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Dionísio Manuel Ernesto
Generalidades sobre Funções: Pares e Ímpares, Trigonométricas e suas Inversas, e
Hiperbólicas
Curso de Licenciatura em Engenharia Electrónica
Universidade Rovuma
Nampula
2020
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NO TRABALHO FALA-SE SOBRE FUNCOES PARES E IMPARES; ESTUDO COMPLETO DE FUNCOES TRIGONOMETRICAS, TRIGONOMETRICAS INVERSAS E HIPERBOLICAS.
Tipologia: Resumos
2020
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Dionísio Manuel Ernesto
Generalidades sobre Funções: Pares e Ímpares, Trigonométricas e suas Inversas, e Hiperbólicas
Curso de Licenciatura em Engenharia Electrónica
Universidade Rovuma Nampula 2020
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Dionísio Manuel Ernesto
Generalidades sobre Funções: Pares e Ímpares, Trigonométricas e suas Inversas, e Hiperbólicas
Universidade Rovuma Nampula 2020
Trabalho individual de carácter avaliativo da cadeira de Cálculo Infinitesimal, Curso de licenciatura em Engenharia Electrónica, 1º ano, UniRovuma- Delegação de Nampula, Departamento de Engenharias Tecnológicas, orientado pelo docente: MSc. Nassone Chitimelane Guambe
- Introdução Índice
- Funções pares e ímpares
- 1.1. Definição
- 1.2. Propriedades
- 1.3. Características destas funções
- Estudo completo das funções trigonométricas
- 2.1. Função Seno
- 2.2. Função Cosseno
- 2.3. Função Tangente: y = tg (x)
- 2.4. Função Cotangente
- 2.5. As Funções Cossecantes e Secantes
- 2.5.1. As Funções Cossecantes
- 2.5.2. Função secante................................................................................................................
- 2.6. Sinal das funções trigonométricas
- 2.7. Período das funções trigonométricas
- 2.8. Aplicação das funções trigonométricas
- Estudo completo das funções inversas
- 3.1. Função Arcosseno
- 3.2. Função Arcocosseno
- 3.3. Função Arcotangente
- 3.4. Função Arcocotangente
- 3.5. Função Arcosecante
- 3.6. Função Arcocossecante
- Estudo completo sobre funções hiperbólicas
- 4.1. Função Seno hiperbólico
- 4.2. Função Cosseno hiperbólico
- 4.3. Função Tangente hiperbólico iii
- 4.4. Função Cotangente hiperbólico
- 4.5. Função Secante hiperbólico
- 4.6. Função Cossecante hiperbólico
- Conclusão
- Bibliografia
Introdução Sabe-se que uma função é uma relação particular entre conjuntos, onde todo elemento dum conjunto (de partida) está associado através de f a um único elemento do outro conjunto (de chegada). Ora, dentro da matemática quase todas as operações possuem suas respectivas operações inversas, como por exemplo: Soma → subtracção; Multiplicação → divisão; Potenciação → radiciação; Exponencial → logarítmica. E, como veremos ao longo deste trabalho, não é diferente com as funções trigonométricas, na qual tem-se as suas respectivas funções inversas. Quanto a relevância, pode-se dizer que as funções trigonométricas estão presentes em várias situações do dia-a-dia. Por exemplo, em uma região litoral, é possível se observar a famosa maré que é um fenómeno que se repete em intervalos de tempos iguais. Esse é um exemplo de fenómeno periódico. Esses fenómenos podem ser descritos por uma função trigonométrica, assunto deste trabalho.
Portanto, o presente trabalho da cadeira de Cálculo Infinitesimal fala sobre funções, em particular: Funções pares e ímpares em termos de: Definição, propriedades e características destas funções. Funções trigonométricas, estudo completo de: Seno; Cosseno; Tangente; Cotangente; Secante e Cossecante. Funções inversas, estudo completo de: Arcosseno; Arcocosseno; Arcotangente; Arcocotangente; Arcosecante e Arcocossecante. Funções hiperbólicas, estudo completo de: Seno hiperbólico; Cosseno hiperbólico; Tangente hiperbólico; Cotangente hiperbólico; Secante hiperbólico e Cossecante hiperbólico.
O objectivo geral deste trabalho é fazer uma breve revisão sobre funções acima citadas. Assim, até ao final do trabalho, o leitor irá compreender os principais conceitos de função, seu domínio, imagem e contradomínio, crescimento e decrescimento, bem como identificar e caracterizar funções pares e ímpares. O conteúdo deste trabalho resulta da revisão bibliográfica de obras que versam sobre o tema em desenvolvimento, cujas obras estão devidamente listadas no texto e na última página deste trabalho. De modo a dar maior fiabilidade ao trabalho, decidiu-se estruturá-lo em capa, contracapa, um índice completo, esta introdução, corpo, conclusão e bibliografia.
Por outra, observa-se que: f(1) = 1^2 = 1 e f(-1) = (-1)^2 = 1 Ora, f (2) = 2^2 = 4 e f(-2) = (-2)^2 = 4
Portanto, f(x) = x^2 é par, pois para qualquer x ∈ D temos f(x) = x^2 e f(-x) = (-x)^2 = x^2 , ou seja, f(x) = f(-x).
1.2. Propriedades i. “A soma de duas funções de mesma paridade, mantém essa paridade; isto é, a soma de duas funções pares é uma função par e, a soma de duas funções ímpares é uma função ímpar. ii. O produto de duas funções de mesma paridade é uma função par; isto é, o produto de duas funções pares é uma função par e, o produto de duas funções ímpares é uma função par. Exemplo: Se tomarmos as funções ímpares f(x) = x e g(x)=x^3 , temos que: h(x) = f(x)⋅g(x) = x⋅x^3 ⇒ h(x) = x^4 Ou seja, o produto será uma função par. iii. O produto de duas funções com paridades distintas é uma função ímpar. iv. Uma propriedade que vale tanto para funções pares ou ímpares é que pode-se multiplicá-las (ou dividi-las) por um número e a paridade se manterá. v. Todavia, o produto de uma função par com uma função ímpar resulta em uma função ímpar.
x
y
vi. É evidente que existem funções que não são pares e nem ímpares (sem paridade). E a única função que é par e ímpar ao mesmo tempo é a função nula: f(x) = 0. vii. Somar ou subtrair um número a uma função par, ela se manterá par. Por exemplo, f(x) = x^8 é uma função par. Deste modo: g(x) = x^8 +3. O resultado também será uma função par, bem como: h(x) = x^8 – 5. Tal resultado, porém, não vale para funções ímpares. viii. Toda função pode ser escrita de forma única como sendo a soma de uma função par com uma função ímpar. Mais especificamente, 𝒇(𝒙) = 𝒇𝑷(𝒙) + 𝒇𝑰(𝒙) onde a parte par é 𝒇𝑷(𝒙) = 𝒇(𝒙)+𝒇(−𝒙)𝟐 e a parte ímpar é 𝒇𝑰(𝒙) = 𝒇(𝒙)−𝒇(−𝒙)𝟐 .” (GIOVANNI & BONJORNO, 2005). 1.3. Características destas funções Geometricamente, a função par é simétrica em relação ao eixo y,
Já, a função ímpar é simétrica em relação a origem do sistema de coordenadas.
Observações: Olhando o gráfico acima, nota-se que: A função seno é periódica, já que: sen (x + 2) = sen x em que o período da função é t = 2; O domínio da função é todo o conjunto R, e o contradomínio da função é [-1,1]; O valor máximo da função é 1 em x = /2 e o valor mínimo da função é -1 em x = 3 /2; A função é contínua em todo o seu domínio; É uma função crescente no intervalo [0,/2] e [3/2, 2], e decrescente no intervalo [/2, 3/2]; A função é ímpar, já que: sen (-x) = - sen x e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0).
O gráfico da função seno recebe o nome de senóide. A imagem representa apenas um período da função seno, pois como ela é periódica, essa representação irá se repetir durante todo o domínio.
2.2. Função Cosseno Seja x um número real e P sua imagem na circunferência trigonométrica. Dessa forma, a função cosseno é uma função definida como f:R ⟶R que associa cada número real x em seu cosseno, ou seja, f(x) = cos(x).
Diferente da função seno, a função cosseno associa a cada número real x o eixo das abcissas do ponto correspondente a sua imagem P.
Assim como na função seno, existe também uma alternância no sinal da função cosseno. No 1° e 4° quadrantes a função cosseno é positiva. Já no 2° e 3° quadrantes ela é negativa. Por fim, a função cosseno é uma função par, pois cos(-x) = cos(x). Seu período é o mesmo da função seno, ou seja, 2π.
Gráfico da função cosseno: y = cos(x)
O gráfico da função cosseno, representado na figura anterior, é conhecido como co-senóide. Ele é quase idêntico ao gráfico da função seno, tendo apenas a diferença de estar defasado em π/2. Observações: Olhando o gráfico acima, nota-se que: A função co-seno é periódica, pois: cos (x + 2 ) = cos x e o período da função é T = 2 ; O domínio é todo o conjunto dos números reais R , e o contradomínio da função é [-1,1]; O valor máximo da função é 1 em x = 0 ou x = 2 e o valor mínimo da função é - em x = ; A função é contínua em todo o seu domínio; É uma função crescente no intervalo [ ,2 ] e decrescente no intervalo [0, ]; A função é par, já que: cos x = cos (-x) e o gráfico é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.
2.3. Função Tangente: y = tg (x) A função tangente é definida como sendo uma função f tal que f: {x ∈ R│x ≠ π/2 + kπ; K ∈ Z} ⟶R, ou seja, temos que f(x) = tan(x).
Portanto, o domínio dessa função são todos os números reais, excepto os que anulam o cosseno pois não existe cos x = 0. Imagem de f(x) = tg x; Im (tg x) = IR.
Podemos observar que existe uma certa limitação para o domínio da função tangente, ou seja, ela não é definida para certos valores de x.
Sinal da função: Como a função cotangente é a inversa da função tangente, então os sinais da função cotangente é a razão entre o cosseno e o seno. Gráfico duma função cotangente: y = cotg (x)
Observações: Olhando o gráfico acima, nota-se que: Portanto, o domínio dessa função são todos os números reais, excepto os que anulam o cosseno pois não existe cos x = 0; ou seja: O domínio da função é R/ {k, k Z }, e o contradomínio da função é todo o conjunto I R ; Esta função não tem quaisquer extremos; A função é contínua em todo o seu domínio; É uma função decrescente em todos os pontos do domínio; A função é ímpar, pois: cotg (-x) = - cotg x e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0).
^
^
x
y
2.5. As Funções Cossecantes e Secantes A partir das ideias já conhecidas de seno, cosseno e tangente de x, definem-se cossecante, secante e cotangente de x, assim: cossec x = 1/ sen x, para sen x ≠ 0 sec x = 1 / cos x, para cos x ≠ 0
2.5.1. As Funções Cossecantes Definição: Denomina-se função cossecante a função definida por f(x) = cossec x ou f(x) = 1/sen x, para todo x IR tal que sen x ≠ 0. Sinal da função: Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmos da função seno. Gráfico f(x) = cossec x
Observações: Olhando o gráfico acima, nota-se que: A função co-secante é periódica, já que: cosec (x + 2) = cosec x em que o período da função é t = 2;
^
^
x
y
A função secante é periódica, já que: sec (x + 2 ) = sec x em que o período da função é t = 2; O domínio da função é o conjunto R/{/2 - k, k Z} , e o contradomínio da função é R/ [-1,1]; A função tem um máximo local em x = e um mínimo local em x = 0; A função é contínua em todo o seu domínio; É uma função crescente onde a função cos x é decrescente e é decrescente onde a função cosx é crescente; A função é par, pois: sec x = sec (-x) e o gráfico é simétrico em relação à origem (0,0). Exemplo: Sabemos que sen π / 6 = 1 / 2, cos π / 6 = √3 / 2 e tg π / 6 = √3 / 3. Podemos então calcular: Cossec (π / 6) = 1 / ½= 2 / 1 = 2 Sec (π / 6) = 1 / (^) √3/2 = 2 / (^) √3= 2√3 / 3
Cotg (π/6) = (^) √3 / 2 / ½ = 2√3 / 2 = (^) √3 ou cotg (π / 6) = 1 / (^) √3 / 3 = 3 / (^) √3 = 3√3 / 3 = (^) √
2.6. Sinal das funções trigonométricas O sinal das funções trigonométricas é determinado com auxílio da análise do círculo trigonométrico. O eixo y é chamado de eixo das ordenadas e também conhecido como seno, a função seno é positiva no 1º e 2º quadrantes e negativa no 3º e 4º quadrantes. O eixo x é chamado eixo da abscissas, também chamado de cosseno, a função cosseno é positiva no 1º e 4º quadrantes e negativa no 2º e 3º quadrantes. O sinal das restantes razões/funções (tangente e cotangente) é dado recorrendo a definição das
mesmas (𝑡𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos(𝑥) e 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) = cos(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)), ou seja, através da conjugação de sinais,
conforme mostra o quadro a seguir. Função Quadrante Io^ IIo^ IIIo^ IVo Seno + + − − Cosseno (^) + − − + Tangente + − + − Cotangente + − + −
2.7. Período das funções trigonométricas No caso de funções seno e cosseno, obtem-se o período da função f(x) = a + b. sen (cx - d) ou da função f(x) = a + b. cos (cx – d), em que a, b, c e d são números reais, com b ± 0 e c ≠ 0, fazendo a medida (cx - d) assumir todo os valores reais associados a uma volta completa da circunferência trigonométrica.
Para isso adopta-se a fórmula 𝒑 = 𝟐𝝅|𝒄|. No caso de funções tangente e cotangente : 𝒑 = (^) |𝒄|𝝅.
Exemplos: Determinar o período das funções. a) y = 3 sen 2x Resolução P = 2π / │2│= π b) y = 2 + 6cos (-4x) Resolução P = 2π / │-4│= 2π / 4 = π/
2.8. Aplicação das funções trigonométricas As funções trigonométricas são importantes para o estudo de fenómenos periódicos físicos e sociais, entre eles temos a claridade exercida pelo Sol em uma cidade ao longo do ano, a variação da temperatura em uma determinada localidade da Terra, o fenómeno dos marés, a frequência cardíaca e outros. (BIDEL, 2011).
3. Estudo completo das funções inversas Segundo Xavier e Barreto (2005) as funções trigonométricas inversas são também conhecidas como funções arco. Assim, elas, simbolicamente, podem ser escritas de duas formas, por exemplo: 𝑠𝑒𝑛−1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑐𝑜𝑠−1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑡𝑔−1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) 𝑐𝑜𝑡𝑔−1(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)
Nota: 𝑠𝑒𝑛−1(𝑥) ≠ (^) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)^1. Análogo para todas as funções trigonométricas.
a) Gráfico das Funções Trigonométricas Inversas
Ou seja:
𝐷𝑓 = [−1, 1]^ e 𝐷′𝑓 = [− 𝜋 2 ; 𝜋 2 ]. A função é crescente em todo seu domínio. A mesma é negativa em 𝑥 ∈ [−1, 0[; é nula em 𝑥 = 0 e é positiva em 𝑥 ∈]0, 1]. O gráfico da função é simétrico em relação a origem, ou seja, a função é ímpar.
3.2. Função Arcocosseno A função arcocosseno é definida da seguinte forma: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠−1(𝑥).
y = arccos x x = cos y e 0 ≤ y ≤
Observação: arccos x = 𝜋 2 − 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥
O gráfico dessa função é:
Ou seja: 𝐷𝑓 = [−1, 1]^ e 𝐷′𝑓 = [0; 𝜋]. A função é decrescente em todo seu domínio. A mesma é positiva em todo o seu domínio; é nula em 𝑥 = 1.
x
y
3.3. Função Arcotangente A função arcotangente é definida da seguinte forma: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) = 𝑡𝑔−1(𝑥).
y = arctg x x = tg y e − 𝝅 𝟐 ≤ y ≤ 𝝅 𝟐
O gráfico dessa função é:
Ou seja:
𝐷𝑓 = 𝐼𝑅 e 𝐷′𝑓 =] − 𝜋 2 ; 𝜋 2 [. A função é crescente em todo seu domínio. A mesma é negativa em 𝑥 ∈ [−∞, 0[; é nula em 𝑥 = 0 e é positiva em 𝑥 ∈]0, +∞[. O gráfico da função é simétrico em relação a origem, ou seja, a função é ímpar.
3.4. Função Arcocotangente A função arcocotangente é definida da seguinte forma: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔−1(𝑥)
y = arccotg x x = cotg y e 0 ≤ y ≤
Observação: arccotg x = 𝜋 2 − arctg x
O gráfico dessa função é:
x
y