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Um resumo de historia da Física
Tipologia: Resumos
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∗Esta ´e uma apostila preparada apenas para uma palestra sobre relatividade. As figuras aqui presentes foram reproduzidas sem autorizac¸ ˜ao dos autores e, portanto, este n˜ao ´e um produto comercializ´avel.
1 A geometria grega
O primeiro personagem nesta pequena hist´oria da geometria ´e o triˆangulo retˆangu- lo: num triˆangulo retˆangulo, a soma dos quadrados dos catetos (de comprimentos a e b) ´e igual ao quadrado da hipotenusa (de comprimento c). Em linguagem matem´atica, a^2 + b^2 = c^2.
Essa ‘verdade’ geom´etrica ´e ensinada no Ocidente como sendo o enunciado b´asico do teorema que hoje leva o nome de Pit´agoras , matem´atico e fil´osofo grego, que viveu entre os anos de 570 a 495 antes de Cristo. Para Pit´agoras e seus disc´ıpulos “o princ´ıpio de todas as coisas ´e o n´umero”. Assim, para os pitag´oricos “a aparˆencia superficial das coisas era apenas aparˆencia, ilus´oria, pois o conhe- cimento da natureza das coisas e a apreciac¸ ˜ao da ordem fundamental do mundo poderiam ser obtidos apenas pela compreens˜ao delas em termos aritm´eticos” [1]. A grande descoberta matem´atica dos pitag´oricos n˜ao foi a do teorema que hoje leva o nome de Pit´agoras, pois ele j´a havia sido descoberto anteriormente, por out- ros povos, mas sim a dos n´umeros irracionais, que surgem naturalmente quando se usa, por exemplo, um triˆangulo retˆangulo com catetos de comprimentos iguais. No entanto, foi a observac¸ ˜ao, feita n˜ao apenas pelos gregos , de que os n´umeros inteiros 3, 4 e 5 satisfazem a relac¸ ˜ao descrita no teorema de Pit´agoras que teve maiores e mais profundas implicac¸ ˜oes filos´oficas. Supondo que trˆes ´e um n´umero ligado a divindade ea perfeic¸ ˜ao^1 e que quatro ´e o n´umero ligado `a Terra^2 , o cinco deve representar a ac¸ ˜ao da divindade na Terra. Combinac¸ ˜oes desses n´umeros ‘m´agicos’ s˜ao valorizadas at´e hoje em diversas culturas: 7 (= 3 + 4) dias da semana, 12 (= 3 + 4 + 5) meses do ano, 12 tribos, etc. As id´eias filos´oficas dos pitag´oricos foram muito importantes, como pode se ver na prov´avel influˆencia que tiveram sobre as id´eias de Plat˜ao (428-348 a.C.), fil´osofo grego, disc´ıpulo do fil´osofo S´ocrates, e professor de outro fil´osofo im-
(^1) Para boa parte dos crist˜aos, hoje, Deus ´e uma trindade, mas para os hindus, antes dos crist˜aos , j´a havia uma trindade divina fundamental: Brahma, Shiva e Vishnu. (^2) Os quatro cantos da terra, ou os quatro elementos formadores, ar, terra, fogo e ´agua, ou, ainda, no misticismo hindu as quatro castas em que as pessoas podem nascer.
Figura 1: Imagens de demonstrac¸ ˜oes do teorema de Pit´agoras em chinˆes e ´arabe.
Figura 2: Os cinco poliedros regulares chamados de s´olidos platˆonicos, formados apenas por figuras geom´etricas planas regulares.
Figura 3: Representac¸ ˜ao do grego Euclides, que reuniu o conhecimento geom´e- trico de sua ´epoca.
Os cinco postulados ou axiomas b´asicos de Euclides s˜ao:
I. uma reta pode ser desenhada de um ponto a outro ponto qualquer;
II. uma linha finita pode ser extendida continuamente numa reta;
III. um c´ırculo pode ser descrito com qualquer centro e qualquer raio;
IV. todos os ˆangulos retos s˜ao iguais;
V. se uma reta encontra outras duas retas de modo que a soma dos dois ˆangulos in- ternos em um mesmo lado dessa reta seja menor que a soma de dois ˆangulos retos, as outras retas, se extendidas infinitamente, ir˜ao se encontrar.
O que impressiona quem lˆe Os Elementos de Euclides ´e que se possa deduzir tanta coisa destes aparentemente simples cinco postulados. O quinto postulado, por sua vez, que ´e uma definic¸ ˜ao de paralelismo entre retas, ´e o mais complexo deles e levou s´eculos para ser devidamente analisado em profundidade.
Figura 4: O movimento aparente de Marte no c´eu.
planeta indica isso, pois vem do grego, onde significa errante, j´a que os planetas parecem, as vezes, estrelas desgarradas, fora de seu caminho correto, que deveria ser com as outras estrelas. No sistema de Ptolomeu, esse mau-comportamento era explicado supondo-se que os planetas se moviam em c´ırculos presos a esferas que giravam ao redor da Terra. A id´eia de um universo ordenado, formado por movimentos perfeitos e, por- tanto, circulares parecia – e ainda parece – bom aos olhos de muita gente. Na Idade M´edia (cerca de 700 a.C. a 1553 d.C.), ´epoca dominada por uma religiosi- dade baseda na autoridade, pensava-se que o Universo era um lugar finito e or- denado, onde cada coisa tinha seu lugar natural: Deus e os anjos pertenciam ao c´eu, os homensa Terra, as esposas a seus maridos e os escravos a seus donos, e a verdade pertencia a Deus e, por conseq¨uˆencia, a seus leg´ıtimos representantes na Terra, os sacerdotes crist˜aos. Em retrospecto, viu-se que tal tipo de atitude conser- vadora foi pouco produtiva, de modo que a Idade M´edia passou a ser alcunhada de “Idade das Trevas”.
2 O Renascimento
Renascimento ´e o nome aplicado ao movimento de renovac¸ ˜ao intelectual e art´ıs- tica iniciado na It´alia, no s´eculo XIV, e que atingiu seu apogeu no s´eculo XVI, influenciando v´arias outras regi˜oes da Europa. A noc¸ ˜ao de renascimento diz res-
Figura 5: A explicac¸ ˜ao do movimento de Marte feita no sistema geocˆentrico de Ptolomeu, usando apenas movimentos circulares.
peito a restaurac¸ ˜ao dos valores do mundo cl´assico, grego e romano. Nessa ´epoca, as l´ınguas europ´eias passaram a substituir o latim, tanto na poesia quanto na prosa. A invenc¸ ˜ao da imprensa contribuiu para a disseminac¸ ˜ao das id´eias, entre as quais estava uma nova abordagem centrada no homem, e n˜ao mais em Deus ou na au- toridade divina ou sacerdotal. A invenc¸ ˜ao da perspectiva significou a possibili- dade de uma pintura mais realista da natureza. O novo esp´ırito de investigac¸ ˜ao estendeu-sea geografia e `a cartografia, e o impulso de investigar o mundo levou ao descobrimento e colonizac¸ ˜ao do Novo Mundo. Um exemplo claro da mudanc¸a ocorrida no Renascimento pode ser visto no contraste entre a arte g´otica, predominante na Idade M´edia, que se caracterizava por apresentar figuras delgadas, padronizadas, sem uso de uma perspectiva tridi- mensional (o mesmo pode ser visto nas figuras eg´ıpcias), e a arte de Leonardo da Vinci, por exemplo. Uma famosa tapec¸aria medieval, a Tapec¸aria de Bayeux^5 , que conta a conquista da Inglaterra pelos normandos, embora seja bem mais re- alista que a m´edia da arte de sua ´epoca, mostra personagens humanos rasos, o que (^5) Bayeux ´e uma pequena cidade no norte da Franc¸a, na regi˜ao da Normandia, pr´oxima do litoral.
Figura 7: A ´Ultima Ceia , de Leonardo da Vinci.
feito por Johannes Kepler (1571-1630), astrˆonomo alem˜ao que foi o primeiro a descrever precisamente as ´orbitas el´ıpticas da Terra e dos planetas em torno do Sol. Kepler trabalhou com Tycho Brahe no observat´orio de Tycho nos arredores de Praga e assumiu o observat´orio quando ele morreu, em 1601. Tycho deixou para Kepler suas tabelas das posic¸ ˜oes estelares e planet´arias. Com essas tabelas, depois de um grande esforc¸o de an´alise, tentando um modelo matem´atico ap´os o outro, Kepler deduziu o que s˜ao agora conhecidas como as leis de Kepler, mas a explicac¸ ˜ao f´ısica dessas leis teve que esperar pela lei da gravitac¸ ˜ao universal de Newton. Kepler tamb´em fez descobertas em ´optica, f´ısica geral e geometria. Segundo as id´eias iniciais de Kepler, n˜ao era por acaso que haviam apenas cinco planetas (Merc´urio, Vˆenus, Marte, J´upiter e Saturno, que s˜ao os ´unicos vis´ıveis a olho nu) e cinco s´olidos platonicos perfeitos: o universo tinha uma harmonia perfeita... As trˆes leis de Kepler s˜ao:
Figura 8: Representac¸ ˜ao de Nicolau Cop´ernico.
Figura 9: Retrato de Ren´e Descartes.
A importˆancia de Galileu para a ciˆencia ´e t˜ao grande que as vezes, em vis˜oes resumidas da hist´oria, seus contemporˆaneos s˜ao quase esquecidos. Um destes ´e Ren´e **Descartes** (1596-1650), fil´osofo e matem´atico francˆes. Descartes inventou as coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representac¸ ˜ao num´erica de propriedades geom´etricas, possibilitando assim o que hoje se conhece como geometria anal´ıtica. Na hist´oria da filosofia, por outro lado, Descartes ´e geralmente reconhecido como um dos fundadores do racionalismo. Ele procurou delinear as bases da certeza acerca da natureza do conhecimento, recorrendo para isso ao seu “M´etodo da D´uvida”, cujo objetivo ´e alcanc¸ar uma opini˜ao ou crenc¸a que n˜ao esteja sujeitaa duvida e construir todo o conhecimento a partir desse fundamento. A frase que se tornou o s´ımbolo do pensamento de Descartes ´e “ cogito ergo sum ” (penso, logo existo), ou seja, na vis˜ao de mundo cartesiana pensar ´e a mais importante propriedade da existˆencia humana. Descartes ´e bastante negligenciado n˜ao apenas por causa de Galileu, mas tam- b´em por causa do aparecimento de Isaac Newton (1642 - 1727), que foi um ex- celente f´ısico e matem´atico, disciplina em que se consagrou em c´alculo infinitesi- mal^7. Tamb´em foi descobridor de v´arias leis da f´ısica, entre elas a lei da gravidade. Para ele, a func¸ ˜ao da ciˆencia era descobrir leis universais e enunci´a-las de forma precisa e racional. Por causa da peste, em 1666, Newton deixou Londres e foi (^7) Al´em disso Newton foi qu´ımico – o que geralmente n˜ao se comenta.
para sua fazenda. Neste ano de retiro, conhecido hoje como annus mirabilis (ano maravilhoso), construiu quatro de suas principais descobertas: o teorema bino- mial, o c´alculo, a lei da gravitac¸ ˜ao e a teoria sobre a natureza das cores. Suas principais contribuic¸ ˜oes foram a lei da gravitac¸ ˜ao universal e a conceituac¸ ˜ao pre- cisa de massa, momento, in´ercia, forc¸a e acelerac¸ ˜ao. Newton construiu o primeiro telesc´opio de reflex˜ao, e foi quem primeiro estudou a decomposic¸ ˜ao da luz solar por um prisma. Sua principal obra, a publicac¸ ˜ao Philosophiae naturalis principia mathematica , trazia o enunciado da lei da gravitac¸ ˜ao universal, generalizando e ampliando as constatac¸ ˜oes de Kepler, e resumia suas descobertas, principalmente o c´alculo, tratando essencialmente sobre f´ısica, astronomia e mecˆanica (leis dos movimentos, movimentos de corpos em meios resistentes, vibrac¸ ˜oes isot´ermicas, velocidade do som, densidade do ar, queda dos corpos na atmosfera, press˜ao at- mosf´erica, etc), tudo usando matem´atica pura. T˜ao importante quanto os resultados obtidos a partir do trabalho matem´atico de Newton foram as id´eias filos´oficas em que esse trabalho repousava. De grande relevˆancia s˜ao os conceitos de espac¸o e tempo de Newton, expressos por ele nos Principia :
I ”O tempo absoluto, verdadeiro e matem´atico flui sempre igual por si mesmo e por sua natureza, sem rela¸c˜ao com qualquer coisa externa (...)
II O espa¸co absoluto, por sua natureza, sem nenhuma rela¸c˜ao com algo externo, permanece sempre semelhante e im´ovel (...)
Assim como a ordem das partes do tempo ´e imut´avel, tamb´em o ´e a ordem das partes do espa¸co.”
Tal idealizac¸ ˜ao do tempo e do espac¸o como sendo absolutos perduraria algumas centenas de anos.
ramo da matem´atica, chamado hoje de geometria Riemanniana, e que ´e nada mais nada menos que uma generalizac¸ ˜ao da geometria plana. Assim, Riemann formu- lou o primeiro modelo conhecido para o hiperespac¸o, um espac¸o de mais que trˆes dimens˜oes. Ao morrer ainda jovem de tuberculose, Riemann estava preocupado em tentar unificar a eletricidade, o magnetismo e a gravitac¸ ˜ao numa ´unica teoria, usando sua teoria geom´etrica. Quem quase conseguiu tal feito foi seu contemporˆaneo James Clerk Maxwell (1831-1879), f´ısico britˆanico que se tornou o primeiro diretor do laborat´orio Cavendish, em Cambridge. Maxwell unificou a eletrici- dade e o magnetismo, desenvolvendo uma teoria do eletromagnetismo a partir de uma matem´atica de quatro dimens˜oes que envolve entidades conhecidas como quat´ernions^8. Hoje em dia, entretanto, suas leis do eletromagnetismo s˜ao vistas usando-se vetores tridimensionais. De qualquer modo, Maxwell foi o primeiro a prever a existˆencia da radiac¸ ˜ao eletromagn´etica, e a descrever a luz como uma onda eletromagn´etica. Al´em disso, Maxwell tamb´em contribuiu grandemente para a elaborac¸ ˜ao da teoria cin´etica da mat´eria e descobriu a lei que governa a distribuic¸ ˜ao de velocidade entre as mol´eculas de um g´as^9.
5 A relatividade: geometria em quatro dimens˜oes
Foi pensando sobre o trabalho de Maxwell e a natureza da luz^10 que o f´ısico e matem´atico alem˜ao Albert Einstein (1879-1955) criou a teoria da relatividade, mudando radicalmente as id´eias sobre o espac¸o, o tempo e a natureza do universo. Em 1905, Einstein utilizou com sucesso a ainda nascente teoria quˆantica para ex- plicar o efeito fotoel´etrico, recebendo por isso o Prˆemio Nobel de F´ısica de 1921.
(^8) O criador da teoria dos quat´ernions foi o irlandˆes William Rowan Hamilton (1805-1865), que fez contribuic¸ ˜oes importantes para a ´otica, a dinˆamica e a ´algebra. A formulac¸ ˜ao Hamiltoniana da mecˆanica cl´assica ´e fundamental para a construc¸ ˜ao da mecˆanica quˆantica. (^9) O eletromagnetismo de Maxwell, a mecˆanica de Newton e a teoria termodinˆamica desen- volvida no s´eculo XIX formam um conjunto que se convencionou chamar de f´ısica cl´assica. (^10) O artigo de Einstein que exp˜oe a teoria da relatividade pela primeira vez se chama Sobre a eletrodinˆamica de corpos em movimento.
Figura 10: Fotografia de Albert Einstein.
Mas, mais importante, foi ainda em 1905 que Einstein apresentou a teoria espe- cial da relatividade (tamb´em conhecida como relatividade restrita), descrevendo os efeitos do movimento nos valores observados de comprimento, massa e tempo. Uma conseq¨uˆencia de sua teoria ´e que a massa, m, ´e equivalente `a energia, E, um conceito expresso pela equac¸ ˜ao
E = mc^2 ,
onde c e a velocidade da luz, que vale cerca de 300.000 km/s.´ Embora a teoria de Einstein receba o nome de relatividade, ela se baseia na busca de invariantes, isto ´e, quantidades que sejam constantes ou iguais para qual- quer observador ou, em outras palavras, quantidades independentes do sistema de coordenadas escolhido para se tomarem medidas f´ısicas. Isso fica claro num artigo em que o pr´oprio Einstein exp˜oe a teoria da relatividade geral, “A base da teoria da relatividade geral” , de 1916, onde se lˆe^11 : (^11) Nesse trecho aparece o nome de Lorentz (Hendrik Antoon Lorentz, 1853-1928), f´ısico holandˆes que recebeu o Prˆemio Nobel de 1902 por seu trabalho sobre a radiac¸ ˜ao eletro- magn´etica. Estudando as equac¸ ˜oes de Maxwell, Lorentz descobriu que elas eram invariantes, isto
“As vis˜oes de espa¸co e tempo que quero deixar diante de vocˆes brotaram do solo da f´ısica experimental, e a´ı reside sua for¸ca. Elas s˜ao radicais. De agora em diante o espa¸co por si mesmo, e o tempo por si mesmo, est˜ao fadados a se transformar em sombras, e apenas um tipo de uni˜ao dos dois ir´a preservar uma realidade independente.” O que Minkowski percebeu foi que o trabalho de Einstein poderia ser me- lhor compreendido usando-se uma geometria n˜ao-euclidiana, similar `a de Loba- chetvski, de 4-dimens˜oes: as trˆes dimens˜oes do espac¸o mais o tempo. Tal cons- truc¸ ˜ao geom´etrica ficou conhecida como o espac¸o de Minkowski. Na arte, pode-se notar que o cubismo foi fortemente influenciado pela id´eia de uma quarta dimens˜ao. Por exemplo, no cubismo tentou-se ver a realidade atrav´es dos olhos de uma pessoa quadridimensional. Tal ser, olhando para uma face humana, veria todos os ˆangulos ao mesmo tempo. Assim, ambos os olhos seriam vistos de uma vez por um ser quadridimensional, como no quadro de Pablo Picasso Retrato de Dora Maar. Incorporando o conceito de espac¸o-tempo criado por Minkowski, Einstein ex- pandiu suas id´eias na teoria da relatividade geral, publicada em 1915, que ´e cen- trada na gravitac¸ ˜ao e nos efeitos do movimento acelerado. O que Einstein no- tou foi que a forc¸a da gravidade pode ser vista como devida a uma curvatura do espac¸o-tempo. Assim, a gravitac¸ ˜ao nada mais ´e que uma conseq¨uˆencia da geome- tria do universo: o espac¸o ´e curvado por influˆencia da massa. Nessa vis˜ao, o movi- mento dos corpos ´e controlado pela curvatura e at´e mesmo a luz pode ser desviada pelo campo gravitacional de corpos s´olidos, como se houvesse ali uma lente. A curvatura do espac¸o-tempo ´e quantificada com as ferramentas matem´aticas de- senvolvidas por Riemann no s´eculo XIX, atrav´es de medidas no pr´oprio espac¸o- tempo, generalizando as id´eias que Gauss teve sobre a medida de curvatura das superf´ıcies. ´E importante notar que na teoria da relatividade geral o espac¸o-tempo deixa de ser uma entidade absoluta e passiva, contrariando de vez as noc¸ ˜oes de Newton. Sendo judeu, Einstein foi perseguido pelos nazistas e em 1932 teve de deixar a Alemanha. Depois de uma r´apida passagem pela Inglaterra, fixou-se nos Esta-
Figura 11: Retrato de Dora Maar , de Pablo Picasso.
Figura 12: Figura ilustrando a id´eia da curvatura do espac¸o-tempo.
