidade de Algoritmos
Autor: M. Alice G. Ferreira Jaime S. Sichman
Versão: 2. Data: 03/03/
PCS 2214 - Fundamentos de Engenharia de
Computação I
Professores:
Anna Helena Reali Costa
Jaime Simão Sichman
Liria Matsumoto Sato
Romero Tori
1o. Semestre 2006
COMPLEXIDADE DE ALGORITMOS
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Módulo: Complexidade de Algoritmos
Autor: M. Alice G. Ferreira Jaime S. Sichman
Versão: 2. Data: 03/03/
Conteúdo
1. Critérios para Seleção de Algoritmos
2. Análise de Algoritmos
3. Tempo de Execução
4. Complexidade de Algoritmos
5. Algoritmo RSA
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Módulo: Complexidade de Algoritmos
Autor: M. Alice G. Ferreira Jaime S. Sichman
Versão: 2. Data: 03/03/
• Como selecionar um algoritmo quando
existem vários disponíveis?
1. Algoritmo fácil de
entender, codificar
e depurar
2. Algoritmo que faz
uso eficiente dos re-
cursos da máquina
Estas metas são
incompatíveis!
Critérios para Seleção de Algoritmos
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Módulo: Complexidade de Algoritmos
Autor: M. Alice G. Ferreira Jaime S. Sichman
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A meta a ser seguida dependerá do
que se pretende com o algoritmo que
está sendo selecionado:
1. só um experimento?
2. o programa terá uso intensivo?
3. vai usar e jogar fora?
4. outros alterarão seu programa no
futuro?
Critérios para Seleção de Algoritmos
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Módulo: Complexidade de Algoritmos
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Análise de Algoritmos
• Análise de algoritmos: processo de estimar o
tempo de execução e espaço de armazena-
mento exigidos por um algoritmo correto
• Complexidade de algoritmos: refere-se à
quantidade de memória para armazenamento de
dados ou tempo de execução de um algoritmo,
quando submetido a determinadas entradas.
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Análise de Algoritmos
Fatores que Afetam o Tempo de Execução:
1. Entrada do programa: “n” casos (quantos)
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Análise de Algoritmos
2. Qualidade do código gerado pelo compilador
3. Tipo e tempo de execução das instruções
4. Complexidade do algoritmo utilizado
– função do tamanho da entrada T(n)
– modelo de dados : grafos, listas
– representação dos dados: grafo representado
numa matriz.
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• Pode-se estimar o tempo de execução
através da contagem das instruções
executadas.
– tempo de execução dos laços
• while, for, repeat
• Geralmente, não interessa quanto vale
exatamente T(n) e sim como é seu
crescimento.
– n < n
< n
n
(n grande)
Tempo de Execução
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• Ex: Suponha que o tempo de pior caso de
um algoritmo, para entrada de tamanho n,
seja dado por t(n) = 60 n
+ 5n + 1. Para
valores de n grandes t(n) e 60 n
são
praticamente iguais.
n t(n)=60n
+ 5n + 1 60n
(tempo em segundos )
Tempo de Execução
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T(n) Tamanho máximo para
1 000 s
Tamanho máximo
para 10 000 s
Ganho
b/a
100 n 10 100 10
5 n
n
n
• Se o tempo de resolução de um problema fosse 1000
segundos, os algoritmos teriam um desempenho semelhante.
• Se esse tempo fosse 10000 segundos, o tamanho máximo de
entrada para obter o mesmo desempenho varia.
• T(n) pode estar representando qualquer um dos tempos
Tempo de Execução
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Ex: Máximo de uma seqüência
(1) procedure find_large (s, n) // n>
(2) // s é uma sequência de comprimento n
(3) large := s
(4) for i := 2 to n
(5) if s
i
> large then // foi encontrado um
// valor > large
(6) large := s
i
(7) return (large)
(8) end find_large
Executado n-1 vezes
Tempo de Execução
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• Considere-se um dos algoritmos mais
simples de busca de um elemento em uma
seqüência: a busca linear. Com ele pode-se
facilmente observar o que é tempo de pior
caso e tempo de melhor caso.
(1) procedure linear_search (s,n,key)
(2) for k := 1 to n
(3) if key = s
k
then // achou
(4) return (k)
(5) return(0)
(6) end linear_search
Tempo de Execução
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Versão: 2. Data: 03/03/
• O tempo médio de um algoritmo leva
em conta características estatísticas.
• No caso do algoritmo de busca linear
utilizado no exemplo, poderíamos
considerar que a busca de qualquer
elemento é igualmente provável. Sob
esta hipótese, pode-se considerar que
o tempo médio é dado por:
Tmédio
= (1 + n)/
Tempo Médio
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Módulo: Complexidade de Algoritmos
Autor: M. Alice G. Ferreira Jaime S. Sichman
Versão: 2. Data: 03/03/
• Sejam f e g, duas funções no domínio {1,2,...}
• Diz-se que f(n) é O(g(n)), ou seja, que f(n) é
de ordem de, no máximo, g(n), se existem as
constantes positivas C
e n
, tais que:
0 ≤ f(n) ≤ C
g(n)
para todo n > n
. (Cormen, 1990)
(f é limitada acima por g, exceto por uma
constante e um número finito de exceções,
n
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Versão: 2. Data: 03/03/
Fonte: Cormen et al, 1990
Complexidade de Algoritmos
Notação Big-Oh
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Versão: 2. Data: 03/03/
• Diz-se que f(n) é Ω(g(n)), ou seja, que f(n) é
de ordem de, no mínimo, g(n) se existem as
constantes positivas C
e n
, tais que:
f(n) ≥ C
g(n) ≥ 0
para todo n > n
. (Cormen, 1990)
(f é limitada abaixo por g, exceto por uma
constante e um número finito de exceções,
n
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Versão: 2. Data: 03/03/
Fonte: Cormen et
al, 1990
Complexidade de Algoritmos
Notação Teta
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Versão: 2. Data: 03/03/
Teorema
Seja Σ a
i
n
i
, comi = 0...k, um polinômio
de grauk, coma
i
não negativos.
Então: Σ a
i
n
i = Θ (n
k )
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• Se um algoritmo requer, no melhor caso, t(n)
unidades de tempo para terminar o
processamento de uma entrada de tamanho “n”
e t(n) = O(g(n)), diz-se que o tempo de melhor
caso requerido pelo algoritmo é da ordem de,
no máximo, g(n).
Complexidade de Algoritmos
a x e m j h t c
key = a
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Versão: 2. Data: 03/03/
• Se um algoritmo requer, no pior caso, t(n)
unidades de tempo para terminar o
processamento de uma entrada de tamanho “n”
e t(n) = O(g(n)), diz-se que o tempo de pior caso
requerido pelo algoritmo é da ordem de, no
máximo, g(n).
Complexidade de Algoritmos
a x e m j h t c
key = c
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1. j := n
2. while j ≥ 1 do
3. begin
4. for i:= 1 to j do
5. x: = x + 1
6. j:= ⎣ j/2 ⎦
7. end
1. for i:= 1 to n do
2. for j := 1 to i do
3. x := x+
Complexidade de Algoritmos
Exercício. Ache a notação Θ(n) para a
execução do comando x := x+1 nos dois
exemplos abaixo:
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Fonte: Aho et al, 1983, p. 19
Complexidade de Algoritmos
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Algoritmo complexidade Tempo max. =
1 s
Tempo max. = 1
hora
A1 n 1000 3 600 000
A2 n log n 140 200 000
A3 n
A4 n
A5 2
n
Algoritmo n = 16 n = 32 n = 512
A1 0,016 0,032 0,
A2 0,064 0,160 9,
A3 0,256 1,0 4 m 22 s
A4 4,0 33 1 dia 13 h
A5 1m 4 s 46 dias 10
s
Unidade básica de
tempo = 1 ms
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• Criptografia: estudo dos sistemas para fins de
transmissão/recepção de dados com
segurança através de redes de computadores.
intruso
transmissor
Cliente - Senha
receptor
Banco
Algoritmo RSA
pode descobrir dados confidenciais!
Sem codificação
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• RSA = Rivest, Shamir e Adleman (1978)
– utiliza intensamente números primos emod
1. Escolha dois números primos extensos,
p eq (geralmente maiores que 10
100
2. Calculez = p. q e Φ = (p-1).(q-1)
3. Calcule um número n, tal que gdc(n,Φ)=1;
geralmente, on escolhido é um número primo;
4. Determine o números, tal que(s.n) mod Φ= 1.
Algoritmo RSA
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• Estes parâmetros são calculados com
antecedência. O par (z,n) é tornado público.
São os dados necessários para se
criptografar a mensagem
– chamada de chave pública
– quando um transmissor deseja enviar
uma mensagem para um receptor, ele
usa um algoritmo de codificação tendo
como parâmetro a chave pública do
receptor
Algoritmo RSA
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5. Em seguida, quebra-se o texto -
considerado como uma cadeia de bits - em
pedaços (a) tais que 0 ≤ a ≤ z. Estes
pedaços têm então largura de k bits, sendo
k
a maior potência de 2 menor que z
(representação numérica será vista mais à
frente).
• Para criptografar: c = a
n
mod z
Algoritmo RSA
chave pública
informação a ser transmitida
dado efetivamente enviado
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Algoritmo RSA
6. Para decriptografar: a = c
s
mod z
O valor de s só é conhecido pelo receptor
mensagem
– chamada de chave privada
– Prova-se que não existe um algoritmo
eficiente para descobrir a chave privada (s) a
partir da chave pública (z,n)
chave privada
dado recebido
informação recuperada
