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CORTES DE DEDEKIND
(CONSTRUC¸ ˜AO DOS N ´UMEROS REAIS)
MARCO A. S. SOUTO (FORTALEZA - VER AO 2006)˜
UM CORPO ORDENADO E COMPLETO
O objetivo destas notas ´e construir um corpo ordenado completo contendo o conjunto dos n´umeros racionais. O leitor deve ter como pr´e-requisito conceitos referentes a um corpo ordenado, mais especificamente, vamos considerar o corpo ordenado dos n´umeros racionais Q. Dizemos que um sub-conjunto α ⊂ Q, de n´umeros racionais ´e um corte de Dedekind, se satisfaz as seguintes propriedades: (D 1 ) α 6 = ∅, (Q \ α) 6 = ∅; (D 2 ) Se a ∈ α ent˜ao para todo racional b tal que b ≥ a, deveremos ter b ∈ α; (D 3 ) Para cada a ∈ α existe c ∈ α tal que c < a.
S˜ao exemplos de cortes de Dedekind os conjuntos abaixo: (1) 0 = Q+ = {r ∈ Q : r > 0 }; (2) −1 = {r ∈ Q : r > − 1 }; (3) Para cada z ∈ Q, z = {r ∈ Q : r > z} ´e um corte de Dedekind; (4) γ 2 = {r ∈ Q : r > 0 e r^2 > 2 }. Mostrar que (1), (2) e (3) s˜ao cortes ´e um exerc´ıcio simples. Para mostrar que γ 2 ´e um corte, observe que 0 ∈/ γ 2 , 2 ∈ γ 2 e portanto (D 1 ) ´e satisfeito. Se a ∈ γ 2 e b ≥ a, ent˜ao b ≥ a > 0 e b^2 > a^2 > 2 ou seja b ∈ γ 2 e γ 2 satisfaz (D 2 ). Finalmente, seja a = pq ∈ γ 2 , ent˜ao p^2 − 2 q^2 = m ≥ 1. Veja que c = (^) nqnp+1 < a e se escolhermos
n = 8q, ent˜ao c^2 > 2 ou seja γ 2 satisfaz (D 3 ).
N˜ao s˜ao exemplos de cortes de Dedekind os conjuntos abaixo: (1) {r ∈ Q : r ≥ 0 } que satisfaz (D 1 ) e (D 2 ) mas n˜ao satisfaz (D 3 ) para a = 0; (2) {r ∈ Q : r < − 1 } que satisfaz (D 1 ) e (D 3 ) mas n˜ao satisfaz (D 2 ) para b = −1; (3) Q n˜ao satisfaz (D 1 ); (4) Conjuntos limitados superiormente. Estes n˜ao satisfazem a propriedade (D 2 ). A id´eia do corte de Dedekind ´e a de “cortar”a reta em duas semi-retas. Aqui “cortar” significa decompor Q em dois conjuntos A e α tais que: Q = A ∪ α, A ∩ α = ∅ e se a ∈ α, r ∈ A ent˜ao devemos ter r < a (Veja [1], [2] para mais detalhes). Veja tamb´em as notas complementares no final deste manuscrito.
in Seja R a fam´ılia de todos os cortes de Dedekind, ou seja,
R = {α ⊂ Q : α satisfaz (D 1 ), (D 2 ) e (D 3 )}.
Nosso objetivo ´e mostrar que R munido de opera¸c˜oes adequadas possui estrutura de um corpo ordenado. 1
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Dados α, β ∈ R, diremos que α ´e menor que ou igual a β, se β ⊂ α. Indicaremos esta situa¸c˜ao por α π β. α ≺ β indica que β ⊂ α e α 6 = β.
Observe que 0 ≺ α ´e equivalente `a α ⊂ Q+ e existe r > 0 tal que r /∈ α.
Vamos mostrar a tricotomia para esta ordem, ou seja, vamos provar que dados α, β ∈ R, apenas uma das trˆes possibilidades seguintes pode ocorrer: (1) α ≺ β; (2) α = β; (3) β ≺ α. Com efeito, se (2) ocorre ent˜ao, por defini¸c˜ao, (1) e (3) n˜ao s˜ao satisfeitas. Vamos supor que α 6 = β e que α n˜ao est´a contido em β (em outras palavras (2) e (3) n˜ao ocorrem). Isto significa que existe a ∈ α mas a /∈ β. Deveremos mostrar ent˜ao que β ⊂ α. Suponha, por absurdo, que isto n˜ao ocorre. Ent˜ao existe um elemento b ∈ β tal que b /∈ α. Ora, c = max{a, b} est´a em α ∩ β pois satisfaz simultaneamente c ≥ a e c ≥ b e isto contradiz a escolha de a e b.
Proposi¸c˜ao 1. Suponha que α, β ∈ R. Ent˜ao: (1) α + β = {a + b : a ∈ α e b ∈ β} ´e um elemento de R; (2) Se 0 ≺ α e 0 ≺ β ent˜ao α.β = {ab : a ∈ α e b ∈ β} ´e um elemento em R tal que 0 ≺ α.β.
Prova de (1): Come¸caremos por (D 2 ). Seja a ∈ α + β e b ≥ a. Assim existem a 1 ∈ α e b 1 ∈ β tais que a = a 1 + b 1 e temos a desigualdade b − a 1 ≥ b 1. Sendo β um corte temos b − a 1 ∈ β e conseq¨uentemente, b = a 1 + (b − a 1 ) ∈ α + β, ou seja, α + β satisfaz (D 2 ). Para mostrar (D 3 ), se a = a 1 + b 1 , com a 1 ∈ α e b 1 ∈ β, existem c 1 ∈ α e c 2 ∈ β tais que c 1 < a 1 e c 2 < b 1. Veja que c = c 1 + c 2 ∈ α + β e c < a, provando que α + β satisfaz (D 3 ). (D 1 ) ´e f´acil e fica como exerc´ıcio. Prova de (2). Seja a ∈ α.β e b ≥ a. Assim existem racionais positivos a 1 ∈ α e b 1 ∈ β tais que a = a 1 .b 1 e temos a desigualdade (^) ab 1 ≥ b 1. Sendo β um corte temos b a 1 ∈^ β^ e conseq¨uentemente,^ b^ =^ a^1.^
b a 1 ∈^ α.β, ou seja,^ α.β^ satisfaz (D^2 ).^ Para mostrar (D 3 ), se a = a 1 .b 1 , com a 1 ∈ α e b 1 ∈ β, existem racionais positivos c 1 ∈ α e c 2 ∈ β tais que c 1 < a 1 e c 2 < b 1. Veja que c = c 1 .c 2 ∈ α.β e c < a, provando que α.β satisfaz (D 3 ). (D 1 )tamb´em ´e f´acil e fica como exerc´ıcio. § A opera¸c˜ao definida em R pelo ´ıtem (1) da proposi¸c˜ao anterior ´e chamada adi¸c˜ao.
Observa¸c˜ao 1. A opera¸c˜ao adi¸c˜ao ´e comutativa, associativa e possui o conjunto 0 = Q+ como elemento neutro, ou seja, α + 0 = α para todo α ∈ R.
De fato. Se a ∈ α, por (D 3 ) existe c ∈ α tal que c < a, ou seja a − c ∈ 0 e a = c + (a − c) ∈ α + 0. Mostramos que α ⊂ α + 0. Reciprocamente, se a ∈ α + 0, existem a 1 ∈ α e ε > 0 tais que a = a 1 + ε. Como a > a 1 , por (D 2 ), teremos a ∈ α e assim α + 0 ⊂ α.
A opera¸c˜ao definida em R+ = {α ∈ R : 0 ≺ α} pelo ´ıtem (2) da proposi¸c˜ao anterior ´e chamada multiplica¸c˜ao.
Observa¸c˜ao 2. A opera¸c˜ao multiplica¸c˜ao ´e comutativa, associativa e possui o con- junto 1 = {r ∈ Q : r > 1 } como elemento neutro, ou seja, α.1 = α para todo α ∈ R+.
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Finalmente mostremos que α + β = 0, quando α ∈/ Γ(Q). Se ε > 0 e a ´e um elemento de α, veja que a + ε ∈ α e −a + ε ∈ β e podemos escrever 2ε = a + ε + (−a + ε) ∈ α + β. Isto mostra que 0 ⊂ α + β. Reciprocamente se a = a 1 + b 1 com a 1 ∈ α e b 1 ∈ β. Assim −a 1 ∈/ β e dessa forma devemos ter b 1 > −a 1 , mostrando que a > 0 e α + β ⊂ 0. O Lema est´a provado. §
Observa¸c˜ao 3. Pela tricotomia da ordem ≺ temos que α ≺ β ou β ≺ α, uma vez que a possibilidade β = α n˜ao ocorre. Sem perder a generalidade vamos supor que β ≺ α, ou seja α ⊂ β. Neste caso devemos ter 0 ∈ β mas 0 ∈/ α, β ≺ 0 ≺ α.
O corte β dado pelo Lema 1 ser´a denotado por −α. Claro que α + (−α) = 0 e −α = {x ∈ Q : −x /∈ α} \ Γ−^1 (α).
Lema 2. (R+, ·) ´e um grupo comutativo com elemento neutro.
Prova: Veja que o que resta mostrar ´e que para cada α ∈ R+ existe um elemento β tal que α.β = 1. Com efeito, se α = r, para algum r > 0 ent˜ao, pela proposi¸c˜ao anterior no seu ´ıtem (3), β = r−^1 ´e o corte procurado. Agora suponha que α /∈ Γ(Q+) e defina β = {r ∈ Q+ : r−^1 ∈/ α}. Veja que α = {s ∈ Q+ : s−^1 ∈/ β} e certamente que r ∈ α ⇔ r−^1 ∈/ β. Mostremos que β ∈ R+. Como existem elementos racionais positivos x, y tais que x ∈ α e y /∈ α, ent˜ao x−^1 ∈/ β e y−^1 ∈ β, mostrando (D 1 ). Se a ∈ β e b ≥ a, ent˜ao a−^1 ∈/ α e b−^1 ≤ a−^1. Assim b−^1 ∈/ α e isto estabelece que b ∈ β, (D 2 ) est´a justificada. Seja a ∈ β. Afirmo que existe c ∈ Q+ tal que c < a e c ∈ β. Caso contr´ario, para todo c ∈ β dever´ıamos ter c ≥ a, ou seja β ⊂ {a} ∪ a. Como β satisfaz (D 2 ), na verdade β = {a} ∪ a = {r ∈ Q+ : r ≥ a}. Portanto α = {s ∈ Q+ : s > a−^1 } ou seja α = a−^1 ∈ Γ(Q+), contrariando a escolha de α. Mostramos at´e agora que β ´e um corte de Dedekind. Finalmente mostremos que α.β = 1, quando α /∈ Γ(Q+). Se ε > 1 e a ´e um elemento de α. Sendo ε = pq ent˜ao m = p − q ≥ 1. Tomando cn = n+1 n > 1,
para n = 4q vemos que c^2 n < ε. Assim a.cn ∈ α e a−^1 cn ∈ β e podemos escrever c^2 n = a.cn.a−^1 .cn ∈ α.β e conseq¨uentemente ε ∈ α.β. Isto mostra que 1 ⊂ α.β. Reciprocamente, seja a = a 1 .b 1 com a 1 ∈ α e b 1 ∈ β. Assim a− 1 1 ∈/ β e dessa forma devemos ter b 1 > a− 1 1 , mostrando que a > 1 e α.β ⊂ 1. O Lema est´a provado. §
Observa¸c˜ao 4. Pela tricotomia da ordem ≺ temos que α ≺ β ou β ≺ α, uma vez que a possibilidade β = α n˜ao ocorre. Sem perder a generalidade vamos supor que β ≺ α, ou seja α ⊂ β. Neste caso devemos ter 1 ∈ β mas 1 ∈/ α, β ≺ 1 ≺ α.
Agora podemos definir, a partir do Lema 2, a multiplica¸c˜ao de dois cortes quais- quer. Se α e β s˜ao elementos de R defina: (1) α.0 = 0; (2) Se α ≺ 0 ≺ β, defina α.β = −(β.(−α)) (3)Se α, β ≺ 0, defina α.β = (−β).(−α)
Fica como exerc´ıcio para o leitor verificar que (R, +, ·) possui a estrutura de um corpo ordenado. o conjunto P = {α ∈ R : α ⊂ Q+} ´e o conjunto dos elementos positivos de R.
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Agora vamos demonstrar que com esta estrutura, R ´e um completo.
Teorema 2. Todo subconjunto de R limitado inferiormente admite um ´ınfimo.
Prova: Como X ´e limitado inferiormente existe δo ∈ R tal que δo π α para todo α ∈ X. Veja que X ´e uma fam´ılia de subconjuntos de Q indexada pelo pr´oprio conjunto X, ou seja, X ´e a fam´ılia (α)α∈X. Agora considere a uni˜ao da fam´ılia dada assim:
γ =
α∈X
α = {a ∈ Q : existe α ∈ X tal que a ∈ α}.
Mostremos que γ ´e um corte de Dedekind: (D 1 ) Como ∅ 6 = α ⊂ δo, para todo α ∈ X, ent˜ao deveremos ter γ ⊂ δo e portanto Q \ γ e γ, n˜ao s˜ao vazios. (D 2 ) Seja a ∈ γ e b ≥ a. Dessa forma existe α ∈ X tal que a ∈ α e conseq¨uente- mente b ∈ α ⊂ γ. (D 3 ) Seja a ∈ γ. Dessa forma existe α ∈ X tal que a ∈ α e conseq¨uentemente existe c ∈ α ⊂ γ tal que c < a. Agora temos γ ∈ R. Mostraremos agora que γ = inf X. Com efeito, como α ⊂ γ, para todo α ∈ X, teremos que γ π α, para todo α ∈ X, ou seja γ ´e uma cota inferior de X. Seja δ ∈ R tal que γ ≺ δ. Para finalizar devemos mostrar que δ n˜ao ´e cota inferior. Com efeito, como γ 6 = δ existe um racional r tal que r ∈ γ mas r /∈ δ. Como r ∈ γ, existe α ∈ X tal que r ∈ α. A tricotomia e o fato de r ∈ α\δ implicam que α ≺ δ e o teorema fica demonstrado. § NOTAS COMPLEMENTARES A id´eia central de um corte est´a relacionado com intervalos (z, +∞) da reta real. Mais especificamente, para cada z ∈ R, considere o conjunto
Iz = {r ∈ Q : r > z} = Q ∩ (z, +∞).
Com facilidade vocˆe pode mostrar que Iz ∈ R.
Referˆencias
[1] Luiz A. J. Medeiros & outros, Li¸c˜oes de An´alise Matem´atica UFRJ, Rio de Janeiro,
[2] Walter Rudin Principles of Mathematical Analysis, McGraw Hill Books Company Inc., 1953, New York.
