Transformada de Laplace: Cálculo e Aplicação, Notas de estudo de Controle de Processo

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Marcelo De Lellis Costa de Oliveira

Fundamentos de Modelagem,

Identificação e Controle de Sistemas

Universidade Federal de Santa Catarina

Centro Tecnológico

Departamento de Automação e Sistemas

© 2019 Marcelo De Lellis Costa de Oliveira & Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Automação e Sistemas Qualquer parte desta publicação pode ser reproduzida, desde que citada a fonte.

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil

Oliveira, Marcelo De Lellis Costa de. Fundamentos de Modelagem, Identificação e Controle de Sistemas. / Marcelo De Lellis Costa de Oliveira. – Florianópolis: Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Automação e Sistemas, 2020. Bibliografia. ISBN XXXX-XXXX-XX.

1. Modelos matemáticos. 2. Sistemas dinâmicos. 3. Controle automático. 4. Ensino de engenharia.

Lista de ilustrações

Figura 1 – Automóvel percebido como um sistema multivariável......... 13 Figura 2 – Circuito elétrico resistivo puro como um exemplo de sistema algébrico. 15 Figura 3 – Circuito elétrico capacitivo puro como um exemplo de sistema dinâ- mico....................................... 15 Figura 4 – Relação estática entre a entrada de corrente e as saídas de tensão e potência do circuito resistivo puro..................... 17 Figura 5 – Diagrama de Bode do modelo dinâmico de translação de um veículo. 18 Figura 6 – Escoamento de fluido em um canal, como exemplo de um modelo a parâmetros distribuídos........................... 19 Figura 7 – Exemplo de função atrasada no tempo por α > 0............ 22 Figura 8 – Função pulso retangular........................... 25 Figura 9 – Circuito elétrico de um filtro RC...................... 31 Figura 10 – Circuito resistivo-indutivo-capacitivo (RLC)............... 37 Figura 11 – Circuito elétrico composto por impedâncias representadas no domí- nio de Laplace................................. 38 Figura 12 – Circuito com amplificador operacional na topologia inversora.... 39 Figura 13 – Circuito elétrico de um conversor CC-CC boost ideal.......... 40 Figura 14 – Equilíbrio (valor médio) das variáveis de estado do conversor boost em função da razão cíclica, supondo R = 2 Ω e vi = 10 V........ 42 Figura 15 – Circuito elétrico de um conversor CC-CC buck ideal.......... 43 Figura 16 – Circuito com amplificador operacional para filtragem de sinais.... 44 Figura 17 – Diagrama de forças que atuam na translação de um automóvel em um plano horizontal............................. 45 Figura 18 – Satélite como um exemplo de sistema mecânico com movimento de rotação..................................... 46 Figura 19 – Pêndulo sem atrito.............................. 48 Figura 20 – Principais componentes de um motor DC com escovas........ 49 Figura 21 – Circuito elétrico simplificado do motor DC................ 50 Figura 22 – Esquemático de uma coluna de destilação................ 52 Figura 23 – Exemplo de gráfico da pressão de vapor em função da temperatura. 53 Figura 24 – Prato perfurado utilizado em uma coluna de destilação........ 54 Figura 25 – Princípio da transferência de calor entre dois corpos.......... 55 Figura 26 – Exemplo de transferência de calor por condução entre duas salas adjacentes separadas por uma parede................... 56 Figura 27 – Exemplo de transferência de calor por convecção............ 57 Figura 28 – Exemplo de cálculo da resistência térmica equivalente em uma pa- rede composta por dois materiais com propriedades distintas.... 59 Figura 29 – Abstração de uma sala para modelagem da dinâmica de sua tempera- tura....................................... 60 Figura 30 – Cilindro vazado................................ 61 Figura 31 – Esquemático de uma casa com dois cômodos, com um sistema de refrigeração para o 1º comodo....................... 62

Figura 71 – Controle automático de uma incubadora de ovos projetado por Cor- nelius Drebbel ao redor do ano 1620................... 127 Figura 72 – Regulador de velocidade com esferas rotativas ( fly-ball governor.. 127 Figura 73 – Topologia de controle composta por realimentação da saída ( feed- back ) e pré-alimentação da perturbação ( feedforward )......... 128 Figura 74 – Uso de duas malhas SISO (interacopladas) para o controle de um sistema MIMO................................. 129 Figura 75 – Topologia de controle realimentado com pré-filtro desacoplador em um sistema MIMO.............................. 130 Figura 76 – Exemplo de arquitetura de sistema de controle digital. Fonte: adap- tado de (OGATA, 1987)............................ 131

Notação

• x é um escalar;
• x é um vetor;
• X é uma matriz;
• (^) d td x ( t ) = x ˙( t ) =

(1) x ( t ), d

2 d t^2 x ( t^ )^ =^ x ¨( t^ )^ =^

(2) x ( t ),... , d

n d t n^ x ( t^ )^ =^

( n ) x ( t ) para as derivadas de 1ª, 2ª,... , n -ésima ordem, respectivamente, de uma variável x ( t ), com t ∈ R.

Sumário

• Figura 32 – Principais tipos de reatores químicos.
• Figura 33 – CSTR para homogenização de mistura.
• Figura 34 – CSTR para homogenização de mistura com dois componentes.
  • em CSTR.
  • reação exotérmica. Figura 36 – CSTR equipado com serpentina para controle de temperatura de
• Figura 37 – CSTR com controle de temperatura e de nível.
• Figura 38 – Esquema de um CSTR para processo bioquímico.
• Figura 39 – Esquema de um CSTR com reação bioquímica simples.
• Figura 40 – Exemplo da lei de Monod.
• Figura 41 – Exemplo da lei de Haldane.
• Figura 42 – Alguns tipos de válvulas reguladoras.
• Figura 43 – Válvula controlável com acionamento pneumático.
  • veis. Figura 44 – Características de vazão em função da abertura das válvulas controlá-
• Figura 45 – Princípio de funcionamento da medição de nível por capacitância.
• Figura 46 – Diagrama P&ID de um processo de controle de nível.
  • ANSI/ISA-5.1. Figura 47 – Exemplo de simbologia de instrumentação estabelecida pela norma
  • zados em processos fluídicos. Figura 48 – Símbolos de atuadores estabelecidos pela norma ANSI/ISA-5.1 utili-
• Figura 49 – Diagrama P&ID de um processo de controle de temperatura.
• Figura 50 – Sistema com quatro reservatórios de líquido interconectados.
• Figura 51 – Tipos de escoamento.
• Figura 52 – Dinâmica do nível de um tanque com capacitância fluídica C
  • tubulação. Figura 53 – Sistema formado pelo acoplamento de dois tanques por meio de
• Figura 54 – Bloco de função de transferência.
• Figura 55 – Conexões comuns entre blocos.
• Figura 56 – Exemplo de equivalência entre diagramas.
• Figura 57 – Diagrama de blocos para o motor CC.
• Figura 58 – Procedimento de simplificação do diagrama de blocos do motor CC.
• Figura 59 – Aproximação da função seno por série de Taylor.
  • por diferença regressiva ( backward difference ). Figura 60 – Aproximação de áreas para integração no método de discretização
  • regressiva ( backward difference ). estável no domínio de Laplace, com a aproximação por diferença
  • por diferença progressiva ( forward difference ). Figura 62 – Aproximação de áreas para integração no método de discretização
  • progressiva ( forward difference ). estável no domínio de Laplace, com a aproximação por diferença
• Figura 64 – Aproximação de áreas para integração no método trapezoidal ( Tustin ).
• Figura 65 – Conceito de um experimento de identificação.
• Figura 66 – Linha de montagem de automóveis com alto grau de automação
• Figura 67 – Controle de temperatura com termostato.
• Figura 68 – Topologia clássica de um sistema de controle realimentado
• Figura 69 – Tipos de controle
• Figura 70 – Exemplo de sistema de controle de nível rudimentar com boia
• Tabela 1 – Analogia entre sistemas elétricos e térmicos
• Tabela 2 – Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz.
• Tabela 3 – Critério de Routh-Hurwitz do Exemplo 5.3.
• Tabela 4 – Critério de Routh-Hurwitz do Exemplo 5.4.
• Prefácio
• 1 Introdução
  • 1.1 Classificação de modelos
  • 1.2 Modelagem caixa-branca versus caixa-preta
• 2 Transformada de Laplace
  • 2.1 Propriedades
  • 2.2 Exemplos
  • 2.3 Teoremas
  • 2.4 Expansão em frações parciais
  • 2.5 Funções de transferência
  • 2.6 Exercícios
• 3 Transformada Z
  • 3.1 Exemplos
  • 3.2 Teoremas
• 4 Modelagem fenomenológica
  • 4.1 Sistemas elétricos
    • 4.1.1 Modelagem por impedâncias
    • 4.1.2 Conversores estáticos CC-CC
  • 4.2 Sistemas mecânicos
    • 4.2.1 Mecânica Newtoniana
    • 4.2.2 Mecânica Lagrangiana
  • 4.3 Sistemas eletromecânicos
  • 4.4 Colunas de destilação
  • 4.5 Sistemas térmicos
  • 4.6 Processos químicos
  • 4.7 Processos bioquímicos
  • 4.8 Sistemas fluídicos
• 5 Representação e análise
  • 5.1 Diagramas de blocos
  • 5.2 Estabilidade
    • 5.2.1 Estabilidade BIBO
    • 5.2.2 Estabilidade assintótica de sistemas LTI
    • 5.2.3 Critério de Routh-Hurwitz
  • 5.3 Linearização de modelos
  • 5.4 Espaço de estados
    • 5.4.1 Representação geral
    • 5.4.2 Relação com a função de transferência
  • 5.5 Discretização
• 6 Identificação
  • 6.1 Representações lineares discretas
  • 6.2 Mínimos quadrados
  • 6.3 Índices de desempenho
• 7 Controle
  • 7.1 Fundamentos de sistemas de controle
  • 7.2 Feedback e feedforward
  • 7.3 Pré-compensador desacoplante
  • 7.4 Controle digital
• Referências

CAPÍTULO 1

Introdução

T

ENTE controlar algo que você não conhece. Isso lhe parece possível? Se não possuir- mos informação a priori de um sistema, ou seja, sobre como ele responde (reage) a estímulos nele causados, não poderemos saber quais são e como devem ser gerados os estímulos adequados para que o sistema responda como desejamos.

u 1 : volante

u 2 : acelerador

u 3 : freio

eixo da via

y 1 : direção

y 2 : velocidade

(a) Localização das entradas e saídas

acelerador (deg)

volante (deg)

freio (deg)

direção (deg)

velocidade (km/h)

massa (kg) potência (cv)

entradas saídas

parâmetros

(b) Representação sistêmica.

Figura 1 – Automóvel percebido como um sistema multivariável com conjuntos de entradas ( u ), parâmetros e saídas ( y ).

Considere o ato de dirigir um automóvel como um exemplo bastante ilustrativo do nosso cotidiano, adaptado do livro de Aguirre (2015). Um automóvel é um sistema que possui diversas entradas, parâmetros e saídas, como ilustrado na Fig. 1. Quando aprendemos a dirigir um automóvel, criamos um “modelo mental” de o quanto (em graus) o volante deve ser girado para que o veículo mude a direção de sua trajetória (também em graus). Note que nós sabemos exatamente qual entrada do sistema mani- pular – neste caso, o ângulo de giro do volante – para controlar a trajetória do veículo, que pode ser representada por meio do ângulo entre o eixo longitudinal do veículo e o eixo da via. Observe também que, com relação ao controle de trajetória, de nada serve manipular os pedais, apesar de também serem entradas de controle (ou seja, podem ser manipuladas por um controlador, automático ou manual). Outra saída do automóvel é a sua velocidade, cujo controle, como sabemos, deve ser feito pelos pedais

1.1. Classificação de modelos 15

palavras, um sistema é algébrico quando uma variação instantânea na entrada causa uma alteração instantânea na saída. Isto não significa que a saída (de posição) é estática, ou seja, que o sistema esteja “parado”^1 : também é possível que ele esteja em equilíbrio dinâmico, com velocidade constante, ou seja, “estática”.

Exemplo 1.1. Considere o circuito resistivo apresentado na Fig. 2. Sendo i ( t ) o valor da entrada^2 ao longo do tempo t ∈ R : t ≥ 0, o valor da saída é

v o( t ) = Ri ( t ) , (1.1)

i ( t ) R

v o( t )

Figura 2 – Circuito elétrico resistivo puro como um exemplo de sistema algébrico.

ou seja, variações instantâneas na corrente i ( t ) causam variações igualmente instantâ- neas na tensão v o( t ): não há dinâmica.

Por outro lado, um modelo é caracterizado como dinâmico , transiente ou transitório quando ele é capaz de representar uma dinâmica (regime transitório) entre a aplicação de um sinal na entrada e a alteração no sinal de saída do sistema. Ou seja, existe uma certa “inércia” na maneira como o sistema responde a um sinal de excitação, e isso é capturado pelo modelo. Observe: o valor da saída em regime permanente (equilíbrio) também pode ser obtido a partir de um modelo dinâmico, mas o comportamento transitório não pode ser reproduzido por um modelo estacionário.

Exemplo 1.2. Um exemplo de sistema dinâmico é o circuito capacitivo apresentado na Fig. 3. Sabe-se que a relação entre a corrente i ( t ) que circula por um capacitor com capacitância C e a tensão v o( t ) sobre ele é

i ( t ) = C

d v o( t ) d t

i ( t ) C

v o( t )

Figura 3 – Circuito elétrico capacitivo puro como um exemplo de sistema dinâmico.

Sendo i ( t ) a entrada do sistema, a sua saída é a tensão sobre o capacitor, que pode ser expressa pela função

v o( t ) = v o(0) +

C

∫ (^) t

0

i ( τ ) dτ. (1.3)

(^1) Modelos desse tipo ainda podem ser denominados quase-estáticos ; neste caso o prefixo quase serve

para enfatizar que o sistema não necessariamente está “parado”. (^2) Impõe-se uma corrente no circuito por meio de uma fonte de corrente.

16 Capítulo 1. Introdução

Quanto ao número de entradas e saídas

Um sistema é SISO (do inglês, single input, single output ) se nele considerar-se somente uma entrada e uma saída. Vale aqui ressaltar que a entrada pode ser de controle – se for possível manipulá-la com o objetivo, por exemplo, de fazer a saída rastrear algum valor de referência – ou de perturbação – em caso contrário. Por exemplo, no circuito da Fig. 2, caso a resistência variasse no tempo poderíamos considerar R ( t ) como um sinal de perturbação: um sinal sobre o qual não temos controle mas que afeta a (tensão de) saída segundo (1.1). Se o sistema apresentar múltiplas entradas e uma saída ele é denominado MISO ( multiple input, single output ); no caso de uma entrada e múltiplas saídas ele é denomi- nado SIMO ( single input, multiple output ); já no caso de múltiplas entradas e múltiplas saídas o sistema é denominado MIMO ( multiple input, multiple output ). Se há um nú- mero menor de entradas do que saídas a serem controladas o sistema é dito subatuado : neste caso não será possível controlar todas as saídas de maneira independente; já se o número de entradas for maior que o de saídas o sistema é dito superatuado , havendo múltiplas combinações entre as entradas que produzem o mesmo valor desejado nas saídas.

Quanto à linearidade

Um modelo é linear com relação a um determinado conjunto de entradas se suas saídas dependem linearmente de tais entradas. É possível também verificar a linearidade por meio do teste da superposição de sinais: no caso de um sistema SISO, se a resposta em regime permanente (ou seja, havendo passado um possível transitório) a uma entrada u 1 ( t ) é y 1 ( t ), e a resposta a uma entrada u 2 ( t ) é y 2 ( t ), a resposta à entrada u 3 ( t ) = αu 1 ( t ) + βu 2 ( t ), com α e β constantes quaisquer, deverá ser y 3 ( t ) = αy 1 ( t ) + βy 2 ( t ). Supondo que a saída seja uma função f ( x ) da entrada x e K uma constante qualquer, a linearidade implica que

f ( x 1 + x 2 ) = f ( x 1 ) + f ( x 2 ) e f ( K x ) = K f ( x ). (1.4) Se este comportamento não for verificado, o sistema é dito não-linear. Por exemplo, no caso do circuito resistivo da Fig. 2, o comportamento estático da saída de tensão com relação à entrada de corrente supondo R = 1 Ω corresponde ao gráfico da Fig. 4. Observe que, em se tratando de uma reta que passa pela origem, este gráfico atende às condições em (1.4) , portanto trata-se de um sistema linear. Este não é o caso entre a mesma entrada de corrente e uma outra saída, a de potência , definida como P ( t ) = Ri^2 ( t ): percebe-se prontamente a relação não-linear.

Quanto à persistência no tempo

Um modelo é dito invariante no tempo se os seus parâmetros são constantes, e vari- ante no tempo caso contrário. Por exemplo, o modelo do circuito resistivo em (1.1) é invariante no tempo porque o seu único parâmetro, R , é constante. Modelos lineares e invariantes no tempo são frequentemente referidos na literatura pela sigla LTI (do inglês, linear and time invariant ). Observe que a variância no tempo pode tornar um sistema não-linear. Por exemplo, imagine que a resistência do circuito da Fig. 2 seja R ( t ), ou seja, variante no tempo. Suponha que y ( i 1 ) = R 1 i 1 , ou seja, a saída a uma entrada de valor i 1 foi obtida com um determinado valor R 1. Já y ( i 2 ) = R 2 i 2 foi obtida com outro valor de resistência, R 2. Note que, neste caso, o princípio da superposição não se aplica e portanto o sistema torna-se não-linear.