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UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
PROFESSOR: HIRON PEREIRA FARIAS
DISCIPLINA: PROBABILIDADE E ESTATISTICA
Capítulo 2 Correlação e Regressão linear
2.1 Associação entre variáveis Quantitativas
Apresentaremos medidas numéricas relecionando duas variáveis ao mesmo tempo. A covariância e o coeficiente de correlação medem a tendência e a forca da relação linear entre duas variáveis ou amostras.
2.2 Covariância ( σσσσ xy) A covariância é a média dos produtos dos desvios das duas variáveis.
A Covariância (σxy) das variáveis x = x1, x2, x3,... , xN e y = y 1 , y 2 , y 3 ,... , y N , consideradas como população é :
1
i y
N
i
xy xi x y N
=
= ∑ −
A Covariância (Sxy) das variáveis x = x1, x2, x3,... , xn e y = y 1 , y 2 , y 3 ,... , y n , consideradas como amostra é :
1
x x y y n
S i
n
i
xy i −
∑ − −
2.3 Propriedades:
- A covariância de uma variável e ela mesma é a própria variância da variável, seja no caso de população ou amostra.
A permutação das variáveis não altera o resultado da covariância, se os mesmos pares de valores forem mantidos: σxy = σyx
Se as variáveis X e Y forem estatisticamente independentes, então a covariância destas variáveis será igual zero.
0bs: 1) Se o resultado da covariância das variáveis X e Y for igual a zero, não se pode
afirmar que as duas variáveis sejam estatisticamente independentes. Para confirmar essa independência deve-se verificar se todos os pares de valores de X e Y cumprem a condição: P( X e Y) = P(X∩Y) = P(X). P(Y)
- A covariância pode assumir qualquer valor do conjunto dos números reais, pois pode ser nula, negativa ou positiva.
2.4 Coeficiente de Correlação ( rxy)
Para facilitar a relação entre duas variáveis e evitar a unidade de medida da covariância, foi definido o coeficiente de correlação ( rxy).
Sejam X e Y variáveis
- Se os dados referem-se à população :
x y
xy
Cov xy r σ * σ
( )
2.5 Propriedades:
1) Os valores de rxy estão limitados entre -1 e 1 ; isto é, -1 ≤ rxy ≤ 1; 2) O Coeficiente de correlacão de uma variável e ela mesma é igual a um. rxx = 1 3) rxy = ryx ( se os mesmos pares de valores valores mantidos ). 4) Se X e Y são independentes rxy = ryx = 0
Observação: Para podermos tirar algumas conclusões significativas sobre o
comportamento simultâneo das variáveis analisadas, é necessário que :
Se 0 ≤ | r | < 0,6 ( fraca correlação )
Se 0,6 ≤ | r | ≤ 1 ( forte correlação )
2.8 Medidas de Variação na Regressão
1) Erro padrão da estimativa
Utilizamos o método dos mínimos quadrados para desenvolver o modelo matemático que relaciona a variável Y em função da variável X. Embora o método dos mínimos quadrados resulte em uma linha que se ajusta aos dados com a quantidade mínima de variação, a equação de regressão não é um modelo matemático perfeito de previsão, a menos que todos os pontos ( Xi , Yi ) estejam na linha de regressão. A linha de regressão serve somente como uma previsão aproximada de um valor Y para um dado valor de X. A medida de variabilidade em torno da linha de regressão ( seu desvio padrão ) é chamada de erro padrão da estimativa. O erro da estimativa, dado pelo símbolo Sxy , é definido como
Sxy = 2
( yi - yˆi)
2
∑ n
Em que Yi – ŷi = êi : Resíduos ( desvio em relação a Regressão )
∑ ∑ = =
n
i
i
n
i
yi yi e 1 1
∑ (y^ i^ - yˆi)
2 : soma dos quadrados dos Resíduos
2) Obtenção da soma dos quadrados
STQ : soma total dos quadrados
∑
n
i
STQ (^) yi Yi 1
2 ( )
SQRg : Soma de Quadrados devido à regressão
∑
n
i
ST g yi yi 1
2 Re ( ˆ )
SQRes : Soma de quadrados dos Resíduos
∑
n
i
SQ s yi yi 1
2 Re ( ˆ )
Essas medidas de variação podem ser representadas da seguinte maneira:
STQ = SQRes + SQReg ou SQReg = STQ – SQRes
Exercício1: Considerando uma amostra aleatória, formada por dez dos 98 alunos do curso de Medicina Veterinária da FTB :
Número do aluno
Matemática ( xi )
Estatística ( yi )
Estimativas ( ŷi)
Resíduos ( êi =yi – ŷi) (^) y ˆ i − yi 1 5 6 8 8 9 24 7 8 38 10 10 44 6 5 58 7 7 59 9 8 72 3 4 80 8 6 92 2 2
a) Determine do conjunto:
X =
∑ (^) i
Var x
Média
n
x
2
∑ i
Var y
Média
n
Y
y
2
( ) e (^) ∑ xiyi
b) Determine o coeficiente de correlação e Determinação.
c) Determine a Reta de Regressão
Faça a interpretação do exercício
Estime y para os valores de x dados abaixo na tabela
Xi Estimação ( ŷi ) 4 6 8
f) determine as tabelas de Covariância e Correlação.
Questão3: A quantidade de chuva é um fator importante na produtividade agrícola. Para medir esse efeito foram anotados, para 8 diferentes regiões produtoras de soja, o índice pluviométrico em milímetros (X) e produção do último ano em toneladas (Y ). X 120 140 122 150 115 190 130 118 Y 40 46 45 37 25 54 33 30 Determine o que se pede cada item abaixo:
a) O coeficiente de correlação (r );
b) A equação da reta de regressão;
c) O Coeficiente de determinação ( r^2 );
d) O que você pode concluir com base nos dados acima?
e) As tabelas de covariância e Correlação;
Bibliográfia
- BUSSAB, Wilton de O. & MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. 5ª edição. Editora Saraiva. São Paulo 2002.
- DANTAS , Carlos A. B. Probabilidade : um curso introdutório
- FONSECA, Jairo Simon da. & MARTINS, Gilberto de Andrade. Curso de Estatística. 6ª edição. Editora Atlas: São Paulo.
- LAPPONI, Juan Carlos. Estatística Usando o Excel. 4ª edição. São Paulo. Editora: Campus.
- MAGALHÃES, Marcos Nascimento; LIMA, Antonio Carlos Pedroso de. Noções de Probabilidade e Estatística. 4ª edição. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2002.
- MAGALHÃES, Marcos Nascimento. Probabilidade e Variáveis Aleatórias. 2ª edição. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2006.
- MOOD, A. M.; GRAYBILL, F. A.; BOES, D.C. Introduction to the Theory of Statistics. Third Ediction. McGraw-Hill, 1974.
