MO417 – Complexidade de Algoritmos
Segundo Semestre de 2011
Terceira Lista de Exerc´
ıcios
M´
etodo da Substituic¸˜
ao
1. Mostre que a soluc¸˜
ao da recorrˆ
encia T(n) = T(⌈n/2⌉) + 1 pertence a O(lg n).
2. Mostre que a soluc¸˜
ao de T(n)=2T(⌈n/2⌉) + n´
eΘ(nlg n).
3. Mostre que a soluc¸˜
ao de T(n) = T(⌈n/2⌉) + T(⌊n/2⌋) + n´
eΩ(nlg n).
4. Resolva a recorrˆ
encia T(n) = T(⌈n/3⌉) + T(⌊2n/3⌋)+1.
M´
etodo da Iterac¸˜
ao e ´
Arvore de Recorrˆ
encia
1. Determine um bom limite superior assint´
otico para a recorrˆ
encia T(n)=3T(⌊n/2⌋) + nusando
o m´
etodo da iterac¸˜
ao.
2. Argumente que a soluc¸˜
ao da recorrˆ
encia T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + n´
eΩ(nlg n)usando o
m´
etodo da ´
arvore de recorrˆ
encia. N˜
ao se preocupe com arredondamentos.
3. Desenhe a ´
arvore de recorrˆ
encia para T(n)=4T(⌊n/2⌋) + ne obtenha a classe Θa qual a
soluc¸˜
ao pertence.
4. Use o m´
etodo da iterac¸˜
ao para resolver a recorrˆ
encia T(n) = T(n−a) + T(a) + nonde a≥1´
e
um inteiro positivo.
5. Use o m´
etodo da ´
arvore de recorrˆ
encia para resolver a recorrˆ
encia T(n) = T(αn) + T((1 −
α)n) + nonde 0< α < 1´
e uma constante.
Teorema Master
1. Use o Teorema Master para resolver as recorrˆ
encias abaixo.
(a) T(n)=4T(n/2) + n
(b) T(n)=4T(n/2) + n2
(c) T(n)=4T(n/2) + n3
2. O tempo de execuc¸˜
ao de um algoritmo A´
e descrito pela recorrˆ
encia T(n)=7T(n/2) + n2.
Outro algoritmo A′tem complexidade de tempo descrita por T′(n) = aT ′(n/4) + n2. Qual ´
e o
maior inteiro atal A′´
e assintoticamente mais r´
apido que A?
3. O Teorema Master pode ser aplicado `
a recorrˆ
encia T(n)=4T(n/2) + n2lg n? Justifique sua
resposta. Obtenha um bom limite superior assint´
otico para esta recorrˆ
encia, sem usar o Teorema
Master diretamente.
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