Baixe Introdução à Teoria Intuitiva de Conjuntos: Conjuntos, Inclusão e Operações Básicas e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Conjuntos
Grupo de Matemática da Universidade Técnica de Lisboa:
António St. Aubyn, Maria Carlos Figueiredo,
Luís de Loura, Luísa Ribeiro, Francisco Viegas
Lisboa, Março de 2004
O documento presente foi obtido directamente do código TeX fornecido pelos autores com alterações de formatação. A versão corrente é de 27 de Setembro de 2005. A revisão deste texto do ponto de vista gráfico ainda não está completa. Novas versões poderão ficar disponíveis no futuro a partir de http://preprint.math.ist.utl.pt/files/ppgmutlconjuntos.pdf. O DMIST agradece ao Grupo de Matemática da UTL a possibilidade de facultar o texto aos alunos das disciplinas introdutórias de Matemática do IST.
Conteúdo
- 1 Introdução
- 2 Noção intuitiva de conjunto
- 3 Objectos, conjuntos, pertença
- 4 Inclusão
- 5 Reunião
- 6 Intersecção
- 7 Diferença
- 8 Conjuntos finitos e infinitos
- 9 Produto cartesiano
- 1 Diagrama de Venn. Lista de Figuras
- 2 Diagrama de Venn.
- 3 A contido em B; C não contido em D.
- 4 Reunião de A com B.
- 5 Intersecção de A com B.
- 6 Intersecção de A com B, com A contido em B.
- 7 Complementar de B em A.
- 8 Complementar do conjunto B.
Dicionário da Língua Portuguesa Contemporânea, Academia das Ciências de Lisboa, Editorial Verbo conjunto: Reunião de vários elementos que funcionam como uma unidade; aglomeração; colecção; grupo; série colecção: conjunto de objectos da mesma natureza; compi- lação; colectânea
Os dicionários não nos ajudam; dizer que um conjunto é uma aglome- ração não é mais do que substituir uma palavra por outra, sem definir o que quer que seja. Será culpa dos dicionários? Para respondermos a esta questão temos de saber o que é uma definição. Ora definir um conceito não é mais do que explicá-lo através de outros conceitos já conhecidos.
Exemplo 1. Um número par é um número natural divisível por dois.
Definimos um novo conceito (o de número par ) utilizando dois concei- tos já conhecidos (o de número natural e o de número natural divisível por dois ).
Exemplo 2. Um número ímpar é um número natural que não é par.
O novo conceito definido ( número ímpar ) baseia-se no conceito de número par (definido anteriormente).
Em resumo: Um conceito é definido através de outros conceitos já conhe- cidos. Uma vez inicializado, este processo de definir novos conceitos não põe quaisquer problemas. A grande questão é o início. Como começar?
A ideia é simples: começamos com alguns conceitos (de preferência poucos), que não definimos, mas que admitimos todos sabermos o que são. Estes conceitos são chamados conceitos primitivos ou noções primitivas. A partir dos conceitos primitivos podemos ir introduzindo novos conceitos a que chamamos conceitos derivados.
Algo de análogo se passa com as proposições verdadeiras que queremos construir e que envolvem os diversos conceitos (quer primitivos, quer derivados). Para construir uma proposição verdadeira utilizamos regras lógicas (as chamadas regras de inferência) aplicadas a outras proposições que já sabemos serem verdadeiras. Uma demonstração não é mais do que a aplicação de regras de inferência a proposições que sabemos serem verdadeiras; o resultado obtido é uma nova proposição verdadeira, a que é usual chamar teorema. Mais uma vez a grande questão está na inicialização do processo. Como começar? É simples: escolhemos um certo número
de proposições que decidimos (arbitrariamente) serem verdadeiras. Estas proposições são os chamados axiomas. A partir delas demonstramos outras proposições — os teoremas. Em resumo: uma teoria matemática é constituída por um certo número de conceitos primitivos e por um certo número de axiomas. A partir deles são introduzidos novos conceitos — os conceitos derivados — e novas proposições verdadeiras — os teoremas.
2 Noção intuitiva de conjunto
O conceito de conjunto está na base de toda a Matemática. Antes de nos debruçarmos sobre o conceito de conjunto, começaremos por dar alguns exemplos de conjuntos.
Exemplos de conjuntos
- O conjunto das cidades de Portugal.
- O conjunto dos alunos da Universidade Técnica de Lisboa.
- O conjunto dos números naturais.
- O conjunto das equipas de futebol da divisão de honra.
- O conjunto dos cidadãos portugueses que estão presos.
- O conjunto dos deputados da Assembleia da República Portuguesa.
- O conjunto dos números reais.
- O conjunto dos países da União Europeia.
- O conjunto dos números racionais.
- O conjunto dos sócios dos Bombeiros Voluntários de Campo d’Ourique.
- O conjunto dos números pares.
- O conjunto dos números ímpares.
- O conjunto dos números naturais que são múltiplos de 4.
- O conjunto dos números primos.
- O conjunto dos números reais que são solução da equação x^4 + x = 0.
Para dizermos que um objecto y não pertence a um conjunto B escre- vemos y < B.
Neste caso dizemos também que y não é um elemento do conjunto B. Em vez de y < B escreveremos algumas vezes, com significado idêntico, B = y.
Exemplos de proposições verdadeiras
- Leiria pertence ao conjunto das cidades de Portugal.
- O Presidente Jorge Sampaio não pertence ao conjunto dos alunos da Universidade Técnica de Lisboa.
- O número 5 pertence ao conjunto dos números naturais.
- O número −35 não pertence ao conjunto dos números naturais.
- O número π não pertence ao conjunto dos números naturais.
- O Sporting pertence ao conjunto das equipas de futebol da divisão de honra.
- O Primeiro Ministro Durão Barroso não pertence ao conjunto dos cidadãos portugueses que estão presos.
- Francisco Louçã pertence ao conjunto dos deputados da Assembleia da República Portuguesa.
- O número
2 pertence ao conjunto dos números irracionais.
- A China não pertence ao conjunto dos países da União Europeia.
- O número
2 não pertence ao conjunto dos números racionais.
4 pertence ao conjunto dos números racionais.
Exemplos de proposições falsas
- Leiria pertence ao conjunto das cidades da Ásia.
- O Benfica pertence ao conjunto das equipas de futebol da Dinamarca.
- O número 5,47 não pertence ao conjunto dos números reais.
Dois conjuntos A e B são iguais sse tiverem os mesmos elementos. Portanto, sendo A e B dois conjuntos, tem-se
A = B
sse, para todo o objecto x, forem verificadas as seguintes condições:
x ∈ A ⇒ x ∈ B e x ∈ B ⇒ x ∈ A.
Para evitar paradoxos lógicos que não nos interessa aqui considerar, e também por comodidade de linguagem, suporemos que todos os conjuntos de que falaremos são subconjuntos de um conjunto U a que é usual chamar universo. Com esta hipótese (que será mantida ao longo de todo este texto), dois conjuntos A e B são iguais sse
∀x ∈ U x ∈ A ⇒ x ∈ B ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ A
ou, de forma equivalente, sse
∀x ∈ U x ∈ A ⇔ x ∈ B.
Vemos assim que a igualdade entre conjuntos é a tradução, em termos da teoria dos conjuntos, da operação lógica da equivalência. Provar que dois conjuntos A e B são iguais é provar que as proposições “x ∈ A” e “x ∈ B” são equivalentes. Conhecer um conjunto é saber quais são os seus elementos. Então, para representarmos um conjunto, podemos convencionar escrever todos os seus elementos, delimitados por chavetas. Por exemplo, sendo A o conjunto dos números pares maiores ou iguais a 2 e menores ou iguais a 10, tem-se A = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 }.
Sendo B o conjunto das capitais dos países da União Europeia (em 2002) tem-se
B = {Amsterdão, Atenas, Berlim, Bruxelas, Copenhaga, cidade do Luxemburgo, Dublin, Estocolmo, Helsínquia, Lisboa, Londres, Madrid, Paris, Roma, Viena}.
Dizemos que os conjuntos A e B estão definidos extensivamente. Claro que, por razões de ordem prática, só é possível definir um conjunto ex- tensivamente se ele tiver poucos elementos. Caso contrário, se quisermos
esse domínio é o conjunto dos números reais. Ora acontece que há números reais que verificam a condição e que não são números naturais. Seja X um conjunto qualquer; consideremos o seguinte conjunto, defi- nido compreensivamente
{x ∈ X; x , x}.
Trata-se de um conjunto sem elementos, porque não existe qualquer ele- mento x de X tal que x , x. Dizemos tratar-se do conjunto vazio, que será designado por ∅; tem-se então
∅ = {x ∈ X; x , x}.
Não é de estranhar a existência de um tal conjunto sem elementos. Uma imagem que ajuda a esclarecer o conceito é, por exemplo, o conjunto de fósforos que estão dentro de uma determinada caixa de fósforos. Esse conjunto pode ter 20 elementos (se a caixa tiver 20 fósforos), 17 elementos (se a caixa tiver 17 fósforos),... E se a caixa não tiver fósforos? Então o conjunto de fósforos da caixa é o conjunto vazio. Note-se que o conjunto vazio pode ser definido por qualquer condição impossível num qualquer conjunto X. Por exemplo tem-se
∅ = {x ∈ N; x^2 = 2 }
porque não existe qualquer número natural cujo quadrado seja igual a 2. Mas {x ∈ R; x^2 = 2 }
já não é o conjunto vazio, porque existem números reais de quadrado igual a 2. Tem-se, como é sabido,
{x ∈ R; x^2 = 2 } = {−
4 Inclusão
Neste início do nosso estudo da teoria intuitiva dos conjuntos temos três conceitos primitivos: o de objecto, o de conjunto e o de pertença. Também já introduzimos o conjunto vazio que designamos por ∅. Vamos agora começar a estudar operações que se podem executar com conjuntos. Consideremos o conjunto A de todos os alunos do Instituto Superior de Economia e Gestão (ISEG) e consideremos o conjunto B de todos os alunos da Universidade Técnica de Lisboa (UTL). Como o ISEG é uma escola da UTL, todo o aluno do ISEG é também aluno da UTL. Dito por
outras palavras, todo o elemento do conjunto A é também elemento do conjunto B. Nestas condições dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B e escrevemos A ⊂ B. Este exemplo leva-nos a introduzir a seguinte definição:
Definição 1. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer; dizemos que A está contido (ou incluído) em B, e escrevemos A ⊂ B, sse todo o elemento de A for elemento de B.
Repare-se que a relação de inclusão entre conjuntos traduz, na lingua- gem da teoria dos conjuntos, a operação lógica de implicação de proposições. De facto, dizer que A está contido em B, não é mais do que dizer que a proposição “x pertence a A” implica a proposição “x pertence a B”; tem-se então A ⊂ B sse ∀x ∈ U x ∈ A ⇒ x ∈ B. Frequentes vezes, em vez de dizermos que A está contido em B, dizemos que B contém (ou inclui) A e escrevemos
B ⊃ A.
Dizemos também que A é um subconjunto de B ou que B é um sobreconjunto de A. A negação de “A está contido em B” é “A não está contido em B”, que se escreve A 1 B ou ainda B 2 A.
Para sabermos o que significa dizer que A não está contido em B devemos negar a proposição “A está contido em B”. Como sabemos, dizer que A está contido em B é dizer que todo o objecto x que é elemento de A é também elemento de B. Negar esta proposição é dizer que existe pelo menos um objecto x que é elemento de A e não é elemento de B:
A 1 B sse ∃x ∈ U x ∈ A ∧ x < B.
Retomemos o exemplo inicial, onde A é o conjunto dos alunos do ISEG e B é o conjunto dos alunos da UTL. Designando por C o conjunto de alunos da Faculdade de Motricidade Humana (FMH), tem-se também
C ⊂ B
porque a FMH é um escola da UTL e portanto todo o aluno da FMH é também aluno da UTL. Analogamente, sendo D o conjunto dos alunos
Se esta proposição for verdadeira, então ∅ ⊂ X; se a proposição for falsa, então ∅ 1 X. Mas esta proposição é construída a partir das proposições “x ∈ ∅” e “x ∈ X”, conectadas com a operação de implicação. Para sabermos se a proposição é verdadeira ou falsa basta conhecermos os valores lógicos do antecedente e do consequente que constituem a implicação. Ora o antecedente x ∈ ∅ é falso porque não existe qualquer objecto x que seja elemento do conjunto vazio ∅. Então, independentemente do valor lógico do consequente, a implicação é verdadeira. Demonstrámos assim que:
Teorema 2. O conjunto vazio está incluído em qualquer conjunto A.
Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Já sabemos o que significa dizer que A está contido em B: todo o elemento de A é elemento de B. Também sabemos o que significa dizer que B está contido em A: todo o elemento de B é elemento de A. Poderá ter-se simultaneamente A ⊂ B e B ⊂ A? Em caso afirmativo, o que quererá isso dizer? A resposta é dada no seguinte teorema:
Teorema 3. Quaisquer que sejam os conjuntos A e B tem-se
(A ⊂ B ∧ B ⊂ A) ⇔ (A = B).
Demonstração. Consideremos a proposição “A ⊂ B ∧ B ⊂ A”. Isto significa que todo o elemento de A é elemento de B (porque A é um subconjunto de B) e que todo o elemento de B é elemento de A (porque B é subconjunto de A). Em conclusão os elementos de A são precisamente os elementos de B; os dois conjuntos são iguais.
A propriedade expressa neste teorema é muito utilizada quando que- remos mostrar que dois conjuntos A e B são iguais. Isso é equivalente a mostrar que A ⊂ B e B ⊂ A. Em termos lógicos estamos simplesmente a dizer que a conjunção das proposições “x ∈ A ⇒ x ∈ B” (correspondente a A ⊂ B) e “x ∈ B ⇒ x ∈ A” (correspondente a B ⊂ A) é a proposição “x ∈ A ⇔ x ∈ B”; ora sabemos^1 que, sendo p e q duas proposições quais- quer, então (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) é equivalente a p ⇔ q. Por vezes é cómodo representar de forma pictórica os conjuntos. Assim é usual representar um conjunto qualquer A pelo interior de uma curva fechada, tal como na figura 1. Dizemos tratar-se de um diagrama de Venn. Claro que um diagrama de Venn não é mais do que uma imagem que nos pode sensibilizar para a compreensão das propriedades dos conjuntos, nunca podendo servir para demonstrar essas mesmas propriedades.
(^1) ver capítulo Lógica.
Figura 1: Diagrama de Venn.
Por vezes, sendo A um conjunto finito, podemos representar os seus ele- mentos sob a forma de pontos dentro de uma curva fechada. Por exemplo o conjunto A = { 1 , 7 , 9 } pode representar-se como na figura 2.
Figura 2: Diagrama de Venn.
Com recurso aos diagramas de Venn a inclusão tem uma imagem suges- tiva, que apresentamos nas figuras seguintes. Na figura 3 representamos duas situações distintas: numa o conjunto A está contido no conjunto B, enquanto na outra o conjunto C não está contido no conjunto D.
Figura 3: A contido em B; C não contido em D.
5 Reunião
Consideremos os dois conjuntos seguintes:
A = {a, b, c, 1 , 2 , 3 , 4 } e B = {a, d, 2 , 5 , 7 , 9 }.
Podemos pensar num novo conjunto C, constituído por aqueles objectos que estão em A ou estão em B. No exemplo em questão esse novo conjunto será C = {a, b, c, d, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 }.
Teorema 5. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer; então tem-se
A ∪ B = B ∪ A.
Demonstração. Recorrendo à definição de reunião de dois conjuntos vemos que:
A ∪ B ={x ∈ U; x ∈ A ou x ∈ B} B ∪ A ={x ∈ U; x ∈ B ou x ∈ A}
A∪B é o conjunto dos objectos de U que, ou pertencem em A, ou pertencem a B. B ∪ A é o conjunto dos objectos de U que, ou pertencem em B, ou pertencem a A. Como a disjunção de proposições goza da propriedade comutativa (as proposições p ∨ q e q ∨ p têm o mesmo valor lógico), vemos que A ∪ B = B ∪ A.
Consideremos agora três subconjuntos A, B e C. Podemos construir o conjunto (A ∪ B) ∪ C
que é constituído pelos objectos de U que pertencem a A ∪ B ou a C. Também podemos construir o conjunto
A ∪ (B ∪ C)
constituído pelos objectos de U que pertencem a A ou a B ∪ C. Que relação existirá entre estes dois conjuntos? A resposta é dada no teorema seguinte
Teorema 6. Sejam A B e C três conjuntos quaisquer; então tem-se
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
Demonstração. O conjunto (A ∪ B) ∪ C é constituído pelos objectos x de U tais que x ∈ (A ∪ B) ou x ∈ C,
o que se pode ainda escrever, por definição de A ∪ B,
(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C.
Analogamente o conjunto A ∪ (B ∪ C) é constituído pelos objectos x de U tais que x ∈ A ou x ∈ (B ∪ C)
ou ainda, por definição de B ∪ C,
x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C).
Tendo em conta que a proposição (p ∨ q) ∨ r tem o mesmo valor lógico da proposição p∨(q∨r), vemos que, tal como queríamos mostrar, (A∪B)∪C = A ∪ (B ∪ C).
Devido ao teorema anterior dizemos que a reunião de conjuntos goza da propriedade associativa. É esta propriedade que nos permite dar um sentido a uma expressão do tipo
A ∪ B ∪ C.
Esta expressão pode ser lida de duas maneiras distintas: como (A ∪ B) ∪ C ou como A ∪ (B ∪ C); não há problema porque os conjuntos (A ∪ B) ∪ C e A ∪ (B ∪ C) são o mesmo. Portanto A ∪ B ∪ C é o conjunto de todos os objectos de U que pertencem pelo menos a um dos conjuntos A, B, C. Identifiquemos agora o conjunto A∪∅. Trata-se do conjunto dos objectos de U que, ou pertencem a A, ou pertencem a ∅. Como não há qualquer objecto que pertença ao conjunto vazio, dizer que x pertence a A ∪ ∅ é equivalente a dizer que x pertence a A. Por outro lado, tendo em conta a comutatividade da reunião de conjuntos, já sabemos que A ∪ ∅ = ∅ ∪ A. Acabámos de demonstrar o seguinte teorema:
Teorema 7. Qualquer que seja o conjunto A tem-se
A ∪ ∅ = ∅ ∪ A = A
Devido ao teorema anterior é usual dizer que o conjunto vazio é o elemento neutro da operação de reunião de dois conjuntos. Deixamos a cargo do leitor a demonstração do resultado seguinte:
Teorema 8. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer; então tem-se A ∪ B = B sse A ⊂ B
6 Intersecção
Seja A o conjunto de sócios dos Bombeiros Voluntários de Campo de Ou- rique e seja B o conjunto de sócios do Benfica. É natural que haja pessoas que são simultaneamente sócios dos Bombeiros Voluntários de Campo de Ourique e do Benfica. Somos, por isso, levados a introduzir um novo con- junto, cujos elementos são aqueles objectos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto, a que se chama a intersecção de A e de B, é designado por A ∩ B. No nosso exemplo é constituído por todos aque- las pessoas que são simultaneamente sócios dos Bombeiros Voluntários de Campo de Ourique e do Benfica.
Teorema 10. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Então tem-se
A ∩ B = B ∩ A.
Demonstração. Recorrendo à definição de intersecção de dois conjuntos, vem
A ∩ B = {x ∈ U; x ∈ A e x ∈ B}, B ∩ A = {x ∈ U; x ∈ B e x ∈ A}.
A ∩ B é o conjunto dos objectos de U que pertencem a A e pertencem a B. B ∩ A é o conjunto dos objectos de U que pertencem a B e pertencem a A. Como a conjunção de proposições goza da propriedade comutativa (as proposições p∧q e q∧p têm o mesmo valor lógico), vemos que A∩B = B∩A, tal como queríamos provar.
Consideremos agora três conjuntos A, B e C. Podemos construir o conjunto (A ∩ B) ∩ C
que é constituído pelos objectos de U que pertencem a A∩B e a C. Também podemos construir o conjunto
A ∩ (B ∩ C)
constituído pelos objectos de U que pertencem a A e a B ∩ C. Tem-se o seguinte resultado
Teorema 11. Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então tem-se
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
Demonstração. O conjunto (A ∩ B) ∩ C é constituído pelos objectos x de U tais que x ∈ (A ∩ B) e x ∈ C
o que se pode ainda escrever, por definição de A ∩ B,
(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C.
Tendo em conta que a proposição (p ∧ q) ∧ r tem o mesmo valor lógico da proposição p ∧ (q ∧ r), vemos que (A ∩ B) ∩ C é constituído pelos objectos x de U tais que x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C)
ou ainda, por definição de B ∩ C,
x ∈ A e x ∈ (B ∩ C).
Mas estes objectos são precisamente aqueles que constituem o conjunto A ∩ (B ∩ C), pelo que (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
O teorema anterior mostra-nos que a reunião de conjuntos goza da propriedade associativa. É esta propriedade que nos permite dar um sentido a uma expressão do tipo
A ∩ B ∩ C.
Esta expressão pode ser lida de duas maneiras distintas: como (A ∩ B) ∩ C ou como A ∩ (B ∩ C); não há problema porque os conjuntos (A ∩ B) ∩ C e A∩(B∩C) são o mesmo. Portanto A∩B∩C é o conjunto de todos os objectos de U que pertencem simultaneamente a cada um dos três conjuntos A, B, C. Identifiquemos agora o conjunto A∩∅. Trata-se do conjunto dos objectos de U que pertencem simultaneamente a A e a ∅. Como não há qualquer objecto que pertença ao conjunto vazio, a condição “x pertence a A ∩ ∅” é impossível, pelo que A ∩ ∅ é o conjunto vazio. Como a intersecção de conjuntos é comutativa, podemos enunciar o seguinte teorema
Teorema 12. Seja A um conjunto qualquer. Então tem-se:
A ∩ ∅ = ∅ ∩ A = ∅.
Também é fácil provar que a intersecção de A e de B é igual a A sse o conjunto A estiver contido no conjunto B:
Teorema 13. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Então tem-se:
A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A.
Demonstração. Para provarmos esta proposição temos de provar a impli- cação nos dois sentidos. Comecemos por provar que
A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A.
Se x pertencer a A, então x também pertence a B (porque A está contido em B) e, pertencendo a A e a B, pertence a A ∩ B (por definição de intersecção). Se x não pertencer a A, então (por definição de intersecção) não pode pertencer a A ∩ B.
