deformação, Notas de estudo de Engenharia Civil

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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS -

Deformação em Flexão

Luís Filipe Pereira Juvandes

Porto 2002

AD.6 - Publicação de LUIS JUVANDES associada à Actividade Docente

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS - 2

Deformação em Flexão

Texto de suporte teórico e colecção de exercícios resolvidos para apoio à disciplina de “Resistência

de Materiais 2” do 2º ano do Curso de Licenciatura em Engenharia Civil da FEUP.

Por

Luis Filipe Pereira Juvandes

Porto 2002

AD.6 Juvandes, L. F. P., 2002, "Resistência de Materiais 2: Deformação em Flexão", texto de suporte teórico e

colecção de exercícios resolvidos para apoio da disciplina de “Resistência de Materiais 2” (2º ano) do DEC, 23 pp., publicação electrónica nos conteúdos da disciplina disponíveis na web-page do SiFeup e em (http://www.fe.up.pt/~juvandes/RM2/deformacao.pdf).

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes

ÍNDICE

1 - Introdução 3

2 - Flexão 3

3 – Convenção de Resistência de Materiais 4

4 – Equação diferencial da elástica e análise da sua curvatura 4

5 – Cálculo da deformação - Métodos 4

5.1 - Método da Integração da Elástica .................. ………………………………………………..………………

5.2 - Método da Unidade Fictícia de Carga ou Maxwell-Mohr …………………………………..…………..……

5.3 - Método das Áreas Momento ou Teoremas de Mohr ……………………………………………..……….…..

6 – Exemplos de aplicação 16

6.1 - Exercício 1 .......................................…………………………………..………………………...…………….

6.2 - Exercício 2 .......................................…………………………………..………………………...…………….

6.3 - Exercício 3 .......................................…………………………………..………………………...…………….

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes

DEFORMAÇÃO EM FLEXÃO

1 – INTRODUÇÃO

p

z y y (z) =? Eq. da Deformação

ϕ (z) =?

M

DEFORMAÇÃO δ(z) – translação^ ⇒^ y(z)

⇒ Deslocamentos^

ϕ (z) – rotação

2 – FLEXÃO

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

≠

≡

Desviada(e.s. EPCI )

Plana(e.s EPCI) Flexão ⇒ Deformação ≠EPCI

≡ ⇒ Deformação EPCI

x

z

p

G

y = e.s

M

x

z

G

y

e.s

M

p

(direcção da deformação)

Flexão Plana δ

Flexão Desviada

(direcção da deformação)

δ

x, y = EPCI

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes

I) MÉTODO DA INTEGRAÇÃO DA ELÁSTICA

• Introdução

p

z y y (z) =? Eq. da Deformação

ϕ (z) =?

M

Troço - AB : 0 ≤ z<a e d

→ M (z) = equação do diagrama

→ (z)

EI

y" (z)= −M [1]

→ Como geralmente EI (z) = constante

→ EI^ y"(z)=−M(z)

→ Expressão da rotação

→ =^ −∫ +

z

EIy ' ( z ) 0 M ( z ) dz c 1

→ y' (z)=ϕ(z)=rotação

→ Expressão da elástica

→ =^ −∫ ∫ + +

z 0

z EIy(z) 0 M(z)dzdz c 1 z c 2

→ y( z)=δysec ção=deslocamentonormalaoeixodabarra

→ c 1 ,c 2 =constantes ⇒ determinadas por 2 condições fronteira

• Observações

1 A integração da equação diferencial [1] é simples se “ I ” for constante e a expressão

analítica de “ M(x)” seja fácil de integrar;

2 As constantes de integração são determinadas à custa das condições fronteira impostas

pela natureza dos apoios;

1.ª Integração

2.ª Integração

A B

l = a

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes

3 Se

EI

" M" for um polinómio de grau n então “y(z)” será um polinómio de grau n+2;

4 Nos pontos em que “ M = 0 ”, a elástica apresenta um ponto de inflexão pois

EI

1 M

ρ= ∞

M +

M

_

M = 0, logo

elástica

5 As funções “ y(z) ” e “ y’(z) ” não podem ser descontínuas porque tal corresponderia à

rotura da viga em que tal se verificasse:

(a)

(b)

“y (z) ” descontínuo “y ’(z) ” descontínuo

6 A função “ y”(z) ” pode ser descontínua. Tal acontece sempre que

EI

" M " o for, isto é, por

descontínuidade de “ M ” ou de “ I ”:

C

M A B

(a) A função “ M ” é descontínua.

C

I

A B

(b) A função “ ” é descontínua. I

2 I 1

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes

II) MÉTODO DA UNIDADE FICTÍCIA DE CARGA (UFC) OU MAXWELL-MOHR

• Introdução

A

C

B

p

Q

δvc =?

Caso geral ⇒

RM 2

(aulas práticas)

dz GI

TT

GA'

VV

EI

MM

EA

NN

TodaEstrutura

p

p

δ = + + +

EA

NN

TodaEst.

0

0

p

δ = dz + EI

MM

TodaEst.

dz

se admitir (^) ≈ 0

0

• Exemplo

Estrutura REAL Estrutura U.F.C. (δ^ vc)

A

B C

p

Q

D

δcv =?

A B C

D

+

N

_ _

M

_

M _

N

_

dz EA

dz NN EI

dz MM EI

BMM

A

C B

D B

v

δc =∫ +∫ +∫

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes

Tabela – Cargas UFC de um dado deslocamento

Deslocamento “δ” carga UFC correspondente (s/unidades)

P

u =δvp =?

P

P v H?

= δp = P^1

A

B

δA, B=?

A

B 1

A

B

ϕ A =?

A 1

B

A

B

C

ϕAB , AC=? A

B

C

A B

P

δP, AB=?

A B

P

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes

5 Método do Professor Bonfim Barreiros. Sendo o integral a calcular:

= (^) ∫

B A

I M*M dz

ou

M

N

⇒ Kzn

Soma de funções

do tipo

ou

M

N

M

A Z

G

B

M

A B Z

= Área do diagrama

N

N

⇒ Função linear

I= (^) ∫ MMdz=Ω λ

B

A

em que Ω = área do diagrama dos “ N ” ou “ M ”;

λ = ordenada do diagrama dos “ N ” ou “ M ” para Z = ZG

É POSSÍVEL RECORRER A TABELAS (ver folha seguinte)

(centro de gravidade da

área do diagrama dos

“ N ” ou “ M ”)

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes

Tabela – Características de algumas áreas importantes

i) Parábolas de grau “n”, do Tipo y^ =k.xn

n Ω 1 d 1 Ω 2 d 2

1 fl

1 ⋅ ⋅l

1 fl

1 ⋅ ⋅l

2 fl

⋅ ⋅l

fl

⋅ ⋅l

3 fl

⋅ ⋅l

fl

⋅ ⋅l

4 fl

⋅ ⋅l

fl

⋅ ⋅l

ll

G

Figura 1

f G

2 1

d 2 d (^1)

Figura 2

ii) Triângulos

a+ b= l

l

a

G

b

a b l

l

a +l 3

2 − l−a

iii) Trapézios

l

a

G b

d

l

( )

⋅l

3 a b

d^2 a b

b

d

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes

• Caso geral: análise de um troço genérico AB pertencente a uma estrutura.

l (^) AB= l A a G

G - centro de qualidade do diagrama

B

b E E

I I

M M

l (^) AB l

área

Ω⋅b =−yB

yB −y A

A B

Deformada

z

y y

y

A’

B’

A

B

B

A

Ω⋅b =−yB

yB y A

=− Ω

B− A

tA

A

.em tg

=

ϕ

ϕ

ϕ (^) ϕ l⋅ϕA

B t B tg.em =

→ Expressão que relaciona os deslocamentos normais à barra entre duas secções

e d ou A B

y y b EI

d =^ e+lϕA−ΩM×

• Convenções

y ⊕

• Metodologia ⇒ O método convida ao uso de tabelas com a informação de:

Centrosde qualidade

Áreasdefiguras

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes

Tabela – Interpretação de diagramas M^ ou

EI

M para o uso directo de tabelas de áreas

ESTRUTURA DIAGRAMA DOS M^ ou

l

p/m

l

2.º grau

l

p/m

Q

l

2.º grau

2.º grau

l 1 l 2

p/m

l 1 l 2

2.º grau

2.º grau 2.º grau

2.º grau

1 2

3 4

l (^1) l 2 l 3

p/m

l (^1) l 2 l 3

1 2

3 4 5

2.º grau

2.º grau

2.º grau

2.º grau

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes

EXERCÍCIO 1

a) Por motivos de análise podemos considerar a estrutura composta de 2 partes. Se separarmos a viga CE do resto da estrutura verificamos a existência de uma força vertical F em D actuando ascendentemente na viga.

Barras AD e BD:

A reacção no apoio A e a força F são de (usando a equação de momentos):

100 kN 2

R F p^4 A =

A força F carrega a parte da estrutura de cima e impõe aos tirantes esforços axiais de tracção com valor:

N = NAD =NBD = 100 ⋅cos( 45 )= 50 ⋅ 2 kN⊕ por simetria

que provocam o deslocamento vertical de D , de valor:

1. 64763 10 m 206 10 12. 5 10 2

50 2 18 2 E A cos(45)

N L 3 D (^64) − ⋅ ⋅ ⋅ −^ ⋅ ≈ ×

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ δ = ⋅ ( )

Viga CDE:

M 0 kN m (4 z 7)

M RC 2 100 25 2 kN m (0 z 4) = ⋅ ≤ <

= ⋅ z − p ⋅ z ⋅ z = ⋅ z − ⋅ z ⋅ ≤ <

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 2 Professor Luís Juvandes

δ

Equações diferenciais da elástica:

troço CD E I 0 (4 z 7)

E I 100 25 2 (0 z 4) ⋅ ⋅ ′′= ≤ <

⋅ ⋅ ′′=− ⋅ + ⋅ ≤ < y

y z z troço DE

Rotações e deslocamentos da viga:

E I (4 z 7) neste troço adeformada éuma recta

E I^5032512 (0 z 4)

E I (4 z 7)

(0 z 4) 3

E I 50 25 z

3 4

1 2

3 4

3

1 2 3

⋅ ⋅ = ⋅ + ≤ < ∴

⋅ ⋅ =− ⋅ + ⋅ + ⋅ + ≤ <

⋅ ⋅ ′= ≤ <

⋅ ⋅ ′=− ⋅ + ⋅ + ≤ <

y C z C

y z z C z C

y C

y z C

Constantes de integração:

1 ▪ Para z = 0 , o deslocamento y é nulo

2 ▪ Para z = 4, o deslocamento y é 1.64763 ×^ 10-3 m no sentido descendente

3 ▪ Para z = 4 , a rotação y´ e a deflexão y são iguais para as duas partes da viga (CD e DE)