UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
CORRELAÇÃO E
REGRESSÃO ESTATÍSTICA
Salvador
Maio – 2009
ÁRTANO SILVA DOS SANTOS
ESPÁRTANO SILVA DOS SANTOS
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Correlação e regressão linear, Notas de estudo de Engenharia Civil
TEMA DE ESTATISTICA
Tipologia: Notas de estudo
Antes de 2010
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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
CORRELAÇÃO E
REGRESSÃO ESTATÍSTICA
Salvador Maio – 2009 ÁRTANO SILVA DOS SANTOS ESPÁRTANO SILVA DOS SANTOS
CORRELAÇÃO E
REGRESSÃO ESTATÍSTICA
Trabalho apresentado ao Professor Jader Cedraz
da Disciplina Métodos Estatísticos – MAT
236, da turma T-09, do curso de
engenharia Civil, turno vespertino.
Universidade Federal da Bahia Salvador – 30/05/
SUMÁRIO
1 - INTRODUÇÃO............................................................................................................
2 – CORRELAÇÃO ESTATÍSTICA.................................................................................
A correlação é a medida padronizada da relação entre duas variáveis indica a força e a direção do relacionamento linear entre duas variáveis aleatórias.
- A correlação nunca pode ser maior do que 1 ou menor do que menos 1.
- Uma correlação próxima a zero indica que as duas variáveis não estão relacionadas.
- Uma correlação positiva indica que as duas variáveis movem juntas, e a relação é forte quanto mais a correlação se aproxima 1.
- Uma correlação negativa indica que as duas variáveis movem-se em direções opostas,
- A relação fica mais forte quanto mais próxima a correlação de -1.
- Duas variáveis que estão perfeitamente correlacionadas positivamente (r=1) movem-se essencialmente em perfeita proporção na mesma direção,
- Dois conjuntos que estão perfeitamente correlacionados negativamente movem- se em perfeita proporção em direções opostas. A relação entre as variáveis é evidenciada pela formação de um padrão no diagrama de Dispersão
2.1 TIPOS DE CORRELAÇÃO
A correlação entre 02 variáveis pode ser:
- Correlação Positiva : O aumento de uma variável corresponde, ao aumento da outra.
- Correlação Negativa: O aumento de uma variável corresponde a diminuição da outra.
- Correlação Linear: Quando é possível ajustar uma reta, ode ser forte (quanto mais próximas da reta) ou fraca (quanto mais próximas da reta).
- Correlação não-linear: Quando não é possível ajustar uma reta.
2.2 DIAGRAMA DE DISPERSÃO
O diagrama de dispersão é um gráfico onde pontos no espaço cartesiano XY são usados para representar simultaneamente os valores de duas variáveis quantitativas medidas em cada elemento do conjunto de dados. Ele é muito útil para comparar dados, como antes e depois. De acordo com a correlação das variáveis o diagrama pode ser:
2.3 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
Coeficiente de correlação indica a força e a direção do relacionamento linear entre as duas variáveis a ser estudada, sendo denotada por r. Vários coeficientes são utilizados para situações diferentes, tais como o coeficiente de correlação de Pearson e o coeficiente Linear.
2.3.1 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR
Esse coeficiente serve para detectar padrões de lineares. (não vale para os padrões não lineares).
- O valor de r estar sempre entre 1 e -1, ou seja − 1 ≤ r ≤ 1
- Se r está próximo de 1, há uma forte correlação positiva.
- Se r está próximo a –1, há uma forte correlação negativa.
- Se r está próximo de 0, não há correlação linear.
2.4 EXERCICIOS RESOLVIDOS
1º) A tabela abaixo mostra o resultado de uma pesquisa com 10 famílias de determinada região.
Famílias Renda (R$) Poupança (R$) Nº de Filhos Média de Anos de Estudo da família A 10 4 8 3 B 15 7 6 4 C 12 5 5 5 D 70 20 1 12 E 80 20 2 16 F 100 30 2 18 G 20 8 3 8 H 30 8 2 8 I 10 3 6 4 J 60 15 1 8
a) Calcular ao coeficiente de correlação Linear entre a renda familiar e a poupança.
Solução:
RENDA (Y) POUPANÇA (X)
X^2 Y^2 XY
F 0 5 3 y =^
F 0 5 3 x =^
F 0 5 3 x
2 =2.152 F 0
5 3 y
2 =26.769 F 0
5 3 xy=7.
Aplicando na Fórmula :
r = (10 x 7.535 )– (120 x 407 = 0, √(10x2.152) – 120^2 √10x26.769 -407 2
Os diferentes valores observados representados pela figura abaixo serão ajustados através da técnica dos mínimos quadrados que permitem ajustar a melhor reta para o conjunto de pontos dados.
Os valores de b e a são sinteticamente determinados pelas fórmulas:
3.2 EXEMPLO RESOLVIDO
Os dados abaixo referem-se ao volume de precipitação pluviométrica (mm) e ao volume de produção de leite tipo C (milhões de litros), em determinada região do país.
a) (^) Ajustar os dados através de um modelo linear b) Admitindo-se, em 1980, um índice pluviométrico de 24 mm, qual deverá ser o volume esperado de produção do leite tipo C? Anos Produção de leite (1.000.000 l)
Índice Pluviométrico (mm) 1970 26 23 1917 25 21 1972 31 28 1973 29 27 1974 27 23 1975 31 28 1976 32 27 1977 28 22 1978 30 26 1979 30 25
Solução:
Y X X 2 XY 26 23 529 598 25 21 441 525 31 28 784 868 29 27 729 783 27 23 529 621 31 28 784 868 32 27 729 864 28 22 484 616 30 26 676 780 30 25 625 750 F 0 5 3 y = 289^
F 0 5 3 x = 250^
F 0 5 3 x^2 =6.^
F 0 5 3 xy = 7.
I –Determinar o valor do Parâmetro b
b = (10x7.273)- (250x289) = 0, (10x6.310) - 250 2
II – Determinar o valor do Parâmetro a
a = 289 - 0,8. 250 = 8, 10 10
III – Equação da Reta Ajustada
y = a + bx
y = 8,9 +0,8x
b) fazendo x = 24 mm temos: y = 8,9 +0,8x24 = 28,1. De acordo co o modelo, podemos esperar 28,1 milhões de litros produzidos para um índice pluviométrico de 24 mm.
4. CONCLUSÃO
Em virtude dos temas e tópicos abordados, pode-se concluir que Correlação e Regressão linear é um tema estatístico de enorme importância e aplicabilidade, não só a disciplinas e profissões afins, tais como matemática, engenharia, estatísticas entre outras, mas também percebemos sua aplicação nas mais variadas áreas de como medicina, farmacologia e até mesmo ma música. Estudar esse tema será ajudará o individuo a melhorar sua percepção estatística fornecendo-o um raciocínio lógico completo.