Baixe Equações de cônicas no plano: redução e classificação e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
x^2 a^2 +^
y^2 –b^2 = 1
que é a chamada equação reduzida da hipérbole.
Observações
Para y = 0, na equação acima, obtemos x^2 = a^2 ; logo, x = ±a, que são abscissas dos pontos de intersecção da hipérbole com o eixo x. Não existe ponto de intersecção com o eixo y.
No caso da hipérbole de centro O(0, 0) e focos no eixo y obtemos a equação
x^2 –b^2 +
y^2 a^2 = 1
- Quando a hipérbole tem o centro fora da origem ou os eixos de simetria não paralelos aos eixos coordenados, a equação é “mais complicada”, mas é ainda uma equação do 2o^ grau que se enquadra na forma geral Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0.
A hipérbole é a curva que se obtem seccionando-se um cone por um plano paralelo ao seu eixo.
Figura: Hipérbole obtida seccionando-se um cone com um plano
Exemplo:
Obter a equação da hipérbole de focos F 1 (–4, 0) e F 2 (4, 0) e eixo real 2a = 4.
Notemos que os focos estão no eixo x e o centro, que é o ponto médio de F 1 F 2 , é O(0, 0). Então, a equação é
x^2 a^2 +^
y^2 –b^2 = 1
Temos a = 2 e c =
dF1F 2 = 4
Da relação c^2 = a^2 + b^2 vem que b^2 = c^2 – a^2 = 4^2 – 2^2 = 12
A equação é
x^2 4 +^
y^2 –12 = 1 , portanto,
x^2 4 –
y^2 12 = 1 , ou ainda, 3x
(^2) – y (^2) = 12
x^2 a^2 –
y^2 b^2 = 1
A =
a^2 , C = –
b^2 ; a > 0 , b > 0 B = D = E = 0 F = –
Parábola
y^2 – Dx = 0 D ≠ 0
Temos ainda os casos chamados degenerados
Par de retas concorrentes (hipérbole degenerada)
x^2 a^2 –
y^2 b^2 = 0^ ⇒^ y =^ ±^
b a x a > 0 b > 0
Par de retas paralelas (parábola degenerada)
ax^2 – b = 0 a > 0 b > 0
Uma reta (parábola degenerada)
x^2 = 0
Um ponto (elipse degenerada)
ax^2 + by^2 + r^2 = 0 a > 0 b > 0 (r ≠ 0)
Vazio (elipse ou parábola degenerada)
ax^2 + by^2 + r^2 = 0 a > 0 b > 0 (r ≠ 0)
As equações das cônicas aquí representadas estão na “ forma reduzida ”, isto é, B = 0, se A ≠ 0, D = 0 e se C ≠ 0, E = 0. Veremos a seguir, através de uma mudança de referencial conveniente, que toda cônica toma uma das formas colocadas acima. As cônicas aquí, estão definidas algébricamente.
Exemplo 1:
2x^2 – 5y^2 –7 = 0
2x^2 – 5y^2 = 7
2x^2 7 –
5y^2 7 = 1
x^2 7 2
y^2 7 5
Para λ1 = 0, (^) ^
x y =^
0 , e v^1 =^
–^1
Para λ2 = 4, (^) ^
x y =^
4x 4y , donde v^2 =^
Sabemos que nesta nova base de autovetores β = {v 1 , v 2 }, a forma quadrática
Q(v) = [x y] (^) ^
x y onde [v]α^ =^
x y
se reduz a
Q(v) = [x 1 y 1 ] (^) ^
x (^1) y 1 se [v]β^ =^
x1 y
3º. Passo : Agora precisamos determinar a relação que existe entre (^) ^
x y e^
x1 y1 e substituir o resultado na parte linear da equação dada.
L(v) = [4 2 12 2 ] (^) ^
x y
Mas, (^) ^
x y = [ I ]
autovetores canônica
x (^1) y 1
Logo (^) ^
x y =
x (^1) y 1
4º. Passo : A equação original se reduz a
[x 1 y 1 ] (^) ^
x (^1) y 1 + [4^ 2 12^ 2 ]
x (^1) y 1 – 8 = 0
0x 12 + 4y 12 + 4 2
x 1 +
y 1 + 12 2
x 1 +
y 1 – 8 = 0
4y 12 – 4x 1 + 4y 1 + 12x 1 + 12y 1 – 8 = 0
4y 12 + 8x 1 + 16y 1 – 8 = 0
y 12 + 2x 1 + 4y 1 – 2 = 0
Esta última equação representa a cônica em relação ao novo referencial formado pelas retas suporte de v 1 e v 2 , como mostra a figura.
Vamos ainda introduzir uma nova mudança de coordenadas para identificar a cônica. Ela será dada por uma translação do referencial acima.
5º. Passo : Para “eliminar” os termos lineares onde isto é possível (λ ≠ 0), agrupamos os termos de y 12 + 2x 1 + 4y 1 –2 = 0 convenientemente.
(y 12 + 4y 1 + 4) – 4 + 2x 1 – 2 = 0 (y 1 + 2)^2 + 2(x1 – 3) = 0
Tornando x 2 = x 1 – 3 e y 2 = y 1 + 2, obtemos y 22 + 2x 2 – 6 = 0 ou finalmente
x 2 = –
2 y^2
2
Assim, a equação acima representa a cônica em realçaão a um novo referencial R 3 , obtido por translação e podemos finalmente identificá-la como sendo uma parábola , conforme indica a Figura abaixo. A origem deste último referencial R 3 será x 2 = 0 e y 2 = 0, isto é, x 1 – 3 = 0 e y 1 + 2 = 0.
[x 1 y 1 ]
λ 1 0 0 λ 2
x1 y1 + [D^ E] [ I ]
autovetores canônica
x1 y1 + F = 0
ou seja, λ 1 x 12 + λ 2 y 12 + ax 1 + by 1 + F = 0
5º. Passo : Eliminamos os termos lineares das coordenadas cujos autovalores são não nulos. Temos então três casos:
i) λ 1 e λ 2 ≠ 0
λ 1 x 12 + ax 1 + λ 2 y 12 + by 1 + F = 0
λ 1
x 1 +^
a 2 λ 1
2
a 2 4 λ 1
y 1 +^
b 2 λ 2
2
b 2 4 λ 2
+ F = 0
Seja x 2 = x 1 +
a 2 λ 1 e y 2 = y 1 +
b 2 λ 2 , temos então λ 1 x 22 + λ 2 x 22 + f = 0 (que é uma das equações típicas) onde
f = F –
a^2 4 λ 1 –
b^2 4 λ 2
ii) λ 1 ≠ 0 e λ 1 = 0
λ 1 x 12 + ax 1 + by 1 + F = 0
λ 1
x 1 +^
a 2 λ 1
2
a^2 4 λ 1
Tornando x 2 = x 1 +
a 2 λ 1 e y^2 = y^1 , temos λ 1 x 22 + by 2 + f = 0
(que é uma das equações típicas) onde
f = F –
a 4 λ 1
iii) λ1 = 0 e λ 2 ≠ 0 (similar ao anterior) Como vimos, este procedimento permite-nos, através de uma mudança de referencial, colocar qualquer cônica na forma de uma das equações típicas. Neste processo classificamos a cônica, damos suas dimensões e posições no plano.
