MO417 – Complexidade de Algoritmos
Segundo Semestre de 2011
D´
ecima Lista de Exerc´
ıcios
Reduc¸˜
oes
1. Sejam P1 e P2 dois problemas tais que P1 ∝nP2 e suponha que P1 tem cota inferior Ω(nlg n),
onde n ´
e um parˆ
ametro que mede o tamanho da entrada do problema P1. Quais das seguintes
afirmac¸˜
oes s˜
ao verdadeiras? Justifique as suas respostas.
(a) Ω(nlg n)tamb´
em ´
e cota inferior para P2.
(b) Todo algoritmo que resolve P1 tamb´
em pode ser usado para resolver P2.
(c) Todo algoritmo que resolve P2 tamb´
em pode ser usado para resolver P1.
(d) O problema P2 pode ser resolvido no pior caso em tempo O(nlg n).
2. Considere os seguintes problemas:
INTERVALOS: Dados n intervalos na reta real, definidos pelos seus pontos de in´
ıcio e de fim,
deseja-se obter a lista de todos os intervalos que est˜
ao contidos dentro de pelo menos um dos
outros intervalos passados na entrada.
MAXIMAIS: Diz-se que um ponto p = (xp,yp) do plano domina um outro ponto distinto q =
(xq,yq) do plano se xp ≥xq e yp ≥yq. Um ponto p ´
e dito ser maximal em relac¸˜
ao a um conjunto
de pontos S se p pertence a S e nenhum ponto de S domina p. Deseja-se obter todos os pontos
maximais de um conjunto S contendo n pontos distintos no plano.
(a) Encontre uma reduc¸˜
ao de complexidade linear de INTERVALOS para MAXIMAIS.
(b) Encontre uma reduc¸˜
ao de complexidade linear de MAXIMAIS para INTERVALOS.
3. Uma matriz quadrada ´
e dita ser triangular inferior (superior) se todos os seus elementos n˜
ao
nulos estiverem na diagonal principal ou abaixo (acima) dela. Seja MMIS o problema de mul-
tiplicar uma matriz triangular inferior por uma matriz triangular superior e MMA o problema
de multiplicar duas matrizes quadradas arbitr´
arias. Seja T(n)a complexidade de um algoritmo
´
otimo para resolver MMIS quando as matrizes passadas na entrada tem dimens˜
ao n ×n. Supo-
nha que T(cn)∈O(T(n)) para toda constante c > 0. Mostre que MMIS ´
e pelo menos t˜
ao dif´
ıcil
quanto MMA no sentido em que estes dois problemas tem a mesma cota inferior (supondo o
modelo de computac¸˜
ao usual).
4. Seja Sum conjunto de n pontos distintos do plano. Seja G= (V, E )o grafo n˜
ao orientado
completo com n v´
ertices de modo que exista uma relac¸˜
ao 1 : 1 entre os v´
ertices de Ve os
pontos de S. Al´
em disso, assuma que para cada aresta (u, v)em E, esteja associado um custo
c(u, v)que ´
e igual `
a distˆ
ancia euclidiana entre os pontos correspondentes a uevem S. Mostre
que a cota inferior do problema de encontrar a ´
arvore geradora m´
ınima de Gtem cota inferior
Ω(nlg n).
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