Funções: Conceitos Básicos, Domínio e Imagem, Paridade, Exercícios de Matemática

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SUMÁRIO

• INTRODUÇÃO
  • CONCEITOS GERAIS
    • Intercepto....................................................................................................................................
    • Raiz
    • Domínio e imagem ..................................................................................................................
    • Pontos extremos ......................................................................................................................
    • Funções compostas .................................................................................................................
    • Função inversa .........................................................................................................................
    • Paridade de funções ................................................................................................................
• BIBLIOGRAFIA
• PROFESSOR-AUTOR

Neste módulo, veremos conceitos que são comuns a todas as funções. Por exemplo, veremos o que é uma função, e o que significam o domínio e a imagem dessa função. Também falaremos sobre o que são raízes e interceptos de uma função, e que aplicações práticas esses conceitos têm na Administração. Finalmente, discutiremos conceitos como funções compostas, funções inversas, funções pares e funções ímpares.

Conceitos gerais

Em Administração, muitas vezes, queremos relacionar alguma coisa que desejamos com algo que podemos controlar. Por exemplo, em um processo de produção, desejamos ter o maior lucro possível. O lucro depende de quanto produzimos. Desse modo, queremos decidir quanto produzir para ter o maior lucro possível. Para isso, precisamos entender como a quantidade produzida se relaciona com o lucro. Matematicamente, essa relação é expressa na forma de uma função. Dizemos que o lucro é uma função da quantidade produzida. Da mesma forma, na fila de um supermercado, o tempo que um cliente espera para ser atendido depende do número de caixas atendendo. O gerente do supermercado deve decidir quantos caixas colocar para que nenhum cliente demore muito para ser atendido. Por outro lado, o custo do supermercado também depende do número de caixas atendendo, e o gerente não quer que esse custo seja muito alto. Nesse exemplo, tanto o tempo que um cliente espera para ser atendido quanto o custo do supermercado são funções do número de caixas atendendo. De forma geral, dizemos que uma variável ݕ é função de uma variável ݔ sempre que, se conhecermos ݔ, conhecemos ݕ. Tipicamente, ݔ será alguma coisa que conseguimos controlar e ݕ será alguma coisa em que estamos interessados, mas só conseguimos controlar por meio de ݔ.

INTRODUÇÃO

Para frisar que ݕ depende de ݔ, é comum representarmos ݕ por ݂ (ݔ). Onde escrevemos ݂ , poderíamos ter escrito qualquer outra letra: ݃ (ݔ), ℎ(ݔ), ݏ(ݔ),... mas subentende-se que letras diferentes representam relações diferentes. Desse modo, são exemplos de funções:

ℎ(ݔ) = 2௫^ − 1

Em qualquer um desses casos, se conhecemos ݔ, automaticamente conhecemos a função de ݔ. Por outro lado, vejamos o seguinte caso:

ݕ ଶ^ = 1 ݔ − ଶ

No entanto, o seguinte exemplo não é um exemplo de função, porque conhecer ݔ não nos dá certeza sobre o valor de ݕ. De fato, se ݔ = 0, por exemplo, temos ݕ ଶ^ = 1, o que significa que ݕ pode ser 1 ou − 1. Não temos como determinar o valor verdadeiro de ݕ e, por isso, não é correto dizer que ݕ é uma função de ݔ. Imagine que ݕ seja o lucro de uma fábrica e ݔ seja a quantidade produzida. Uma função ݕ = ݂ (ݔ) ajuda a responder várias perguntas de valor gerencial, por exemplo:  Qual é o lucro (ou prejuízo) se a fábrica não produzir nada?  Quanto a fábrica precisa produzir para começar a ter lucro?  Quais são os valores de lucro possíveis?  Quanto a fábrica deve produzir para ter o maior lucro possível?

Cada pergunta está relacionada a um conceito matemático. A relação entre esses conceitos e as perguntas está mostrada na tabela a seguir.

 Qual é o lucro (ou prejuízo) se a fábrica não produzir nada? intercepto

 Quanto a fábrica precisa produzir para começar a ter lucro? raiz

 Quais são os valores de lucro possíveis? domínio e imagem

 Quanto a fábrica deve produzir para ter o maior lucro possível? pontos extremos e vértices

Vamos estudar cada um desses conceitos.

Domínio e imagem

Domínio é o conjunto de todos os valores que ݔ pode assumir. Por sua vez, imagem é o conjunto de todos os valores que ݕ pode assumir. Uma fábrica não pode produzir uma quantidade negativa, então ൏ ݔ 0 está fora do domínio. Da mesma forma, se a nossa fábrica tem capacidade para produzir, no máximo, 1. unidades, então, ൐ ݔ 1.000 também está fora do domínio. Nesse exemplo, o domínio da função seria ሾ א ݔ0; 1000ሿ. A notação ሾ א ݔ0; 1000ሿ^ indica que qualquer valor entre 0 e 1000 são possíveis. Se produzir exatamente 1.000 não fosse possível, por exemplo, representaríamos ሾ א ݔ0; 1000), indicando que podemos ter uma produção muito próxima de 1.000, mas, ainda assim, não exatamente 1.000. Se a nossa fábrica não tivesse capacidade, o domínio seria qualquer número maior ou igual a zero. Poderíamos representar isso de várias formas, por exemplo:

O símbolo ∞ significa infinito. Ele sempre recebe um parêntesis para indicar que nunca conseguimos produzir exatamente infinitas peças. Nunca alcançamos o infinito. Agora, imagine que a nossa função lucro seja

݂^ (ݔ) = 2− ݔ 10

E que a nossa fábrica tenha capacidade de 1.000, de modo que o domínio dessa função é ሾ א ݔ0; 1.000ሿ. Se ݔ pode assumir qualquer valor entre 0 e 1000, então, ݂ (ݔ) pode assumir qualquer valor entre − 10 e 1 990. Ou seja, podemos ter qualquer lucro entre um prejuízo de 10 e um lucro de 1.990. Simbolicamente,

O conjunto desses valores possíveis para ݕ é a imagem da função. A maior parte das funções que você verá ao longo do curso tem um dos seguintes conjuntos como domínio e imagem:

notação significado

Թ qualquer número real

Թכ^ qualquer número real exceto o zero

Թା qualquer número real positivo ou o zero

Թି qualquer número real negativo ou o zero

Թାכ^ qualquer número real positivo (o zero não!)

Թିכ^ qualquer número real negativo (o zero não!)

Թାכ^ − ሼ 1 ሽ qualquer número real positivo (o zero não) exceto o 1

Por exemplo, o domínio da função

݂^ (ݔ) =

é Թ כ, porque ݔ pode ser qualquer número real, desde que não seja zero. Da mesma forma, ݂ (ݔ) pode assumir qualquer valor, exceto o zero. Desse modo, a imagem de ݂ (ݔ) também é Թ כ. Existe uma forma sucinta de dizer que o domínio de ݂ (ݔ) é Թ כ^ e sua imagem também é Թ כ:

݂ : Թ כ^ ՜ Թ כ

Nessa notação, podemos escrever para a função ݃ (ݔ) = (^) ݔ√ que

Com isso, dizemos que, na função ݃ (ݔ), ݔ pode assumir qualquer valor positivo (ou o zero) e que o resultado sempre será um valor positivo (ou o zero).

Não existe nenhum valor na função inteira que dê um lucro maior do que 100.000. Dizemos que esse valor é um ponto extremo e, no caso especifico da função de segundo grau, chamamos esse valor também de vértice. A existência de um valor máximo para o lucro tem implicações muito importantes para a prática. Se sabemos que uma produção de 200 nos leva ao maior lucro possível, vamos voltar todo o nosso planejamento produtivo para produzir 200 unidades. Se a nossa capacidade for inferior a 200 (por exemplo, 190), a nossa produção será a mais próxima possível de 200 (ou seja, 190) e a estratégia da fábrica envolverá uma expansão de capacidade para que atinja uma capacidade de 200. Por outro lado, se a capacidade for superior a 200 (por exemplo, 210), a fábrica trabalhará com capacidade ociosa e fábrica poderá considerar alugar essa capacidade ociosa para outra empresa (se for possível).

Funções compostas

Uma função composta é uma função de uma função. Considere, no nosso exemplo, como o imposto de renda pago pela fábrica depende da quantidade produzida. A quantidade produzida determina o lucro por meio de uma relação

O lucro auferido, por sua vez, determina o imposto a ser pago segundo a relação

Podemos calcular o imposto de renda a ser pago diretamente a partir da quantidade produzida. Obteremos com isso uma nova função, ℎ(ݔ). Note que

No entanto,

Isso significa que

4 =^

2 −^ 2,

Essa é uma nova função, ℎ(ݔ), que relaciona diretamente o imposto de renda à quantidade produzida. Sabendo-se a quatidade produzida, podemos calcular o imposto de renda diretamente, sem precisar calcular o lucro como passo intermediário. Para obter essa relação, pegamos ݃ (݋ݎܿݑܮ ) e substituimos ݋ݎܿݑܮ = ݂ (ݔ), obtendo ݃ ݂ሾ^ (ݔ)ሿ. Às vezes, essa função é representada por ݃ ݂∘ (ݔ).

Função inversa

Vamos continuar com o exemplo da fábrica que produz uma quantidade ݔ e obtém um lucro

Podemos perguntar qual será o lucro, caso a fábrica tenha uma produção de ݔ = 100. A resposta será ݂ (100) = 2 ⋅ 100 − 10 = 190. No entanto, suponha que a nossa pergunta fosse outra: sabendo-se que a fábrica teve um lucro de 190, quanto que a fábrica produziu? Estamos fazendo a pergunta inversa. Em vez de sabermos o valor do ݔ e querermos descobrir o valor de ݕ, agora, sabemos o valor de ݕ e queremos o valor de ݔ. Podemos descobrir o valor de ݔ por simples manipulação algébrica:

Fazendo ݕ = 190, obtemos

Exatamente o valor correto! Para descobrir esse valor, usamos a função

Funções pares se chamam assim porque a função ݂ (ݔ) = ݔ ଶ^ é uma função par: ela é idêntica à esquerda e à direita do eixo vertical. De fato,

(1)ଶ^ = (−1)ଶ

(2)ଶ^ = (−2)ଶ

(3)ଶ^ = (−3)ଶ

(4)ଶ^ = (−4)ଶ

(5)ଶ^ = (−5)ଶ

Isso vale para qualquer número! A função ݂ (ݔ) = ݔ ଶ^ não é a única função par. Todas as funções de expoente par também são funções pares:

݃^ (ݔ) = ݔ ସ

݆^ (ݔ) = ଼ݔ

Existem também funções ímpares. Funções ímpares são funções que mudam o sinal de um lado para o outro do lado vertical. Ou seja, se a função é positiva de um lado do eixo vertical, então, do outro lado, ela é igualzinha, mas negativa, e vice-versa. Em outras palavras, uma função é ímpar se

Funções ímpares se chamam funções ímpares porque a função ݂ (ݔ) = ݔ ଵ^ é ímpar.

(1)ଵ^ = −(−1)ଵ

(2)ଵ^ = −(−2)ଵ

(3)ଵ^ = −(−3)ଵ

(4)ଵ^ = −(−4)ଵ

(5)ଵ^ = −(−5)ଵ

Isso vale para qualquer número!

A função ݂ (ݔ) = ݔ ଵ^ não é a única função ímpar. Todas as funções de expoente ímpar também são funções ímpares:

Existem algumas funções que são pares, mas não parecem pares; assim como existem funções que são ímpares, mas não parecem ímpares. Por exemplo, a função ݂ (ݔ) = cos(ݔ) é par, porque cos(ݔ) = cos(ݔ−). Já a função ݃ (ݔ) = sen(ݔ), por exemplo, é ímpar, porque

sen(ݔ) = −sen(ݔ−). Aliás, a função ݂ (ݔ) = cos ቀ ଷ଻ ቁݔ é par, e a função ݃ (ݔ) = sin(8ݔ)^ é ímpar, pelos mesmos motivos. Finalmente, vale notar que algumas funções não são nem pares nem ímpares. Por exemplo, a função

Note que

݂^ (1) = 0 ݂^ (−1) = − 2

São números totalmente diferentes. Como consequência, ݂ (ݔ) = − ݔ 1 não é par nem ímpar. Outro exemplo é a função

Nesse caso, vemos que a função não é par nem ímpar porque, escolhendo-se ݔ = 1, por exemplo, temos

݃^ (−1) =

PROFESSOR-AUTOR

Felipe Buchbinder é doutor em Administração pela Fundação Getulio Vargas (FGV). É engenheiro do BNDES e professor da FGV, nos cursos de graduação e no MBA. Atualmente, trabalha com uso de Big Data e aprendizagem de máquina (machine learning) para avaliação de impactos de políticas públicas. Também possui experiência em gestão por processos e em análise de riscos junto ao BNDES, à Deloitte e a empresas como Petrobrás, Icatu Hartford e Ponto Frio. No mestrado, foi bolsista da CAPES e, na graduação, do Institut National des Sciences Appliquées (INSA) de Lyon (França). Seu doutorado versa sobre os determinantes do desempenho e da trajetória de crescimento de empresas.