Aula 6
Derivadas Direcionais e o
Vetor Gradiente
MA211 - Cálculo II
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
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Derivada direcional e vetor gradiente Unicamp, Slides de Cálculo para Engenheiros
Derivada direcional e vetor gradiente Unicamp
Tipologia: Slides
2019
1 / 23
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Aula 6
Derivadas Direcionais e o
Vetor Gradiente
MA211 - Cálculo II
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas
Derivadas Direcionais
Suponha que desejamos calcular a taxa de variação de z = f ( x ), x = (x 1 , x 2 ,... , xn), no ponto a = (a 1 , a 2 ,... , an) na direção de um vetor unitário u = (u 1 ,... , un).
Lembre-se que um vetor u é unitário se ‖ u ‖ = 1.
Exemplo 1
Suponha que f ( a ) é a temperatura no ponto a numa sala com ar-condicionado mas com a porta aberta. Se movemos na direção da porta, a temperatura irá aumentar. Porém, se movemos na direção do ar-condicionado, a temperatura irá diminuir. A taxa de variação de z = f ( x ) em a na direção de u é a derivada direcional. Note que derivada direcional de depende tando do ponto a como da direção u na qual afastamos de a.
Derivada Direcional e as Derivadas Parciais
A derivada direcional generaliza as derivadas parciais no seguinte sentido. A derivada direcional de f em a na direção da i-ésima componente da base canônica, ou seja,
e i = ( 0 ,... , 0 , (^) ︸︷︷︸ 1 i-ésima componente
é a derivada parcial de f em a com respeito à xi , ou seja,
D e i f ( a ) = ∂f ∂xi
( a ) = fxi ( a ) = Di f ( a ).
Derivadas Parciais e a Derivada Direcional
Considere a função g : R → R dada por g(h) = f ( a + h u ). Por um lado, note que
g′( 0 ) = lim h→ 0
g(h) − g( 0 ) h = lim h→ 0
f ( a + h u ) − f ( a ) h = D u f ( a ).
Por outro lado, da regra da cadeia concluímos que
g′(h) = ∂f ∂x 1
dx 1 dh
∂f ∂x 2
dx 2 dh
∂f ∂xn
dxn dh
Agora, x (h) = a + h u = (a 1 + hu 1 , a 2 + hu 2 ,... , an + hun). Logo, dx 1 dh = u 1 ,
dx 2 dh = u 2 ,... ,
dxn dh = un.
Portanto, tem-se
g′( 0 ) =
∂f ∂x 1
a
u 1 +
∂f ∂x 2
a
u 2 +... +
∂f ∂xn
a
un =
∑^ n
j= 1
∂f ∂xj
a
uj.
Teorema 3
Se f é uma função diferenciável, então f tem derivada direcional para qualquer vetor unitário u e
D u f ( x ) =
∑^ n
j= 1
∂f ∂xj
uj
Observação:
Qualquer vetor unitário u ∈ R^2 pode ser escrito como u = (cos θ, sen θ), para algum angulo θ. Nesse caso,
D u f (x, y) = fx (x, y) cos θ + fy (x, y) sen θ.
Vetor Gradiente
A derivada direcional de f na direção u pode ser escrita em termos do seguinte produto escalar
D u f ( x ) =
∑^ n
j= 1
∂f ∂xj uj =
∂f ∂x 1
∂f ∂x 2
∂f ∂xn
vetor gradiente
· u.
Definição 4 (Vetor Gradiente)
O gradiente de uma função f , denotado por ∇f ou grad f , é a função vetorial cujas componentes são as derivadas parciais, ou seja, ∇f =
∂f ∂x 1
∂f ∂x 2
∂f ∂xn
Interpretação do Vetor Gradiente
Sabemos que o produto escalar de dois vetores a e b satisfaz:
a · b = ‖ a ‖‖ b ‖ cos θ,
em que θ é o angulo entre a e b. Assim, podemos escrever
D u f = ∇f · u = ‖∇f ‖ ‖ u ‖ ︸︷︷︸ = 1
cos θ = ‖∇f ‖ cos θ.
O valor máximo de cos θ é 1, e isso ocorre quando θ = 0. Logo,
Teorema 5
O valor máximo da derivada direcional D u f de uma função diferenciável é ‖∇f ‖ e ocorre quando u tem a mesma direção e sentido que ∇f.
Em outras palavras, a maior taxa de variação de f ( x ) ocorre na direção e sentido do vetor gradiente.
Em R^2 ...
Considere uma função f de duas variáveis x e y e uma curva de nível dada pelo conjunto dos pontos
{ r (t) = (x(t), y(t)) : f (x(t), y(t)) = k}.
Se P = (x(t 0 ), y(t 0 )), então pela regra da cadeia, temos que
∂f ∂x
dx dt
∂f ∂y
dy dt = 0 ⇐⇒ ∇f (x 0 , y 0 ) · r ′(t 0 ) = 0 ,
em que x 0 = x(t 0 ), y 0 = y(t 0 ) e r ′(t 0 ) = (x′(t 0 ), y′(t 0 )) é o vetor tangente a curva de nível em P.
Conclusão:
O vetor gradiente ∇f (x 0 , y 0 ), além de fornecer a direção e sentido de maior crescimento, é perpendicular à reta tangente à curva de nível de f (x, y) = k que passa por P = (x 0 , y 0 ).
O plano tangente à superfície F (x, y, z) = k em P = (x 0 , y 0 , z 0 ) é dado por todos os vetores que partem de (x 0 , y 0 , z 0 ) e são ortogonais ao gradiente ∇F (x 0 , y 0 , z 0 ), ou seja, a equação do plano tangente é:
∇f (x 0 , y 0 , z 0 ) · (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) = 0.
A reta normal a superfície F (x, y, z) = k em P = (x 0 , y 0 , z 0 ) é dada pelo gradiente ∇F (x 0 , y 0 , z 0 ), ou seja,
(x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) = λ∇f (x 0 , y 0 , z 0 ), λ ∈ R.
Alternativamente, suas equações simétricas são
x − x 0 Fx (x 0 , y 0 , z 0 )
y − y 0 Fy (x 0 , y 0 , z 0 )
z − z 0 Fz (x 0 , y 0 , z 0 )
Exemplo 6
Determine a derivada direcional D u f (x, y) se
f (x, y) = x^3 − 3 xy + 4 y^2 ,
e u é o vetor unitário dado pelo ângulo θ = π/6. Qual será D u f ( 1 , 2 )?
Exemplo 7
Determine a derivada direcional da função
f (x, y) = x^2 y^3 − 4 y,
no ponto P = ( 2 , − 1 ) na direção do vetor v = 2 i + 5 j.
Exemplo 7
Determine a derivada direcional da função
f (x, y) = x^2 y^3 − 4 y,
no ponto P = ( 2 , − 1 ) na direção do vetor v = 2 i + 5 j.
Resposta:
D u f ( 2 , − 1 ) =
Exemplo 8
Se f (x, y, z) = x sen yz,
a) determine o gradiente de f ,
b) determine a derivada direcional de f no ponto ( 1 , 3 , 0 ) na direção v = i + 2 j − k.
Resposta:
a) O gradiente de f é
∇f (x, y, z) = (sen yz, xz cos yz, xy cos yz).
b) A derivada direcional é
D u f (x, y, z) = 3
Exemplo 9
Suponha que a temperatura no ponto (x, y, z) do espaço seja dada por
T (x, y, z) =
1 + x^2 + 2 y^2 + 3 z^2
em que T é medida em graus Celsius e x, y e z em metros. Em que direção no ponto ( 1 , 1 , − 2 ) a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual é a taxa máxima de aumento?