MO417 – Complexidade de Algoritmos
Segundo Semestre de 2011
Quinta Lista de Exerc´
ıcios
1 Estat´
ısticas de Ordem
1. Mostre como QUICKSO RT pode ser modificado de modo que tenha complexidade de tempo
O(nlg n)no pior caso.
2. Suponha que vocˆ
e possui um algoritmo linear do tipo “caixa-preta” que resolve o problema
de encontrar a mediana. Descreva um algoritmo linear que resolve o problema da selec¸˜
ao
(encontrar o i-´
esimo menor) para todo i.
3. O k-´
esimo quantil de um vetor de ninteiros s˜
ao os k−1elementos que dividiriam o vetor, se
este estivesse ordenado, em kpartes de tamanho quase iguais (diferindo de no m´
aximo 1). Por
exemplo, a mediana ´
e o segundo quantil. Descreva um algoritmo de complexidade O(nlg k)
que determina o k-´
esimo quantil de um vetor de ninteiros.
4. Sejam X[1 ..n]eY[1 ..n]dois vetores ordenados. Descreva um algoritmo de complexidade
O(lg n)para determinar a mediana dos 2nelementos de XeY. Escreva um pseudo-c´
odigo.
Note que a mediana de 2kelementos ´
e o elemento xque ´
e maior ou igual a k−1elementos e
menor ou igual a kelementos.
5. Dado um conjunto de nn´
umeros, queremos listar os imaiores elementos em ordem crescente
usando um algoritmo baseado em comparac¸˜
oes. Considere os algoritmos baseados nas seguin-
tes id´
eias:
(a) Ordene os n´
umeros e liste os imaiores.
(b) Construa uma fila de prioridade com os nn´
umeros e chame EXTRACT-MA X ivezes.
(c) Use um algoritmo para encontrar o i-´
esimo maior n´
umero e particione o conjunto em torno
dele. Ent˜
ao ordene e imprima os imaiores elementos.
Analise a complexidade desses algoritmos em func¸˜
ao de nei. Determine quando um algoritmo
´
e melhor que os outros, considerando que valores de i(em func¸˜
ao de n).
2 Projeto de Algoritmos por Induc¸˜
ao
6. Seja A[1 ..n]um vetor de n´
umeros reais. Uma subseq¨
uˆ
encia ´
e um subvetor A[i..j]. Projete
um algoritmo de complexidade de tempo O(n)que determina uma subseq¨
uˆ
encia tal que o
produto de todos seus elementos seja m´
aximo (considerando todos as poss´
ıveis subseq¨
uˆ
encias).
O produto de um segmento vazio ´
e1por definic¸˜
ao.
7. Suponha que s˜
ao dados dois vetores A[1 ..n]eB[1 ..m]de inteiros. Dado um inteiro x, que-
remos saber se existem um elemento em Ae um elemento em Btais que a soma deles ´
e
exatamente x. Seu algoritmo deve ter complexidade O((n+m) lg(n+m)).
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