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1 N´umeros Complexos
Um n´umero complexo z ´e uma express˜ao da forma z = a + ib, sendo que a e b s˜ao n´umeros reais e i um n´umero imagin´ario puro que satisfaz i^2 = −1. Definimos a = Re(z) ( parte real de z) e b = Im(z) ( parte imagin´aria de z). O conjugado de z ´e definido por ¯z = a − ib e o valor absoluto ou m´odulo de z por |z| =
a^2 + b^2. Dados dois n´umeros complexos z = x + iy e w = u + iv podemos definir as opera¸c˜oes soma, subtra¸c˜ao, multiplica¸c˜ao e divis˜ao de n´umeros complexos da seguinte maneira :
- z + w = (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v)
- z − w = (x + iy) − (u + iv) = (x − u) + i(y − v)
- z.w = (x + iy).(u + iv) = (xu − yv) + i(xv + yu)
- (^) wz = xu++iyiv .uu−−iviv = xuu 2 ++yvv 2 + iyuu 2 −+xvv 2 , se w 6 = 0
O conjunto dos n´umeros complexos munido com tais opera¸c˜oes ´e denotado por C. A partir dessas defini¸c˜oes, algumas propriedades podem ser facilmente verificadas :
(a) z ± w = ¯z ± w¯
(b) zw = ¯z w¯
(c) z z¯ = |z|^2
(d) Re(z) = z+¯ 2 z
(e) Im(z) = z− 2 i¯z.
Em C, definimos a fun¸c˜ao exponencial da seguinte maneira
ez^ = exp(z) =
∑^ ∞ n=
zn n!
= 1 + z +
z^2 2
Utilizando o crit´erio da raz˜ao verifica-se que o raio de convergˆencia da s´erie complexa acima ´e ∞, ou seja, a s´erie converge para todo n´umero complexo. Em particular, para z = iθ, θ ∈ R, devido a convergˆencia absoluta de (1), n´os obtemos a f´ormula de Euler :
eiθ^ =
∑∞ n=
(iθ)n n! =
∑∞ n=
(iθ)^2 n (2n)! +^
∑∞ n=
(iθ)^2 n+ (2n+1)! = 1 − θ 2 2 +^
θ^4 4! +^...^ +^ i(θ^ −^
θ^3 3! +^
θ^5 5! +^.. .) eiθ^ = cos θ + isen θ.
(Observemos que i^2 n^ = (i^2 )n^ = (−1)n.) Al´em disso, e−iθ^ = cos θ − isen θ = eiθ. Portanto, devido a (d) e (e) conclu´ımos que :
cos θ =
eiθ^ + e−iθ 2
, sen θ =
eiθ^ − e−iθ 2 i
A partir da f´ormula de Euler, algumas demonstra¸c˜oes de identidades trigonom´etricas se tornam muito mais simples. Por exemplo, uma vez que
eiθeiφ^ = ei(θ+φ)
n´os temos que
(cos θ + isen θ)(cos φ + isen φ) = cos(θ + φ) + isen (θ + φ),
e se n´os multiplicarmos o lado esquerdo da igualdade acima e igualarmos a parte real e a imagin´aria, obteremos ambas as f´ormulas de seno e cosseno de uma soma. Dado z = x + iy, um n´umero complexo, seja θ o ˆangulo que a reta que passa por (x, y) e a origem (0, 0) faz com o eixo-x no plano cartesiano, desta forma, vemos que :
cos θ =
x √ x^2 + y^2
x |z|
, sen θ =
y √ x^2 + y^2
y |z|
ent˜ao, podemos escrever :
z = x + iy = |z| cos θ + i|z|sen θ = |z|(cos θ + isen θ) = |z|eiθ. E chamamos θ = arctan yx como sendo o argumento de z (n˜ao ´e univocamente de- terminado). Esta representa¸c˜ao de n´umero complexo ´e chamada de forma polar. E se z = r(cos θ + isen θ) = reiθ, vemos ent˜ao que
zn^ = (reiθ)n^ = rneinθ^ = rn(cos nθ + isen nθ).
Exerc´ıcios
- Ache a parte real, a parte imagin´aria e o valor absoluto dos n´umeros complexos: (i + 2)/(i − 2); (1 + i
3)^2 ; 1 /(1 − i); (2 − 3 i)/(3 + 2i); (2 − 3 i)^3 ; e2+5i; e^8 i.
- Escreva na forma polar os seguintes n´umeros complexos: 3 − 4 i; −
2 i; (1 + i)/(1 − i), −1 + i
- Escreva na forma a + ib os seguintes n´umeros complexos: (1/2 + i
3 /2)^63 ; (1 + i)^69.
- Mostre usando a f´ormula de Euler que sen 2θ = 2sen θ cos θ e que cos 2θ = cos^2 θ−sen 2 θ.
- Obtenha f´ormulas para cos 3θ e sen 3θ.
- Mostre que |eiθ| = 1 para todo θ real.
Exemplo 2.1 Obtenha a forma complexa da s´erie de Fourier da fun¸c˜ao
f (x) =
{ 1 , 0 ≤ x ≤ π 0 , −π < x < 0
f (x + 2π) = f (x). Como l = π, obtemos f (x) =
∑^ ∞ n=−∞
cneinx,
em que
cn =
2 π
∫ (^) π
−π
f (x)e−inxdx, ∀n ∈ Z.
Como c 0 = 12 e segue para n 6 = 0 que :
cn = (^21) π
∫ (^0) −π 0 e −inxdx + 1 2 π
∫ (^) π 0 1 e −inxdx
= (^21) π
[ e−inx −in
∣∣ ∣∣
π 0
]
= (^21) π
[ i n (e
−inπ (^) − 1)
]
cn = (^2) nπi [(−1)n^ − 1].
Assim
f (x) =
∑^ ∞
n=−∞,n 6 =
i 2 nπ
[(−1)n^ − 1]einx.
Exerc´ıcios
- Mostre que os coeficientes da forma complexa da s´erie de Fourier de uma fun¸c˜ao ´ımpar s˜ao imagin´arios puros (n´umeros complexos com parte real nula) e de uma fun¸c˜ao par s˜ao reais.
- Com a defini¸c˜ao dos coeficientes da s´erie de Fourier, mostre que an = a−n e que bn = −b−n.
- Obtenha a forma complexa da s´erie de Fourier da fun¸c˜ao f (x) = e−x^ se −π < x ≤ π e f (x + 2π) = f (x).
- Da forma complexa obtida no exerc´ıcio anterior, obtenha a s´erie de Fourier da mesma fun¸c˜ao f.
- Repita os exerc´ıcios 3 e 4 para a fun¸c˜ao f (x) = x^2 se −π < x ≤ π e f (x + 2π) = f (x).
- Escreva a forma complexa da s´erie de Fourier da fun¸c˜ao f (x) = cos x + cos 3x + sen 3x.
- Calcule a forma complexa da s´erie de Fourier das fun¸c˜oes f (x) = cos αx e g(x) = sen αx com f (x + 2π) = f (x) e g(x + 2π) = g(x) em que α n˜ao ´e um n´umero inteiro.
- Sejam f e g duas fun¸c˜oes cont´ınuas e peri´odicas de per´ıodo 2l. Defina o produto interno entre estas fun¸c˜oes da seguinte maneira:
< f (x), g(x) >=
∫ (^) l
−l
f (x)g(x)dx.
(a) Seja γn(x) = ei^
nπxl com n ∈ Z. Mostre que
< γn(x), γm(x) >=
{ 0 , se n 6 = m 2 l , se n = m
(b) Seja f como anteriormente e admita que
f (x) =
n∑=∞
n=−∞
cnei^
nπxl ,
mostre formalmente que < f (x), γn(x) >= 2lcn. Conclua da´ı que cn =
2 l
∫ (^) l
−l
f (x)e−i^
nπxl dx.
3 A motiva¸c˜ao da transformada de Fourier
O m´etodo separa¸c˜ao de vari´aveis ´e eficaz na obten¸c˜ao da solu¸c˜ao do problema de condu¸c˜ao de calor em uma barra finita e na solu¸c˜ao do problema de uma corda vibrante. Tais solu¸c˜oes s˜ao dadas por somas de senos e cossenos cujos os coeficientes dependem do parˆametro t. A id´eia ´e estendermos estes resultados para uma barra infinita e uma corda infinita para as equa¸c˜oes de calor e onda respectivamente. Uma id´eia consiste em se resolver a equa¸c˜ao de calor para uma barra de comprimento l e fazermos l → ∞. Condi¸c˜oes ser˜ao devidamente impostas para garantir a convergˆencia da solu¸c˜ao. J´a a motiva¸c˜ao que daremos, consiste em obtermos uma s´erie de Fourier de uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2l e tamb´em fazermos l → ∞. Procedemos ent˜ao, a uma motiva¸c˜ao tradicional e formal da defini¸c˜ao da Transfor- mada de Fourier, dada como o “limite”de uma s´erie de Fourier. Antes de realizarmos este procedimento necessitamos da seguinte defini¸c˜ao
Defini¸c˜ao 3.1 Uma fun¸c˜ao f : R −→ R seccionalmente cont´ınua ´e dita absolutamente integr´avel se
lim a→∞,b→∞
∫ (^) b
−a
|f (x)|dx =
∫ (^) ∞
−∞
|f (x)|dx < ∞.
e se apenas
lim a→∞,b→∞
∫ (^) b
−a
f (x)dx =
∫ (^) ∞
−∞
f (x)dx
convergir, dizemos que f ´e condicionalmente integr´avel.
logo, temos que
fl(x) =
∑^ ∞ n=−∞
∆ω √ 2 π
f^ ˆl(ωn)eiωnx. (7)
A s´erie dada em (7) se assemelha a uma soma de Riemann na vari´avel ω, e se fizermos l tender para ∞ teremos que ∆ω tender´a para 0. (Lembremo-nos que se h : [a, b] → R for uma fun¸c˜ao integr´avel ent˜ao :
∫ (^) b
a
h(x)dx = lim k→∞
∑^ k
n=
h(xn)∆x (8)
em que ∆x = (b − a)/k, x 0 = a e xn = x 0 + n∆x, para j = 1, 2 , ..., k.) A partir de (6), definimos
fˆ (ω) = lim l→∞ f^ ˆl(ω) = √^1 2 π
∫ (^) ∞
−∞
f (x)e−iωxdx.
Considerando em (8) xn = ωn, h(x) = f (x)e−iωx^ e ∆x = ∆ω, da igualdade (7), obtemos formalmente que
liml→∞ fl(x) = liml→∞ √^12 π
∑n=∞ n=−∞ ∆ω^ fˆl(ωn)e iωnx
= √^12 π
∫ (^) ∞ −∞ fˆ^ (ω)e
iωxdω liml→∞ fl(x) = f (x)
A f´ormula (6) motiva a defini¸c˜ao da transformada de Fourier da fun¸c˜ao f como sendo
fˆ (ω) = √^1 2 π
∫ (^) ∞
−∞
f (x)e−iωxdx, (9)
caso a integral impr´opria esteja bem definida. J´a a igualdade liml→∞ fl(x) = f (x) nos diz que
f (x) =
2 π
∫ (^) ∞
−∞
f^ ˆ (ω)eiωxdω. (10)
que ´e a transformada inversa de Fourier de fˆ (ω). Afirmar que (9) est´a bem definida significa que para cada ω a integral converge para um n´umero, e, portanto, temos uma fun¸c˜ao fˆ (ω) definida em R. A condi¸c˜ao f ∈ L^1 (R) ´e suficiente para que a transformada de Fourier exista. De fato, como |eiθ| = 1, para todo θ real, temos que :
| √^12 π
∫ (^) ∞ −∞ f^ (x)e −iωxdx| ≤ √^1 2 π
∫ (^) ∞ −∞ |f^ (x)e −iωx|dx = = √^12 π
∫ (^) ∞ −∞ |f^ (x)|dx <^ ∞.
A condi¸c˜ao de f estar em L^1 (R) ´e apenas suficiente, pois existem fun¸c˜oes que n˜ao s˜ao absolutamente integr´aveis embora a express˜ao (9) convirja, mas n˜ao absolutamente. Indicaremos a transformada de Fourier de uma fun¸c˜ao f por fˆ (ω) ou F(f ) e a trans- formada inversa de f por fˇ ou por F−^1 (f ). Fa¸camos um exemplo dessas transforma¸c˜oes:
Exemplo 3.1 Seja f : R → R definida por f (x) = 1 se − 1 ≤ x ≤ 1 e f (x) = 0 se x > 1 ou x < − 1. Aplicando (9), temos que
f^ ˆ (ω) = F(f (x)) = √^1 2 π
∫ (^) ∞ −∞ f^ (x)e −iωxdx = √^12 π
∫ (^1) − 1 e
−iωxdx
= √^12 π [e −iωx −iω ]
x= x=− 1 = √^22 πe iω (^) −e−iω 2 iω f^ ˆ (ω) =
√ 2 π
sen ω ω.
Veremos agora se podemos recuperar a fun¸c˜ao f por meio de (10). Usando a teoria dos res´ıduos das fun¸c˜oes complexas ou mesmo transformda de Laplace( veja o exerc´ıcio (4)) podemos mostrar que ∫ (^) ∞
−∞
sen ω ω
dω = π. (11)
Decorre de (11), atrav´es de uma mudan¸ca de vari´avel que
∫ (^) ∞
−∞
sen (λω) ω
dω = sign(λ)π
em que sign(λ) = 1 se λ > 0 , sign(λ) = 0 se λ = 0 e finalmente sign(λ) = − 1 , se λ < 0. Ent˜ao, aplicando (10), temos que
g(x) = F−^1 ( fˆ (ω) = √^12 π
∫ (^) ∞ −∞ fˆ (ω)eiωxdω = √^12 π
∫ (^) ∞ −∞
√ 2 π
sen ω ω e
iωxdω = (^) π^1
∫ (^) ∞ −∞
sen ω ω (cos^ ωx^ −^ isen^ ωx)dω = (^21) π
∫ (^) ∞ −∞
sen ω ω cos^ ωxdω = (^21) π
∫ (^) ∞ −∞
sen [(1+x)ω]+sen [(1−x)ω] ω dω g(x) = 12 [sign(1 + x) + sign(1 − x)].
Observemos que no c´alculo acima, utilizamos que
∫ (^) ∞ −∞ sen (ω)sen (ωx)/(ω)dω^ = 0.Temos alguns casos a considerar: Se x > 1 ent˜ao sign(1 + x) = 1 e sign(1 − x) = − 1 , logo, g(x) = 0 se x > 1. Analogamente, g(x) = 0 se x < − 1. Se − 1 < x < 1 , temos que sign(1−x) = sign(1+x) = 1 e conseq¨uentemente, g(x) = 1 e finalmente g(1) = g(−1) = 1/ 2. Chegamos ao resultado F−^1 ( fˆ (ω)) = g(x) em que g(x) = 1 se − 1 < x < 1 , g(x) = 0 se x > 1 ou x < − 1 e g(1) = g(−1) = 1/ 2. Vemos ent˜ao que g coincide com f para x 6 = 1 e x 6 = − 1 , ou seja, g coincide com f nos pontos de continuidade de f e g(1) e g(−1) ´e a m´edia dos limites laterais de f nos pontos de descontinuidade. Fato este que era de se esperar, pois a transformada de Fourier foi obtida atrav´es de um ”limite”de uma s´erie de Fourier.
Exerc´ıcios
7 ∗. Usando teoria dos res´ıduos de fun¸c˜oes complexas calcule a transformada de Fourier da fun¸c˜ao f (x) = 1/(1 + x^2 ). Sugest˜ao: Use como caminho de integra¸c˜ao C = L ∪ CR em que L ´e o intervalo fechado [−R, R] no eixo-x e CR ´e o semi-c´ırculo superior de raio R centrado na origem se ω < 0 e o semi-circulo inferior se ω > 0.
4 Transformada de Fourier
Nesta se¸c˜ao, inicialmente, daremos algumas propriedades da Transformada de Fourier v´alidas para fun¸c˜oes absolutamente integr´aveis. Posteriormente, introduziremos o conceito de Espa¸co de Schwartz que nos permite trabalhar sob hip´oteses mais fortes que garantem as principais propriedades da transformada de Fourier.
Proposi¸c˜ao 4.1 Sejam f, g ∈ L^1 (R) ent˜ao :
(a) F(af (x) + bg(x)) = aF(f (x)) + bF(g(x)), para a, b ∈ R
(b) F(f (x − c)) = e−iωcF(f (x)).
Demonstra¸c˜ao A demonstra¸c˜ao de (a) segue da linearidade da integral. Para demonstrar- mos a segunda afirmativa, temos, por defini¸c˜ao que:
F(f (x − c)) = (2π)−^1 /^2
∫ (^) ∞
−∞
f (x − c)e−iωxdx,
fazendo y = x − c, temos que dy = dx e x = y + c. Portanto, podemos escrever:
F(f (x − c)) = (2π)−^1 /^2
∫ (^) ∞
−∞
f (y)e−iωce−iωydy = e−iωcF(f )
Para a pr´oxima propriedade precisaremos do lema de Riemann-Lebesgue que afirma entre
outras coisas que os coeficientes an e bn de uma s´erie de Fourier de uma fun¸c˜ao seccionalmente cont´ınua tendem a zero quando n tende para o infinito.
Lema 4.1 ( Riemann-Lebesgue ) Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao seccionalmente cont´ınua ent˜ao temos que
n^ lim→∞
∫ (^) b
a
f (x) cos(nx)dx = limn→∞
∫ (^) b
a
f (x)sen (nx)dx = 0
Demonstra¸c˜ao Provaremos que limn→∞
∫ (^) b a f^ (x) cos(nx)dx^ = 0. Como ∫ (^) b
a
f (x) cos(nx)dx =
∫ (^) t 1
t 0
f (x) cos(nx)dx +... +
∫ (^) tn
tn− 1
f (x) cos(nx)dx
em que a = t 0 < t 1 <... < tn− 1 < tn = b e f ´e cont´ınua em (tj , tj+1) e possui limites laterais limitados neste intervalo, basta mostrar o lema para uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b]. Sendo assim, temos que ∫ (^) b
a
f (x) cos(nx)dx =
∫ (^) a+h
a
f (x) cos(nx)dx +
∫ (^) b
a+h
f (x) cos(nx)dx
para todo h que fa¸ca sentido as integrais acima. Em particular, para h = π/n, com n suficientemente grande. Na segunda integral do lado direito da igualdade acima, fa¸camos uma mudan¸ca de vari´avel y = x − h. Ent˜ao, temos que: ∫ (^) b a+h f^ (x) cos(nx)dx^ =^
∫ (^) b−h a f^ (y^ +^ h) cos(ny^ +^ π)dy^ =^ −^
∫ (^) b−h a f^ (y^ +^ h) cos(ny)dy = −
∫ (^) b−h a f^ (x^ +^ h) cos(nx)dx
Portanto, temos a seguinte rela¸c˜ao: ∫ (^) b
a
f (x) cos(nx)dx =
∫ (^) a+h
a
f (x) cos(nx)dx −
∫ (^) b−h
a
f (x + h) cos(nx)dx. (12)
Da mesma forma, temos que:
∫ (^) b
a
f (x) cos(nx)dx =
∫ (^) b−h
a
f (x) cos(nx)dx +
∫ (^) b
b−h
f (x) cos(nx)dx (13)
Somando (12) e (13), temos que :
2
∫ (^) b a f^ (x) cos(nx)dx^ =^
∫ (^) a+h a f^ (x) cos(nx)dx^ +^
∫ (^) b b−h f^ (x) cos(nx)dx+
∫ (^) b−h a (f^ (x)^ −^ f^ (x^ +^ h)) cos(nx)dx. Como f ´e cont´ınua em [a, b], temos que limh→ 0 f (x+h) = f (x), e al´em disso, sabemos que |
∫ (^) b a g(x)dx| ≤^ max{|g(x)|, a^ ≤^ x^ ≤^ b}|b^ −^ a|^ com^ g^ cont´ınua em [a, b]. Ent˜ao, fazendo h → 0, obtemos o resultado desejado. Analogamente, demonstra-se a segunda afirma¸c˜ao do lema.
Utilizando a f´ormula de Euler obtemos a seguinte consequˆencia do lema de Riemann- Lebesgue:
Corol´ario 4.1 Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao seccionalmente cont´ınua ent˜ao
lim |ω|→∞
∫ (^) b
a
f (x)eiωxdx = 0
Teorema 4.2 Seja f : R → R uma fun¸c˜ao secionalmente cont´ınua e absolutamente in- tegr´avel ent˜ao lim |ω|→∞
f^ ˆ (ω) = 0.
Demonstra¸c˜ao Dado > 0, de (5), existe M > 0 tal que
∫
|x|>M
|f (x)|dx <
2 π 2
Pelo lema de Riemann-Lebesgue, sabemos que:
lim |ω|→∞
∫
|x|≤M
f (x)e−iωxdx = 0.
Exemplo 4.2 Vejamos que f (x) = e−x 2 pertence ao espa¸co de Schwartz. Derivando f m vezes verificamos que f (m)(x) = p(x)e−x 2 para um certo polinˆomio p(x). Portanto, dado um n´umero n inteiro n˜ao-negativo, temos que xnf (m)(x) = q(x)e−x 2 em que q(x) = xnp(x). Logo, por L’Hˆopital, xnf (m)(x) → 0 quando |x| → ∞ e portanto xnf (m)(x) ´e uma fun¸c˜ao limitada em R, isto ´e, f ∈ S(R).
Teorema 4.3 Se f ∈ S(R) ent˜ao fˆ ∈ S(R) e F−^1 ( fˆ ) = f.
Prova Consulte [2]. A pr´oxima propriedade relaciona a transformada de uma fun¸c˜ao como a transformada
de sua derivada.
Teorema 4.4 Seja f : R → R uma fun¸c˜ao diferenci´avel e f (x) → 0 quando |x| → ∞. Al´em disso, consideremos que f e f ′^ sejam absolutamente integr´aveis, ent˜ao
F(f ′(x)) = iωF(f (x)).
Demonstra¸c˜ao Integrando por partes e usando que f (x) → 0 quando |x| → ∞, n´os obtemos que: F(f ′(x)) = (2π)−^1 /^2
∫ (^) ∞ −∞ f^
′(x)e−iωxdx = (2π)−^1 /^2 [f (x)e−iωx|∞−∞ − (−iω)
∫ (^) ∞ −∞ f^ (x)e −iωxdx] = iωF(f (x)).
Corol´ario 4.5 Se f ∈ S(R) ent˜ao para todo n ≥ 0 inteiro F(f (n)(x)) = (iω)nF(f (x)).
Exemplo 4.3 Seja f (x) = e−|x|. Para x 6 = 0, vemos que
f ′(x) =
{ ex, x < 0 − e−x, x > 0 e f ′′(x) =
{ ex^ , x < 0 e−x^ , x > 0.
Podemos verificar que F(f ′(x)) = iωF(f (x)) e F(f ′′(x)) = F(f (x)) 6 = (iω)^2 F(f (x)). Ob- servemos ainda que para todo n, m ≥ 0 temos que lim|x|→∞ xnf (m)(x) = 0 e no entanto f /∈ S(R). Por quˆe?
Um importante problema em matem´atica ´e de determinar se uma fun¸c˜ao Ψ(x), defi- nida por por meio de integral impr´opria
Ψ(x) =
∫ (^) ∞
−∞
f (x, y)dy,
em que f : I x R → R, sendo I um intervalo limitado ou n˜ao em R, ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, diferenci´avel, etc. Al´em disso, se Ψ for diferenci´avel, sob quais hip´oteses temos que
Ψ′(x) =
∫ (^) ∞
−∞
∂f ∂x
(x, y)dy?
Uma condi¸c˜ao necess´aria imediata ´e que para x ∈ I fixado, a fun¸c˜ao y 7 → f (x, y) seja uma fun¸c˜ao integr´avel. No caso em quest˜ao, queremos saber se
d dω ( fˆ (ω)) = fˆ ′(ω) = (2π)−^1 /^2 ∫^ −∞∞ ∂ ∂ω (f^ (x)e
−iωx)dx = (2π)−^1 /^2
∫ (^) ∞ −∞ f^ (x)(−ix)e
−iωxdx?
Teorema 4.6 Se f ∈ S(R) ent˜ao para todo n ≥ 0 temos que fˆ (n)(ω) = F((−ix)nf (x)).
Demonstra¸c˜ao Consulte [1].
Exemplo 4.4 Sejam f (x) = e−ax 2 , com a > 0 e fˆ (ω) sua transformada de Fourier. Pelo teorema anterior, temos que :
f^ ˆ ′(ω) = (2π)−^1 /^2
∫ (^) ∞
−∞
−ixe−ax
2 e−iωxdx,
chamando u = −ie−iωx^ e dv = xe−ax 2 dx e integrando por partes, n´os obtemos que
f^ ˆ ′(ω) = (2π)−^1 /^2
[ ie−iωx^
e−ax 2
2 a
∣∣ ∣∣
∞ −∞
ω 2 a
∫ (^) ∞
−∞
e−ax
2 e−iωxdx
] = −
ω 2 a
fˆ (ω).
Como se trata de equa¸c˜ao diferencial ordin´aria de primeira ordem, ent˜ao fˆ (ω) = Ie
ω^2 4 a (^). Resta-nos calcular fˆ (0) = (2π)−^1 /^2
∫ (^) ∞ −∞ e −ax^2 dx = I. Esta integral aparece em v´arias
aplica¸c˜oes, em particular na distribui¸c˜ao normal e seu valor ´e I = 1/
2 a, veja o exerc´ıcio
- Portanto
f^ ˆ (ω) = F(e−ax^2 ) = √^1 2 a
e−^
ω^2 4 a (^).
Observemos ainda que se a = 1/ 2 temos F(e−x (^2) / 2 ) = e−ω (^2) / 2 , ou seja, F(f ) = f. A fun¸c˜ao f ´e chamada de auto-fun¸c˜ao de F com autovalor igual a 1.
Dadas duas fun¸c˜oes f e g absolutamente integr´aveis em R, sejam fˆ (ω) e ˆg(ω) como anteriormente. Ser´a que F−^1 ( fˆ gˆ) = f (x)g(x)? Para respondermos esta quest˜ao, introduzi- remos o conceito de convolu¸c˜ao entre duas fun¸c˜oes.
Defini¸c˜ao 4.2 Sejam f, g : R → C duas fun¸c˜oes seccionalmente cont´ınuas, absolutamente integr´aveis e limitadas, a convolu¸c˜ao de f e g ´e definida por
(f ∗ g)(x) =
∫ (^) ∞
−∞
f (y)g(x − y)dy.
A partir da defini¸c˜ao da convolu¸c˜ao de duas fun¸c˜oes pode-se mostar que (f ∗ g)(x) = (g ∗ f )(x). Como na transformada de Laplace, temos um resultado semelhante com a con- volu¸c˜ao em transformada de Fourier.
Corol´ario 4.8 Sejam fˆ = F(f ) e gˆ = F(g) ent˜ao F−^1 ( fˆ ˆg) = (2π)−^1 /^2 (f ∗ g).
Exemplo 4.6 Seja hˆ(ω) = senω^ ω1+^1 iω. Queremos determinar a fun¸c˜ao ˇh(ω) = F−^1 (h(x)).
Sendo assim, fa¸camos fˆ (ω) = senω^ ω e gˆ(ω) = (^) 1+^1 iω. Utilizando uma tabela de transformada de Fourier ou mesmo resultados de exerc´ıcios propostos, n´os obtemos que:
f (x) =
{ √ π/ 2 , |x| ≤ 1 0 , |x| > 1
e g(x) =
2 πe−x, x ≥ 0 0 , x > 0
Ent˜ao, pelo corol´ario (4.8) n´os obtemos que
h(x) =
2 π
(f ∗ g)(x) =
2 π
∫ (^) ∞
−∞
f (y)g(x − y)dy.
Deixamos como exerc´ıcio para o leitor a determina¸c˜ao da fun¸c˜ao h.
Exerc´ıcios
- Calcule a transformada de Fourier das seguintes fun¸c˜oes:
(a) f (x) =
{ 1 − |x|/a, se |x| ≤ a 0 , se |x| > a (a > 0);
(b) f (x) = e−a|x|^ com x ∈ R com a > 0; (c) f (x) = xe−x 2 com x ∈ R; (d) f (x) = 2(1 + 2x^2 )e−x (^2) / 2 com x ∈ R;
(e) f (x) =
{ 1 , se |x| ≤ a 0 , se |x| > a; (a > 0).
- Seja fˆ (ω) a transformada de Fourier da fun¸c˜ao f (x). Mostre que
(a) F(f (−x)) = fˆ (−ω); (b) F(f (ax)) = (^) |^1 a| fˆ (ωa );
(c) F(f (x)e−icx) = fˆ (ω + c); (d) F(f (x) cos(cx)) = [ fˆ (ω + c) + fˆ (ω − c)]/2; (e) F(f (x)sen (cx)) = [ fˆ (ω + c) − fˆ (ω − c)]/(2i);
- Mostre que a transformada de Fourier, fˆ (ω), ´e uma fun¸c˜ao real se, e somente se f (x) for uma fun¸c˜ao par. Sugest˜ao: um n´umero complexo ´e real se,e somente se z = ¯z.
- Seja f fun¸c˜ao real e absolutamente integr´avel em R. Mostre que
fˆ (−ω) = fˆ (ω).
Lembremos que a barra significa conjugado complexo, ou seja, se z = x + iy, x, y ∈ R, ent˜ao z = x − iy.
- Seja g(x) =
∫ (^) x −∞ f^ (t)dt. Al´em disso, suponhamos que^ g(x)^ →^ 0 quando^ x^ → ∞.^ Mostre que F(g(x))(ω) =
iω
F(f (x))(ω).
- Mostre que se f : R → C for uma fun¸c˜ao cont´ınua e absolutamente integr´avel ent˜ao
F( fˆ (ω)) = F(F(f (x))) = F^2 (f (x)) = f (−x),
e conclua que F^4 (f (x)) = f (x).
- Mostre que se f for uma auto-fun¸c˜ao de F, ou seja, F(f ) = λf para algum λ ∈ C, ent˜ao λ^4 = 1.
- Calcule a transformada de Fourier das seguintes fun¸c˜oes
(a) f (x) = sen (ax)/x; (b) f (x) = (1 − cos(ax))/x^2 ; (c) f (x) = 1/(a^2 + x^2 );
Sugest˜ao: Use os exerc´ıcios (1) e (6).
- Sejam f (x) =
{ e−^2 x, se x ≥ 0 0 , se x < 0
e g(x) =
{ e−x, se x ≥ 0 0 , se x < 0
Calcule a convolu¸c˜ao (f ∗ g)(x).
- Sejam f (x) =
{ 1 , se |x| ≤ 1 0 , se |x| > 1 e g(x) =
{ e−x, se x ≥ 0 0 , se x < 0
Calcule a convolu¸c˜ao (f ∗ g)(x).
- Uma forma alternativa do teorema da convolu¸c˜ao:
Mostre que F−^1 [f g] =
2 π
f^ ˇ ∗ ˇg.
Sugest˜ao : Use que F[φ ∗ ψ] =
2 π φˆ ψˆ.
- Calcule as fun¸c˜oes cujas as transformadas de Fourier s˜ao dadas abaixo:
(a) senω^ ωe−^2 ω 2 ;
(b) e
−|ω− 1 | 1+ω^2 ;
5 Aplica¸c˜oes da Transformada de Fourier
Nesta se¸c˜ao daremos algumas aplica¸c˜oes da transformada de Fourier. Resolveremos os pro- blemas de condu¸c˜ao de calor em uma barra infinita e semi-infinita e o da vibra¸c˜ao em cordas infinitas.
Exemplo 5.1 Consideremos o problema de condu¸c˜ao de calor em uma barra infinita sujeita `a condi¸c˜ao inicial f (x).
{ (^) ∂u ∂t (x, t) =^ α
2 ∂^2 u ∂x^2 (x, t),^ x^ ∈^ R,^ t >^0 u(x, 0) = f (x), x ∈ R.
Conhecendo-se a fun¸c˜ao f e a constante de difusibilidade t´ermica α, o problema con- siste em determinarmos uma fun¸c˜ao u(x, t) que satisfa¸ca as duas condi¸c˜oes do problema (15). Fa¸camos uma tentativa para obtermos a solu¸c˜ao do problema acima. Seja
u ˆ(ω, t) = F(u(x, t)) = (2π)−^1 /^2
∫ (^) ∞
−∞
e−iωxu(x, t)dx
a transformada de Fourier da fun¸c˜ao u(x, t) em rela¸c˜ao a vari´avel x. E supondo que podemos devirar sob o sinal de integra¸c˜ao:
∂ uˆ ∂t
(ω, t) = (2π)−^1 /^2
∫ (^) ∞
−∞
e−iωx^
∂u ∂t
(x, t)dx.
Pela equa¸c˜ao diferencial parcial acima, podemos escrever que
∂ uˆ ∂t
(ω, t) = (2π)−^1 /^2
∫ (^) ∞
−∞
e−iωxα^2
∂^2 u ∂x^2
(x, t)dx.
Uma hip´otese dever´a ser imposta neste instante: lim|x|→∞ u(x, t) = lim|x|→∞ ux(x, t) = 0, pois assim teremos que
∂ ˆu ∂t
(ω, t) = α^2 F(uxx(x, t)) = α^2 (iω)^2 F(u(x, t)) = −α^2 ω^2 ˆu(ω, t).
Ent˜ao, obtemos uma equa¸c˜ao diferencial parcial que pode ser reduzida uma equa¸c˜ao diferencial ordin´aria, cuja solu¸c˜ao ´e
ˆu(ω, t) = C(ω)e−α
(^2) ω (^2) t .
Para determinarmos C(ω), constante em rela¸c˜ao a vari´avel t, devemos utilizar a condi¸c˜ao de inicial ˆu(ω, 0) = F(u(x, 0)) = F(f (x)) = fˆ (ω),
logo, temos que u ˆ(ω, t) = fˆ (ω)e−α
(^2) ω (^2) t . Uma nova hip´otese deve ser acrescentada, ´e que a fun¸c˜ao f deve ser absolutamente integr´avel para que exista fˆ.
Caso saibamos a express˜ao de f , podemos usar a transformada inversa de Fourier ou mesmo utilizando uma tabela de transformada e obtermos a express˜ao da fun¸c˜ao u(x, t). Utilizaremos o teorema da convolu¸c˜ao, para obtermos a fun¸c˜ao cuja transformada ´e dada acima. Seja ˆk(ω, t) = e−α (^2) ω (^2) t
. Como F−^1 (e−ω (^2) /(4a) ) =
2 ae−ax 2 com a > 0 , temos que
k(x, t) =
2 α^2 t
e−^
x^2 4 α^2 t (^) ,
e f (x) = F−^1 ( fˆ (ω)), vemos ent˜ao pelo teorema da convolu¸c˜ao que
u(x, t) = (2π)−^1 /^2 (k ∗ f )(x, t) =
4 πα^2 t
∫ (^) ∞
−∞
f (y)e−^
(x−y)^2 4 α^2 t (^) dy (16)
Uma indaga¸c˜ao natural ´e se a express˜ao (16) ´e a solu¸c˜ao do problema (15)?
Teorema 5.1 Seja f : R → R uma fun¸c˜ao seccionalmente cont´ınua, limitada e absolu- tamente integr´avel. Ent˜ao a express˜ao (16) define uma fun¸c˜ao u(x, t) infinitamente dife- renci´avel no semiplano t > 0 , que satisfaz a equa¸c˜ao diferencial parcial do problema (15). Al´em disso, a condi¸c˜ao inicial ´e satisfeita no seguinte sentido:
lim t→ 0 +^
u(x, t) =
[f (x + 0) + f (x − 0)].
Em particular, se f for cont´ınua,
lim t→ 0 +^
u(x, t) = f (x).
Prova Consulte [1]. Resolveremos agora o problema de vibra¸c˜ao de cordas infinitas.
Exemplo 5.2 Consideremos o seguinte problema:
∂^2 u ∂t^2 (x, t) =^ a
2 ∂^2 u ∂x^2 (x, t).^ x^ ∈^ R,^ t >^ 0; u(x, 0) = f (x), x ∈ R; ∂u ∂t (x,^ 0) =^ g(x),^ x^ ∈^ R.
Fisicamente, a fun¸c˜ao f ´e a condi¸c˜ao inicial e a fun¸c˜ao g ´e velocidade inicial da corda. Resolveremos este problema para um caso especial em que g(x) = 0 para todo x ∈ R. Como o mesmo esp´ırito do exemplo anterior, fa¸camos a transformada de Fourier da fun¸c˜ao u(x, t) em rela¸c˜ao a vari´avel x. Desta forma, temos que
u ˆ(ω, t) = F(u(x, t)) = (2π)−^1 /^2
∫ (^) ∞
−∞
e−iωxu(x, t)dx,
e admitindo que possamos derivar sob sinal de integra¸c˜ao, n´os obtemos que
∂^2 uˆ ∂t^2
(ω, t) = (2π)−^1 /^2
∫ (^) ∞
−∞
e−iωx^
∂^2 u ∂t^2
(x, t)dx.
