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CÔNICAS
Historicamente, a parábola, a elipse e a hipérbole foram descobertas como curvas planasobtidas cortando-se um cone circular reto(variando a posição do plano de corte). Por isso, são conhecidas pelo nome de cônicas.
PARÁBOLA Denominamos parábola ao lugar geométrico dos pontos de um plano que são eqüidistantes de uma reta dada d e de um ponto dado F , F d, do plano.
O pontoque vamos representar por F chama-se foco e a reta 2p , chama-se parâmetro da parábola. d chama-se diretriz da parábola. A distância entre F e d , O ponto V da parábola, tal que dVF = p, é o vértice e a reta VF é denominada eixo da parábola (é o eixo de simetria).A propriedade característica dos pontos P da curva é:
Equação da parábola Vamos obter a equação da parábola de foco F(x0, y0 + p) e diretriz (d)y – (y0 – p) = 0. Observe que o vértice é V(x0, y0) e a parábola tem “concavidade para cima”. Apliquemos a P(x, y) a propriedade dos pontos da parábola:
dP, d = dPF
=
(y – y0 + p)2 = (x – x0)2 + (y – y0 – p)
(y - y0)2 + 2p(y – y0) + p2 = x2 – 2x0x + x02 + (y – y0)2 – 2p(y – y0) + p
4py – 4py0 = x2 – 2x0x + x0^2 que podemos colocar na forma: y = x2 + x + ou ainda
onde a = (portanto a > 0), b = e c = Observações:
- Quando a parábola tem “concavidade para baixo” também obtemos equação daforma y = ax2 + bx + c, mas com a < 0.
- Toda equação da forma y = ax2 + bx + c, com aparábola de concavidade para cima (se a > 0) ou para baixo (se a < 0). As 0, tem como gráfico uma coordenadas do vértice são dadas por xV = e yV =.
Obter a equação da parábola de foco F(2, 3) e diretriz (d) y – 1 = 0.Apliquemos a P(x, y) a propriedade dos pontos da parábola:
dP, d = dPF
=
y2 – 2y + 1 = x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 4y = x2 – 4x + 12 A equação é y = x2 – x + 3 (a = , b = –1 e c = 3).
ELIPSE Denominamosdistâncias a dois pontos dados, elipse ao lugar geométrico dos pontos de um plano para os quais a soma das F1 e F2 , do plano, é igual a uma constante 2a , maior que a distância F1F.
Os pontos F1 e F2 chamam-se focos e a distância entre eles, que vamos representar por 2c , é a distância focal da elipse.
dF1F2 = 2c (distância focal) O ponto médio O do segmento F1F2 é o centro. A reta F1F2 é um eixo de simetria da curva. Ela intecepta a elipse nos pontos A1 e A2 tais que a distância entre eles é 2a. O seguimento A1A2 é chamado eixo maior da elipse. dA1A2 = 2a (eixo maior) A reta perpendicular F1F2, pelo centro O, é outro eixo de simetria da curva. Ela intercepta a elipse nos pontos B1 e B2. O segmento B1B2 é chamado eixo menor da elipse e vamos representar sua medida por 2b. dB1B2 = 2b (eixo menor) Do triângulo retângulo OF2B2 decorre que:
Chamamosmaior. Decorre que: excentricidade da elipse ao número e, razão entre a distância focal e o eixo
A propriedade característica dos pontos P da curva é
Equação da elipse Vamos obter a equação da elipse de centro na origem do sistema cartesiano, O(0, 0), e osfocos no eixo das abscissas. Notemos que:
F1 = (–c, 0) e F2 = (c, 0) A1 = (–a, 0) e A2 = (a, 0) B1 = (0, –b) e B2 = (0, b)
Para y = 0, na equação acima, obtemos x2 = a2; logo x =dos pontos onde a curva corta o eixo x. a, que são as abscissas Para x = 0 obtemos y2 = b2; logo, y =intersecção com o eixo y. b, que são as ordenadas dos pontos de
No caso da elipse de centro O(0, 0) e os focos no eixo y obtemos a equação
Quando a elipse tem o centro fora da origem do sistema cartesiano ou os eixos desimetria não paralelos aos eixos coordenados, a equação é “mais complicada”, porém é ainda uma equação do 2º. Grau nas variáveis x e y, que se enquadra naforma geral Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0. A elipse é a curva que se obtem seccionando-se um cone com um plano que corta o seueixo.
Figura: Elipse obtida seccionando-se um cone com um plano
Exemplo Obter a equação da elipse de focos F1(–3, 0) e F2(3, 0) e eixo maior 2a = 10. Observemos que os focos estão no eixo x; o centro, que é o ponto médio de F1F2, é a origem O(0, 0). Então, a equação é
Temos a = 5 e c = = 3 Da relação a2 = b2 + c2 vem b2 = a2 – c2 = 52 – 32 = 16 Logo, a equação é , ou ainda, 16x2 + 25y2 = 400
HIPÉRBOLE
Equação da hipérbole Vamos obter a equação da hipérbole de centro na origem do sistema cartesiano, O(0, 0), eos focos situados no eixo das abscissas. Notemos que:
F1 = (–c, 0) e F2 = (c, 0) A1 = (–a, 0) e A2 = (a, 0) Apliquemos a P(x, y) a propriedade dos pontos da hipérbole:
- = 2a = (2a + ) x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2^ 4a + x2 – 2cx + c2 + y 4a = 4a2 – 4cx (a )2 = (a2 – cx) a2x2 – 2a2cx + a2c2 + a2y2 = a4 – 2a2cx + c2x (a2 – c2)x2 + a2y2 = a4 – a2c (a2 – c2)x2 + a2y2 = a2(a2 – c2) Como a2 – c2 = –b2, vem que –b2x2 + a2y2 = –a2b e dividindo por (– a2b2) fica
