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CÔNICAS
Historicamente, a parábola, a elipse e a hipérbole foram descobertas como curvas planas obtidas cortando-se um cone circular reto(variando a posição do plano de corte). Por isso, são conhecidas pelo nome de cônicas.
PARÁBOLA
Denominamos parábola ao lugar geométrico dos pontos de um plano que são eqüidistantes de uma reta dada d e de um ponto dado F , F ∉ d, do plano.
O ponto F chama-se foco e a reta d chama-se diretriz da parábola. A distância entre F e d , que vamos representar por 2p , chama-se parâmetro da parábola. O ponto V da parábola, tal que dVF = p, é o vértice e a reta VF é denominada eixo da parábola (é o eixo de simetria). A propriedade característica dos pontos P da curva é:
dP, d = dPF
Equação da parábola
Vamos obter a equação da parábola de foco F(x 0 , y 0 + p) e diretriz (d)y – (y 0 – p) = 0. Observe que o vértice é V(x 0 , y 0 ) e a parábola tem “concavidade para cima”. Apliquemos a P(x, y) a propriedade dos pontos da parábola:
dP, d = dPF
y - (y 0 - p) 02 + 1^2
= (x – x 0 )^2 + (y – (y 0 + p))^2
( y – y^0 + p^ )
2 = ( (x – x )
(^2) + (y – y 0 – p) 2 2
(y – y 0 + p)^2 = (x – x 0 )^2 + (y – y 0 – p)^2
(y - y 0 )^2 + 2p(y – y 0 ) + p^2 = x^2 – 2x 0 x + x 02 + (y – y 0 )^2 – 2p(y – y 0 ) + p^2
4py – 4py 0 = x^2 – 2x 0 x + x 02
que podemos colocar na forma:
y =
4p x2 +^
-x 0 2p x +^
x 0 (^2) + 4py 0 4p
ou ainda
y = ax^2 + bx + c
onde a =
4p (portanto a > 0), b =
-x 0 2p e c =
x 02 + 4py 0 4p
Observações:
- Quando a parábola tem “concavidade para baixo” também obtemos equação da forma y = ax2 + bx + c, mas com a < 0.
Exemplo:
Obter a equação da parábola de foco F(2, 3) e diretriz (d) y – 1 = 0. Apliquemos a P(x, y) a propriedade dos pontos da parábola:
dP, d = dPF
y – 1 02 + 1^2
= (x – 2)^2 + (y – 3)^2
( y – 1^ )
2 = ( (x – 2) 2 + (y – 3) 2 ) 2
y2 – 2y + 1 = x^2 – 4x + 4 + y^2 – 6y + 9
4y = x^2 – 4x + 12
A equação é y =
4 x
(^2) – x + 3 (a =^1 4 , b = –1 e c = 3).
ELIPSE
Denominamos elipse ao lugar geométrico dos pontos de um plano para os quais a soma das distâncias a dois pontos dados, F 1 e F 2 , do plano, é igual a uma constante 2a , maior que a distância F 1 F 2.
Os pontos F 1 e F 2 chamam-se focos e a distância entre eles, que vamos representar por 2c , é a distância focal da elipse.
dF1F2 = 2c (distância focal)
O ponto médio O do segmento F 1 F 2 é o centro.
A reta F 1 F 2 é um eixo de simetria da curva. Ela intecepta a elipse nos pontos A 1 e A 2 tais que a distância entre eles é 2a. O seguimento A 1 A 2 é chamado eixo maior da elipse.
dA1A2 = 2a (eixo maior)
A reta perpendicular F 1 F 2 , pelo centro O, é outro eixo de simetria da curva. Ela intercepta a elipse nos pontos B 1 e B 2. O segmento B 1 B 2 é chamado eixo menor da elipse e vamos representar sua medida por 2b.
dB1B2 = 2b (eixo menor)
Do triângulo retângulo OF 2 B 2 decorre que:
a^2 = b^2 + c^2
Chamamos excentricidade da elipse ao número e, razão entre a distância focal e o eixo maior. Decorre que:
e =
c a
b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2
e dividindo por (a^2 b^2 ) fica
x^2 a^2 +
y^2 b^2 = 1
que é a chamada equação reduzida da elipse.
Observações
Para y = 0, na equação acima, obtemos x^2 = a^2 ; logo x = ±a, que são as abscissas dos pontos onde a curva corta o eixo x. Para x = 0 obtemos y^2 = b^2 ; logo, y = ±b, que são as ordenadas dos pontos de intersecção com o eixo y.
No caso da elipse de centro O(0, 0) e os focos no eixo y obtemos a equação
x^2 b^2 +
y^2 a^2 = 1
- Quando a elipse tem o centro fora da origem do sistema cartesiano ou os eixos de simetria não paralelos aos eixos coordenados, a equação é “mais complicada”, porém é ainda uma equação do 2º. Grau nas variáveis x e y, que se enquadra na forma geral Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0.
A elipse é a curva que se obtem seccionando-se um cone com um plano que corta o seu eixo.
Figura: Elipse obtida seccionando-se um cone com um plano
Exemplo
Obter a equação da elipse de focos F 1 (–3, 0) e F 2 (3, 0) e eixo maior 2a = 10.
Observemos que os focos estão no eixo x; o centro, que é o ponto médio de F 1 F 2 , é a origem O(0, 0). Então, a equação é
x^2 a^2 +
y^2 b^2 = 1
Temos a = 5 e c =
dF1F 2 = 3
Da relação a^2 = b^2 + c^2 vem b^2 = a^2 – c^2 = 5^2 – 3^2 = 16
Logo, a equação é
x^2 25 +
y^2 16 = 1 , ou ainda, 16x
(^2) + 25y (^2) = 400
b, dizemos que a hipérbole é equilátera. Uma hipérbole equilátera tem excentricidade e =
Equação da hipérbole
Vamos obter a equação da hipérbole de centro na origem do sistema cartesiano, O(0, 0), e os focos situados no eixo das abscissas. Notemos que:
F 1 = (–c, 0) e F2 = (c, 0) A 1 = (–a, 0) e A2 = (a, 0)
Apliquemos a P(x, y) a propriedade dos pontos da hipérbole:
dPF1 - dPF2 = 2a
(x + c)^2 + y^2 – (x – c)^2 + y^2 = ±2a
( (x + c)^2 + y^2 )^2 = (±2a + (x – c)^2 + y^2 )^2
x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 ± 4a (x – c)^2 + y^2 + x^2 – 2cx + c^2 + y^2
±4a (x – c)^2 + y^2 = 4a^2 – 4cx
(±a (x – c)^2 + y^2 )^2 = (a^2 – cx)^2
a^2 x^2 – 2a^2 cx + a^2 c^2 + a^2 y^2 = a^4 – 2a^2 cx + c^2 x^2
(a^2 – c^2 )x^2 + a^2 y^2 = a^4 – a^2 c^2
(a^2 – c^2 )x^2 + a^2 y^2 = a^2 (a^2 – c^2 )
Como a^2 – c^2 = –b^2 , vem que –b^2 x^2 + a^2 y^2 = –a^2 b^2
e dividindo por (–a^2 b^2 ) fica
