Conjuntos e Operações Básicas, Esquemas de Matemática

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Matem´atica I

Para Ciˆencias Exactas e Econ´omicas

Te´oria e Pr´atica

Autores:

Adelino Bucuane;

Betuel Canhanga;

Teresa Mondlane;

Clarinda Nhamgumbe;

Maputo, Janeiro de 2015

versao 1.

Pref´acio

Agradecemos a todos que de forma directa ou indirecta fizeram parte desta obra. Ao escrevˆe-la inspiramo-nos nos princ´ıpios de um grande Professor que postula a ideia de que ”...ensinar ´e lem- brar aos outros que eles sabem tanto quanto vocˆe!...”e procuramos de modo detalhado mostrar momentos importantes para a constru¸c˜ao de valores e saberes Matem´aticos.

Se dedicarmo-nos a lembrar ao estudante ou leitor que ele sabe, ent˜ao estaremos a incitar a orga- niza¸c˜ao e constru¸c˜ao de seu proprio conhecimento buscando dessa forma a base do estudante na centraliza¸c˜ao do processo de ensino. Esta abordagem tem sido previlegiada nos ultimos tempos, raz˜ao pela qual preparamos esta obra dando prioridade a actividade individual e colectiva dos estudantes destacando o Professor como alguem que disperta nos estudantes a direc¸c˜ao e os caminhos a seguir para a sua aprendisagem.

Dividida em quatro cap´ıtulos, o primeiro faz uma revis˜ao de componentes necess´arias para o acom- panhamento do manual. O segundo cap´ıtulo fala sobre sucess˜oes num´ericas, limites de sucess˜oes num´ericas, fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real, limites e continuidade. O segundo cap´ıtulo estuda o conceito de derivada de fun¸c˜oes e suas aplica¸c˜oes em estudos Matem´aticos e ´areas afins; o ter- ceiro aborda a integra¸c˜ao segundo Rieman, suas propriedades e aplica¸c˜oes. Ao longo do manual desenvolvem-se temas e da-se primor a constru¸c˜ao dos saberes orientados a aplica¸c˜oes imediatas em ciˆencias e economia, garantindo tamb´em a cria¸c˜ao de bases para o prosseguimento de estudos em Ma- tem´atica II e em outras disciplinas que buscam na Matem´atica a fonte para a persep¸c˜ao e resolu¸c˜ao de seus problemas.

Apresentamos exemplos com diferentes aplica¸c˜oes aos temas aqui abordados, dando-se primasia a capacidade do estudante encontrar problemas pr´aticos que apliquem os conceitos estudados. No fim de cada cap´ıtulo, poder´a encontrar uma colec¸c˜ao de exerc´ıcios que obrigatoriamente dever´a resolver antes de prosseguir com a sua leitura.

Consideramos esta obra ainda n˜ao acabada, a sua terceira vers˜ao ser´a publicada em inicios de 2016, por isso, esperamos receber de Si observa¸c˜oes, coment´arios e cr´ıticas que naturalmente servir˜ao para enriquecer este produto. Dispomos do email [email protected] para cr´ıticas, cr´ıticas e cr´ıticas. Cri- tique por favor, sabemos que s´o assim iremos um dia atingir melhores patamares. Sua cr´ıtica vai ajudar-nos a melhorar.

Com desejos de que a leitura desta brochura seja fascinante, a nossa espectativa ´e de despertar em Si,

Conte´udo

• 1 Preliminares
  • 1.1 Aula 1 - Te´orica
    • 1.1.1 Conjuntos
    • 1.1.2 Nota¸c˜oes
    • 1.1.3 Formas de defini¸c˜ao de um conjunto
    • 1.1.4 Relac¸c˜oes de Perten¸ca
    • 1.1.5 Cardinal de um conjunto
    • 1.1.6 Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos
    • 1.1.7 Igualdade de Conjuntos
    • 1.1.8 Conjunto Nulo ou Conjunto Vazio
    • 1.1.9 Conjunto Universo ou Universal
    • 1.1.10 Subconjuntos
    • 1.1.11 Conjunto de conjunto
    • 1.1.12 Simbologia
    • 1.1.13 Opera¸c˜oes Sobre Conjuntos
    • 1.1.14 Raz˜oes e Propor¸c˜oes
    • 1.1.15 Percentagens
  • 1.2 Aula 2 - Pr´atica
  • 1.3 Aula 3 - Te´orica
    • 1.3.1 Algebra e express˜oes algebricas
    • 1.3.2 Express˜oes num´ericas e valor num´erico de uma express˜ao
    • 1.3.3 Dom´ınio de Express˜oes
    • 1.3.4 Valores Num´ericos de uma Express˜ao Literal
    • 1.3.5 Polin´omios
    • 1.3.6 Mon´omios Semelhantes e Mon´omios Iguais
    • 1.3.7 Opera¸c˜oes sobre Mon´omios
    • 1.3.8 Polin´omios Semelhantes e Polin´omios Iguais
  • 1.3.9 Factoriza¸c˜ao de Polin´omios
  • 1.3.10 Polin´omios Quadr´aticos
  • 1.3.11 Triˆangulo de Pascal
  • 1.3.12 Exercicios Resolvidos
  • 1.3.13 Potˆencia¸c˜ao
  • 1.3.14 Opera¸c˜oes com Potˆencias
  • 1.3.15 Multiplica¸c˜ao de Potˆencias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes
  • 1.3.16 Divis˜ao de Potˆencias com Bases Iguais e Expoentes Diferentes
  • 1.3.17 Multiplica¸c˜ao de Potˆencias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes
  • 1.3.18 Divis˜ao de Potˆencias com Expoentes Iguais e Bases Diferentes
  • 1.3.19 Potˆencia de Potˆencia
  • 1.3.20 Radicia¸c˜ao
  • 1.3.21 Raiz de ´Indice n
  • 1.3.22 Multiplica¸c˜ao e Divis˜ao de Radicais
  • 1.3.23 Simplifica¸c˜ao de Radicais (Redu¸c˜ao ao mesmo ´ındice)
  • 1.3.24 Compara¸c˜ao de Radicais
  • 1.3.25 Adi¸c˜ao e Subtra¸c˜ao de Radicais
  • 1.3.26 Potˆencia de uma raiz e Raiz de uma Potˆencia
• 1.4 Aula 4 - Pr´atica
• 1.5 Aula 5 - te´orica
  • 1.5.1 Fun¸c˜oes lineares
  • 1.5.2 Fun¸c˜oes
  • 1.5.3 Fun¸c˜ao Inversa
  • 1.5.4 Fun¸c˜oes Compostas
  • 1.5.5 Sistemas de Equa¸c˜oes e Inequa¸c˜oes Lineares
  • 1.5.6 Fun¸c˜oes quadr´aticas
  • 1.5.7 Estudo Completo de uma Fun¸c˜ao
  • 1.5.8 Equa¸c˜oes Quadr´aticas
  • 1.5.9 Exerc´ıcio
  • 1.5.10 Equa¸c˜oes Param´etricas
  • 1.5.11 Fun¸c˜oes e Equa¸c˜oes Radicais
  • 1.5.12 Composi¸c˜ao de fun¸c˜oes por fun¸c˜oes radicais
  • 1.5.13 Equa¸c˜oes e Inequa˜oes Radicais
• 1.6 Aula 6 - pr´atica
• 1.7 Aula 7 - te´orica - 1.7.1 Fun¸c˜oes exponenciais - 1.7.2 Resolu¸c˜ao de Equa¸c˜oes Exponenciais - 1.7.3 Inequa¸c˜ao Exponencial - 1.7.4 Fun¸c˜ao exponˆencial - 1.7.5 Representa¸c˜ao Gr´afica de uma Fun¸c˜ao Exponencial - 1.7.6 C´alculo Logar´ıtmico - 1.7.7 Propriedades Importantes - 1.7.8 Equa¸c˜ao Logar´ıtmica - 1.7.9 Inequa¸c˜ao Logar´ıtmica - 1.7.10 Fun¸c˜ao Logar´ıtmica - 1.7.11 Representa¸c˜ao Gr´afica - 1.7.12 Fun¸c˜ao e Equa¸c˜ao Homogr´afica - 1.7.13 Equa¸c˜oes e Inequa¸c˜oes - 1.7.14 Fun¸c˜ao Modular - 1.7.15 Gr´afico da Fun¸c˜ao Modular - 1.7.16 Equa¸c˜oes Modulares - 1.7.17 Inequa¸c˜oes Modulares
  • 1.8 Aula 8 - Pr´atica
• 2 Limites de Sucess˜oes e func¸˜oes
  • 2.1 Aula 9 - Te´orica
    • 2.1.1 Monotonia de uma Sucess˜ao Num´erica
    • 2.1.2 Limite de Sucess˜oesNum´ericas
    • 2.1.3 Regras de C´alculo de Limites de Sucess˜oes Num´ericas
    • 2.1.4 Alguns tipos de Indetermina¸c˜ao
    • 2.1.5 O N´umero e
    • 2.1.6 Alguns Exerc´ıcios Resolvidos
  • 2.2 Aula 10 - pr´atica
  • 2.3 Aula 11 - te´orica
    • 2.3.1 Progress˜oes
    • 2.3.2 Alguns Exerc´ıcios Resolvidos
  • 2.4 Aula 12 - Pr´atica
  • 2.5 Aula 13 - teorica
    • 2.5.1 Limite de uma Fun¸c˜ao
    • 2.5.2 C´alculo de Limite de uma Fun¸c˜ao
    • 2.5.3 Indetermina¸c˜ao do Tipo
    • 2.5.4 Limites Laterais
    • 2.5.5 Limites Not´aveis
    • 2.5.6 Alguns Exerc´ıcios Resolvidos
  • 2.6 Aula 14 - Pr´atica
  • 2.7 Aula 15 - teorica
    • 2.7.1 Continuidade de Fun¸c˜oes
    • 2.7.2 Pontos de Descontinuidade
    • 2.7.3 Classifica¸c˜ao dos Pontos de Descontinuidade
  • 2.8 Aula 16 - Pr´atica
• 3 Derivadas e aplicac¸˜oes
  • 3.1 Aula 17 - Te´orica
    • 3.1.1 Conceito de Derivada
    • 3.1.2 Deriva¸c˜ao por Tabela
    • 3.1.3 Regras de Deriva¸c˜ao
    • 3.1.4 Tabelas de Deriva¸c˜ao
  • 3.2 Aula 18 - Pr´atica
  • 3.3 Aula 19 - teorica
    • 3.3.1 Derivada logar´ıtmica
    • 3.3.2 Regra de Cadeia ou Regra de Derivada de Fun¸c˜ao Composta
    • 3.3.3 Derivada de fun¸c˜ao dada na forma impl´ıcita
    • 3.3.4 Derivada da fun¸c˜ao param´etrica
  • 3.4 Aula 20 - Pr´atica
  • 3.5 Aula 21 - teorica
    • 3.5.1 Interpreta¸c˜ao geom´etrica e mecˆanica da derivada
    • 3.5.2 Diferencial da fun¸c˜ao de uma vari´avel real
    • 3.5.3 Derivadas e diferenciais de ordem superior
    • 3.5.4 Polin´omio de Taylor e de Maclaurin
  • 3.6 Aula 22 - Pr´atica
  • 3.7 Aula 23 - teorica
    • 3.7.1 Estudo da Primeira Derivada
    • 3.7.2 Estudo da Segunda Derivada
    • 3.7.3 M´aximos e m´ınimos de fun¸c˜oes. Estudo completo de fun¸c˜ao
  • 3.8 Aula 24 - Pr´atica
• 4 C´alculo Integral
  • 4.1 Aula 25 - teorica
    • 4.1.1 Somat´orios
    • 4.1.2 C´alculo de ´areas usando limites de soma de ´areas particionadas
  • 4.2 Aula 26 - Pr´atica
  • 4.3 Aula 27 - teorica
    • 4.3.1 Integral definido
    • 4.3.2 Somas inferiores e superiores de Riemann
    • 4.3.3 Propriedades do integral definido
  • 4.4 Aula 28 - Pr´atica
  • 4.5 Aula 29 - teorica
    • 4.5.1 Integral indefinido
    • 4.5.2 Propriedades de integra¸c˜ao
    • 4.5.3 Tabela de integra¸c˜ao
    • 4.5.4 M´etodo de substitui¸c˜ao
    • 4.5.5 Resolu¸c˜ao :
    • 4.5.6 Algumas identidades trigonom´etricas fundamentais
    • 4.5.7 Integrais de fun¸c˜oes trigonom´etricas
    • 4.5.8 Substitui¸c˜oes trigonom´etricas inversas
    • 4.5.9 Integra¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais
    • 4.5.10 Integra¸c˜ao por partes
  • 4.6 Aula 30 - Pr´atica
  • 4.7 Aula 31 - teorica
    • 4.7.1 Integral impr´oprio
    • 4.7.2 Integral impr´oprio do primeiro tipo
    • 4.7.3 Crit´erio de convergˆencia
    • 4.7.4 Integral impr´oprio do segundo tipo
    • 4.7.5 Crit´erio de convergˆencia
    • 4.7.6 C´alculo de ´areas
    • 4.7.7 Comprimento do arco duma curva
    • 4.7.8 Area de superf´´ ıcie de revolu¸c˜ao
    • 4.7.9 Volume do s´olido de revolu¸c˜ao
  • 4.8 Aula 32 - Pratica

10 Matem´atica I - Da teoria `a Pr´atica

Exemplo 1.2.

A = { 2 , 4 , 6 , 8 , ...} B = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , ...} C = {maputo, pemba, xai − xai, lichinga}

Os Elementos de um conjunto s˜ao geralmente representados por letras min´usculas. Exemplo 1.3. A = {a,e,i,o,u}

Observa¸c˜ao 1.1. Veja que no exemplo anterior os elementos do conjunto aparecem separados pelo sinal da v´ırgula. Os elementos de um conjunto aparecem entre chavetas ”{}”. Designa-se a esta forma de representar conjuntos Forma tabular ou Representa¸c˜ao por extens˜ao. Se se definir um conjunto particular usando uma determinada propriedade de que se revestem seus elementos, como por exemplo: considerando-se o conjunto B como sendo o conjunto de num´eros ´ımpares, usa-se uma letra qualquer. Por quest˜ao de uniformidade usa-se a letra x para representar um elemento qualquer e o s´ımbolo (:) que significa - tal que, e escreve-se:

B = {x : x = 2k − 1 , k ∈ N}

Lˆe-se: B ´e um conjunto de n´umeros x tal que esses n´umeros s˜ao ´ımpares. Designa-se a esta meneira de construir ou representar um conjunto Representa¸c˜ao por compreens˜ao.

1.1.3 Formas de defini¸c˜ao de um conjunto

Diz-se que um conjunto est´a bem definido, quando claramente se identificam os seus elementos. Exis- tem 3 formas de defini¸c˜ao de um conjunto:

• Extens˜ao;
• Compreens˜ao;
• Diagrama de Venn. Defin¸c˜ao 1.2. Um conjunto diz-se definido ou representado por extens˜ao quando ´e ”extendido”, lista-se todos os seus elementos.

Exemplo 1.4. O conjunto A est´a representado por extens˜ao:

A = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }

B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 11

Defin¸c˜ao 1.3. Um conjunto diz-se definido ou representado por compreens˜ao quando se ”compre- ende”,com base em uma regra, quais s˜ao os constituentes do mesmo.

Exemplo 1.5. O conjunto A est´a representado por extens˜ao:

A = {x : x = 2k − 1; k ∈ N e x < 10 }

Defin¸c˜ao 1.4. Um conjunto diz-se definido ou representado por diagrama de Venn

1.1.4 Relac¸c˜oes de Perten¸ca

• Quando um elemento ”a”n˜ao faz parte de um determinado conjunto A, diz-se que a n˜ao pertence a A ( escreve se a 6 ∈ A);
• Quando um elemento a faz parte de um determinado conjunto A, diz-se que a pertence a A ( escreve-se a ∈ A).

Exemplo 1.6. Seja A = {a, b, c, d, e, f }, Diz-se que A ´e um conjunto e ”a, b, c, d, e, f ”s˜ao elementos do conjunto A, assim:

1. a ∈ A
2. e ∈ A
3. m 6 ∈ A
4. p 6 ∈ A

1.1.5 Cardinal de um conjunto

E o n´^ ´ umero de elementos que o conjunto tem (]).

Exemplo 1.7. Seja V = {a, e, i, o, u}ent˜ao ]V = 5.

1.1.6 Conjuntos Finitos e Conjuntos Infinitos

Defin¸c˜ao 1.5. Um conjunto diz-se Finito quando se poder identificar o n´umero de elementos que dele fazem parte. Em outras palavras, se tiver Cardinal.

Exemplo 1.8. Considere os seguintes exemplos:

1. O conjunto formado por capitais provinciais de Mo¸cambique;
2. O conjunto formado pelos estudantes de uma turma;
3. O conjunto de n´umeros naturais menores que 1000000.

B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 13

Exemplo 1.12. Considere os seguintes exemplos:

1. Em geometria plana o conjunto Universal ´e o conjunto de todos os pontos do espa¸co;
2. O conjunto Universal do conjunto de estudantes de uma turma ´e o conjunto de todos estudantes dessa escola.

1.1.10 Subconjuntos

Defin¸c˜ao 1.10. O nome vai mais longe, sub-conjunto, um conjunto pequeno. O termo pequeno na l´ıngua portuguesa ´e relativo, ”pequeno em relac¸c˜ao a alguma coisa”. Diz-se que o conjunto A ´e subconjunto do conjunto B , se todos elementos de A pertencerem a B , isto ´e, tamb´em s˜ao elementos de B.

Exemplo 1.13. Considere os seguintes exemplos:

1. Seja A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }, B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }, o conjunto A ´e subconjunto do conjunto B ,isto ´e, A ⊂ B ;
2. O conjunto de capitais provinciais do Sul de Mo¸cambique ´e um subconjunto de capitais provin- ciais de Mo¸cambique;
3. S˜ao conhecidos os conjuntos: (a) N-Conjunto de n´umeros naturais; (b) Z-Conjunto de n´umeros inteiros; (c) Q-Conjunto de n´umeros racionais; (d) R-Conjunto de n´umeros reais. Ent˜ao pode-se ver que o conjunto de n´umeros naturais ´e subconjunto de Z e da´ı segue-se a seguinte cadeia: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Costuma-se dizer que o conjunto A ´e superconjunto de B. Esta afirma¸c˜ao equivale a dizer que o conjunto B ´e subconjunto de A e isto ´e l´ogico, se B ´e subconjunto de A, ent˜ao A ´e superconjunto de B. A ser assim temos para a firma¸c˜ao A ⊂ B os seguintes coment´arios:

1. O conjunto A ´e subconjunto de B ;
2. O conjunto A est´a contido em B ;
3. O conjunto B ´e superconjunto de A;

14 Matem´atica I - Da teoria `a Pr´atica

4. O conjunto B ´e cont´em A.

Para a afirma¸c˜ao A 6 ⊂ B , pode-se fazer os seguintes coment´arios:

1. O conjunto A n˜ao ´e subconjunto de B ;
2. O conjunto A n˜ao est´a contido em B ;
3. Existe em A pelo menos um elemento que n˜ao faz parte de B ;
4. O conjunto B n˜ao cont´em A.

Observa¸c˜ao 1.2. Aten¸c˜ao:

• Sem limita¸c˜ao da sua essˆencia e para todos efeitos, o conjunto vazio ”{}” ´e subconjunto de qualquer conjunto;
• Se o conjunto A = B ent˜ao A ⊂ B e B ⊂ A.

1.1.11 Conjunto de conjunto

Algumas vezes os elementos de um determinado conjunto, s˜ao tamb´em conjuntos. O conjunto formado por todos subconjuntos de um determinado conjunto ´e um conjunto de conjuntos ou ainda fam´ılia de conjuntos.

Exemplo 1.14. Considere os seguintes exemplos:

1. O conjunto A = {{a, b}, {c}, {a, e}} ´e um conjunto de conjuntos.

1.1.12 Simbologia

Os s´ımbolos mais usados na teoria de conjuntos est˜ao representados a seguir:

• ∈ (pertence), ex: a ∈ B
• 6 ∈ (n˜ao pertence), ex: m 6 ∈ B
• = (igual), ex: A = B
• 6 = (diferente), ex: A 6 = B
• ⊂ (contido), ex: A ⊂ B
• 6 ⊂ (n˜ao contido), ex: A 6 ⊂ B
• ⊃ (cont´em), ex: A ⊃ B

16 Matem´atica I - Da teoria `a Pr´atica

B

1

2

7

8

Figura 1.2:

A ∪ B

1

2

4

5 1

2

7

8

Figura 1.3:

A intersec¸c˜ao de A e B ´e um outro conjunto que se pode designar por C e teremos:

C = A ∩ B = { 1 , 2 }. Veja que participam na intersec¸c˜ao os elementos que em simultˆaneo pertencem a A e B. Veja na figura (1.6), os elementos que fazem parte do conjunto intersec¸c˜ao, s˜ao 1 e 2.

3. Diferen¸ca - Chama-se Diferen¸ca de dois ou mais conjuntos, a opera¸c˜ao que diferencia dois ou mais conjuntos, e denota-se ”\”. Exemplo 1.17. Sejam dados os seguintes conjuntos:

A = { 1 , 2 , 4 , 5 }; B = { 1 , 2 , 7 , 8 };

B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 17

A

1

2

4

5

Figura 1.4:

B

1

2

7

8

Figura 1.5:

A Diferen¸ca de A e B ´e um outro conjunto que se pode designar por C e teremos: C = A \ B = { 4 , 5 }; vide figura (1.7) Veja que participam na diferen¸ca de A e B os elementos que fazem parte de A e que n˜ao fazem parte de B, como mostramos na figura (1.8).

4. Diferen¸ca Sim´etrica Exemplo 1.18. Sejam dados os seguintes conjuntos: A = { 1 , 2 , 4 , 5 }; B = { 1 , 2 , 7 , 8 }.

A diferen¸ca sim´etrica de A e B ´e o conjunto:

E = C ∪ D = { 4 , 5 , 7 , 8 }

B. Adelino; C. Betuel; M. Tereza; N. Clarinda - 2015 19

A \ B

5

4

Figura 1.8:

B M A

7

8

5

4

Figura 1.9:

Exemplo 1.19. Numa sala de aulas est˜ao presentes 20 rapazes e 25 raparigas. Determine a raz˜ao entre o n´umero de rapazes e raparigas.

R: A raz˜ao entre o n´umero de rapazes e o n´umero de raparigas ´e: no^ rapazes no^ raparigas =

ou 4 ÷ 5

Isto ´e, 4 rapazes para 5 raparigas!!!

Defin¸c˜ao 1.11. Quando se fala de raz˜ao entre dois n´umeros a e b, isto ´e ab , o dividendo (a) designa-se antecedente e o divisor (b) designa-se consequente.

20 Matem´atica I - Da teoria `a Pr´atica

Defin¸c˜ao 1.12. Os desenhistas, cartografistas, marinheiros e outros, utilizam o conceito raz˜ao para relaccionar distˆancias reais e distˆancias mapeadas que para distinguir introduzem no lugar de raz˜ao o conceito de escala e denota-se: Escala = medida do desenhomedida real

Exemplo 1.20. No Mapa de Mo¸cambique a distˆancia entre Lichinga e Quelimane ´e de 50cm, sabendo que o mapa foi desenhado com uma escala de 50001. Determine a distˆancia real em km de Quelimane `a Lichinga.

Exemplo 1.21. Qual ´e a raz˜ao entre as ´areas de duas circunferˆencias se a raz˜ao entre seus raios for igual a^12? Resolu¸c˜ao.

cos

sen

− 1 1

1

− 1

Figura 1.10:

As duas circunferˆencias acima s˜ao somente um exemplo de v´arias circunferˆencias que tem a relac¸c˜ao de seus raios 1:2. Designar-se-´a r 1 , S 1 raio e superf´ıcie respectivamente da primeira c´ırcunferˆencia e r 2 , S 2 raio e superf´ıcie respectivamente da segunda c´ırcunferˆencia, pelo problema colocado temos: r 1 r 2 =

Como neste exerc´ıcio deve-se determinar a raz˜ao de propor¸c˜ao entre as ´areas das duas c´ırcunferˆencia, teremos: S 1 S 2 =^

π × r^21 π × r^22 =

( (^) r 1 r 2

=^14

1.1.15 Percentagens

Defin¸c˜ao 1.13. Chama-se Percentagem a raz˜ao com consequente 100.