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CÔNICAS
Historicamente, a parábola, a elipse e a hipérbole foram descobertas como curvas planas obtidas cortando-se um cone circular reto(variando a posição do plano de corte). Por isso, são conhecidas pelo nome de cônicas. PARÁBOLA Denominamos parábola ao lugar geométrico dos pontos de um plano que são eqüidistantes de uma reta dada d e de um ponto dado F , F Ï d, do plano. O ponto F chama-se foco e a reta d chama-se diretriz da parábola. A distância entre F e d , que vamos representar por 2p , chama-se parâmetro da parábola. O ponto V da parábola, tal que dVF = p, é o vértice e a reta VF é denominada eixo da parábola (é o eixo de simetria). A propriedade característica dos pontos P da curva é: dP, d = dPF Equação da parábola Vamos obter a equação da parábola de foco F(x 0 , y 0 + p) e diretriz (d)y – (y 0 – p) = 0. Observe que o vértice é V(x 0 , y 0 ) e a parábola tem “concavidade para cima”. Apliquemos a P(x, y) a propriedade dos pontos da parábola: dP, d = dPF y - (y 0 - p) 02 + 1 2 = (x – x 0 ) 2 + (y – (y 0 + p)) 2
èæ øö y – y 0 + p 2 = ( ) (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 – p)2 2
(y – y 0 + p) 2 = (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 – p) 2 (y - y 0 ) 2 + 2p(y – y 0 ) + p 2 = x 2 – 2x 0 x + x 0 2 + (y – y 0 ) 2 – 2p(y – y 0 ) + p 2 4py – 4py 0 = x 2 – 2x 0 x + x 0 2 que podemos colocar na forma: y = èçæ ø÷ö 1 4p x2 + èçæ ø÷ö -x 0 2p x + èçæ ø÷ö x 0 2 + 4py 0 4p ou ainda y = ax 2 + bx + c onde a = 1 4p (portanto a > 0), b = -x 0 2p e c = x 0 2 + 4py 0 4p Observações:
- Quando a parábola tem “concavidade para baixo” também obtemos equação da forma y = ax2 + bx + c, mas com a < 0.
- Toda equação da forma y = ax2 + bx + c, com a ¹ 0, tem como gráfico uma parábola de concavidade para cima (se a > 0) ou para baixo (se a < 0). As coordenadas do vértice são dadas por xV = -b 2a e yV = -b 2 + 4ac 4a.
- No caso de uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo x, obtemos uma equação da forma x = ay 2 + by + c com a ¹ 0. Neste caso, as coordenadas do vértice são yV = -b 2a e xV = -b 2 + 4ac 4a.
- Para obter a equação de uma parábola da qual conhecemos o foco F e a diretriz d empregamos o método dos lugares geométricos: aplicamos a um ponto genérico P(x, y) a propriedade dos pontos da parábola (dP, d = dPF).
- Quando o eixo da parábola não é paralelo a nenhum dos eixos coordenados, a equação é “mais complicada”, mas também se enquadra na forma geral da equação do 2.º grau a duas incógnitas: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0. A parábola é a curva que se obtem seccionando-se um cone por um plano paralelo a uma reta geratriz do cone. Figura: Parábola obtida seccionando-se um cone com um plano Exemplo: Obter a equação da parábola de foco F(2, 3) e diretriz (d) y – 1 = 0. Apliquemos a P(x, y) a propriedade dos pontos da parábola: dP, d = dPF y – 1 02 + 1 2 = (x – 2) 2 + (y – 3) 2
èæ øö y – 1 2 = ( ) (x – 2) 2 + (y – 3)2 2
y2 – 2y + 1 = x 2 – 4x + 4 + y 2 – 6y + 9 4y = x 2 – 4x + 12 A equação é y = 1 4 x 2 – x + 3 (a = 1 4 , b = – 1 e c = 3). ELIPSE Denominamos elipse ao lugar geométrico dos pontos de um plano para os quais a soma das distâncias a dois pontos dados, F 1 e F 2 , do plano, é igual a uma constante 2a , maior que a distância F 1 F 2. Os pontos F 1 e F 2 chamam-se focos e a distância entre eles, que vamos representar por 2c , é a distância focal da elipse. dF1F2 = 2c (distância focal) O ponto médio O do segmento F 1 F 2 é o centro.
x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1
- Quando a elipse tem o centro fora da origem do sistema cartesiano ou os eixos de simetria não paralelos aos eixos coordenados, a equação é “mais complicada”, porém é ainda uma equação do 2º. Grau nas variáveis x e y, que se enquadra na forma geral Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0. A elipse é a curva que se obtem seccionando-se um cone com um plano que corta o seu eixo. Figura: Elipse obtida seccionando-se um cone com um plano Exemplo Obter a equação da elipse de focos F 1 (–3, 0) e F 2 (3, 0) e eixo maior 2a = 10. Observemos que os focos estão no eixo x; o centro, que é o ponto médio de F 1 F 2 , é a origem O(0, 0). Então, a equação é x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 Temos a = 5 e c = dF1F 2 = 3 Da relação a 2 = b 2 + c 2 vem b 2 = a 2 – c 2 = 5 2 – 32 = 16 Logo, a equação é x 2 25 + y 2 16 = 1 , ou ainda, 16x 2 + 25y 2 = 400 HIPÉRBOLE Denominamos hipérbole ao lugar geométrico dos pontos de uma plano pra os quais a diferença das distâncias a dois pontos dados, F 1 e F 2 , do plano é em valor absoluto igual a uma constante 2a , menor que a distância F 1 F 2. Os pontos F 1 e F 2 chamam-se focos e dF1F2 = 2c é a distância focal. O ponto médio O do segmento F 1 F 2 é o centro. A reta F 1 F 2 é um eixo de simetria da curva. Ela intercepta a hipérbole nos pontos A 1 e A 2. O segmento A 1 A 2 é chamado eixo real (ou eixo transverso) e sua medida é dA1A2 = 2a. A reta perpendicular a F 1 F 2 pelo centro O é outro eixo de simetria da hipérbole. Nela indicamos os pontos B 1 e B 2 que distam c unidades dos pontos A 1 e A 2. O segmento B 1 B 2 é chamado eixo conjugado (ou eixo imaginário ) e indicamos sua medida por 2b. Do triângulo retângulo indicado na figura decorre que: c 2 = a 2 + b 2 A excentricidade é o número e definido por: e = c a A propriedade característica dos pontos P da curva é:
dPF1 - dPF2 = 2a Na figura indicamos também um retângulo de centro 0, um lado de medida 2a paralelo ao eixo real e outro lado da medida 2b. As retas que contêm as diagonais desse retângulosão as assíntotas da hipérbole. (Quando prolongamos a curva, ela se aproxima cada vez mais das assíntotas, sem nelas tocar). Quando este retângulo tem os lados iguais, isto é, quando a = b, dizemos que a hipérbole é equilátera. Uma hipérbole equilátera tem excentricidade e =
Equação da hipérbole Vamos obter a equação da hipérbole de centro na origem do sistema cartesiano, O(0, 0), e os focos situados no eixo das abscissas. Notemos que: F 1 = (–c, 0) e F2 = (c, 0) A 1 = (–a, 0) e A2 = (a, 0) Apliquemos a P(x, y) a propriedade dos pontos da hipérbole: dPF1 - dPF2 = 2a (x + c) 2 + y 2 – (x – c) 2 + y 2 = ±2a
( ) (x + c) 2 + y2 2 = (±2a + (x – c) 2 + y 2 ) 2
x 2 + 2cx + c 2 + y 2 = 4a 2 ± 4a (x – c) 2 + y 2 + x 2 – 2cx + c 2 + y 2 ±4a (x – c) 2 + y 2 = 4a 2 – 4cx (±a (x – c) 2 + y 2 ) 2 = (a 2 – cx) 2 a 2 x 2 – 2a 2 cx + a 2 c 2 + a 2 y 2 = a 4 – 2a 2 cx + c 2 x 2 (a 2 – c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 4 – a 2 c 2 (a 2 – c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 – c 2 ) Como a 2 – c 2 = – b 2 , vem que – b 2 x 2 + a 2 y 2 = – a 2 b 2 e dividindo por (–a 2 b 2 ) fica x 2 a 2 + y 2 – b 2 = 1 que é a chamada equação reduzida da hipérbole. Observações
- Para y = 0, na equação acima, obtemos x 2 = a 2 ; logo, x = ±a, que são abscissas dos pontos de intersecção da hipérbole com o eixo x. Não existe ponto de intersecção com o eixo y.
- No caso da hipérbole de centro O(0, 0) e focos no eixo y obtemos a equação x 2 – b 2 + y 2 a 2 = 1
- Quando a hipérbole tem o centro fora da origem ou os eixos de simetria não paralelos aos eixos coordenados, a equação é “mais complicada”, mas é ainda uma equação do 2o grau que se enquadra na forma geral Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0. A hipérbole é a curva que se obtem seccionando-se um cone por um plano paralelo ao seu eixo. Figura: Hipérbole obtida seccionando-se um cone com um plano Exemplo: Obter a equação da hipérbole de focos F 1 (–4, 0) e F 2 (4, 0) e eixo real 2a = 4.
A =
a 2 , C = – 1 b 2 ; a > 0 , b > 0 B = D = E = 0 F = – 1 Parábola y 2 – Dx = 0 D ¹ 0 Temos ainda os casos chamados degenerados Par de retas concorrentes (hipérbole degenerada) x 2 a 2 – y 2 b 2 = 0 Þ y = ± b a x a > 0 b > 0 Par de retas paralelas (parábola degenerada) ax 2 – b = 0 a > 0 b > 0 Uma reta (parábola degenerada) x 2 = 0 Um ponto (elipse degenerada) ax 2 + by 2 + r 2 = 0 a > 0 b > 0 (r ¹ 0) Vazio (elipse ou parábola degenerada) ax 2 + by 2 + r 2 = 0 a > 0 b > 0 (r ¹ 0) As equações das cônicas aquí representadas estão na “ forma reduzida ”, isto é, B = 0, se A ¹ 0, D = 0 e se C ¹ 0, E = 0. Veremos a seguir, através de uma mudança de referencial conveniente, que toda cônica toma uma das formas colocadas acima. As cônicas aquí, estão definidas algébricamente. Exemplo 1: 2x 2 – 5y 2 – 7 = 0 2x 2 – 5y 2 = 7 2x 2 7 – 5y 2 7 = 1 x 2 7 2
