Professora: Izabela Friguis_ professoradematemat[email protected]
Conjuntos – Operações – 2013 - GABARITO
1. Seja A o conjunto {3, 5, 7, 9, 11, 12}, enumere cada um dos seguintes, conjuntos:
a) {x A / x2 9} = {5, 7, 9, 11, 12}. Somente 32 = 9, neste conjunto.
b) {x A / x +9 = 16} = {7}. Se x + 9 = 16 => x = 16 – 9 = 7.
c) {x A / x é primo} = {3, 5, 7, 11}. Números primos possuem somente dois divisores.
d) {x A / x2 –12x + 35 = 0} = {5, 7}. Resolvendo temos (x – 5).(x – 7) = 0 => x = 5 e x = 7.
e) {x A / (x +1) A} = {3, 5, 7, 9}. Somente o elemento 11 tem seu sucessor 11 + 1 em A.
2. (EN) Considere os conjuntos A = {x} e B = {x, {A}} e as proposições:
I. {A} B II. {x} A III. A B IV. B
A V. {x, A}
B
As proposições falsas são:
a) I,III e V b) II, IV e V c) II, III, IV e V d) I, III, IV e V e) I, III e IV
Solução. Analisando as sentenças, temos:
I. Verdadeiro. {A} é elemento de B.
II. Falso. {x} é um subconjunto unitário de A. O símbolo deveria ser “contido”.
III. Falso. O conjunto A é subconjunto de B, pois x є A e x є B. Logo o símbolo seria “contido”.
IV. Falso. Há elemento de B que não é elemento de A, no caso {A}.
V. Falso. Não há o elemento A em B. O elemento é {A}.
3. Sendo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; A = {1, 3, 5, 7, 9}; B = {2, 4, 6, 8} e C = {1, 2, 3, 5}, calcule:
Solução. Utilizando as definições das operações e considerando a barra sobre um conjunto
como conjunto complementar em relação ao conjunto U, temos:
a) A C = {1, 2, 3, 5, 7, 9} b) B C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
c) A B = { } ou Ø d) A C = {1, 3, 5}
e) A – C = {7, 9} f) C – A = {2}
g) A – B = A h) B – A = B
i)
A
= B j)
C
= {4, 6, 7, 8, 9}
k)
BA
= { } ou Ø l)
CA
= {2, 4, 6, 7, 8, 9}
m)
BA −
= {2, 4, 6, 8} n)
CA −
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
o) ( A – B ) C = {1, 3, 5} p) ( A – C ) ( B – C ) = {4, 6, 7, 8, 9}
4. Dados os conjuntos: A = {1,4,5,6,8}, B = {2,6,8,13,17,20} e C = {5,7,8,6}, verifique as igualdades:
Solução. Expressando os conjuntos envolvidos nas operações, temos:
i) n(A) = 5; n(B) = 6; n(C) = 4. ii) n(A
B) = n{1,2,4,5,6,8,13,17,20} = 9.
iii) n(A
B) = n{6,8} = 2. iv) n(A
C) = n{5,6,8} = 3.
v) n(B
C) = n{6,8} = 2. vi) n(A
B
C) = n{6,8} = 2.
vii) n(A
B
C) = n{1,2,4,5,6,7,8,13,17,20} = 10.
a) n(A
B) = n(A) + n(B) – n(A
B)
Verificação: 9 = 5 + 6 – 2 => 9 = 9. Ok.
b) n(A
B
C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A
B) – n(A
C) – n(B
C) + n(A
B
C)
