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Temas relevantes do curso cálculo iii, incluindo derivada direcional, vetor gradiente, máximos e mínimos e integrais múltiplas. Além disso, inclui exemplos e teoremas importantes para cada tópico. O professor ludimar costa schreider é o autor.
Tipologia: Notas de estudo
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Multiplicadores de LagrangeM´aximos e M´ınimos Integrais Sobre Regi˜oes Gen´Integraisericas Integrais Triplas
Prof. Ludimar Costa Schreider
25 de outubro de 2011
Multiplicadores de LagrangeM´aximos e M´ınimos Integrais Sobre Regi˜oes Gen´Integraisericas Integrais Triplas
(^1) Derivada Direcinal
(^2) Vetor Gradiente
(^3) M´aximos e M´ınimos
4 Multiplicadores de Lagrange
5 Integrais
(^6) Integrais Sobre Regi˜oes Gen´ericas
(^7) Integrais Triplas
Multiplicadores de LagrangeM´aximos e M´ınimos Integrais Sobre Regi˜oes Gen´Integraisericas Integrais Triplas
Multiplicadores de LagrangeM´aximos e M´ınimos Integrais Sobre Regi˜oes Gen´Integraisericas Integrais Triplas
Multiplicadores de LagrangeM´aximos e M´ınimos Integrais Sobre Regi˜oes Gen´Integraisericas Integrais Triplas
Multiplicadores de LagrangeM´aximos e M´ınimos Integrais Sobre Regi˜oes Gen´Integraisericas Integrais Triplas
Defini¸c˜ao
A derivada direcional de f em (x 0 , y 0 ) na dire¸c˜ao do vetor unit´ario u = (a, b) ´e
Du f (x 0 , y 0 ) = lim h→ 0
f (x 0 + ha, y 0 + hb) − f (x 0 , y 0 ) h
se esse limite existir.
Multiplicadores de LagrangeM´aximos e M´ınimos Integrais Sobre Regi˜oes Gen´Integraisericas Integrais Triplas
Fazendo as contas.
Multiplicadores de LagrangeM´aximos e M´ınimos Integrais Sobre Regi˜oes Gen´Integraisericas Integrais Triplas
Fazendo as contas.
Teorema
Se f ´e uma fun¸c˜ao diferenc´ıavel em x e y , ent˜ao f tem derivada direcional na dire¸c˜ao de qualquer versor u = (a, b) e
Du f (x, y ) = fx (x, y )a + fy (x, y )b
Multiplicadores de LagrangeM´aximos e M´ınimos Integrais Sobre Regi˜oes Gen´Integraisericas Integrais Triplas
1 Derivada Direcinal
2 Vetor Gradiente
3 M´aximos e M´ınimos
4 Multiplicadores de Lagrange
5 Integrais
(^6) Integrais Sobre Regi˜oes Gen´ericas
(^7) Integrais Triplas
Multiplicadores de LagrangeM´aximos e M´ınimos Integrais Sobre Regi˜oes Gen´Integraisericas Integrais Triplas
Multiplicadores de LagrangeM´aximos e M´ınimos Integrais Sobre Regi˜oes Gen´Integraisericas Integrais Triplas
Defini¸c˜ao
Se f ´e uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis x e y ent˜ao o gradiente de f ´e a fun¸c˜ao vetorial ∇f definida por
∇f (x, y ) = (
∂f ∂x
∂f ∂y
∂f ∂x
~i + ∂f ∂y
~j
Multiplicadores de LagrangeM´aximos e M´ınimos Integrais Sobre Regi˜oes Gen´Integraisericas Integrais Triplas
1 Derivada Direcinal
2 Vetor Gradiente
3 M´aximos e M´ınimos
4 Multiplicadores de Lagrange
5 Integrais
(^6) Integrais Sobre Regi˜oes Gen´ericas
(^7) Integrais Triplas
Multiplicadores de LagrangeM´aximos e M´ınimos Integrais Sobre Regi˜oes Gen´Integraisericas Integrais Triplas
Defini¸c˜ao
Uma fun¸c˜ao f de duas vari´aveis tem um m´aximo local em (a, b) se f (x, y ) ≤ f (a, b) quando (x, y ) est´a pr´oximo a (a, b). O n´umero f (a, b) ´e chamado um valor m´aximo local. Se f (x, y ) ≥ f (a, b) quando (x, y ) est´a pr´oximoa (a, b), ent˜ao f possui um m´ınimo local em (a, b) e f (a, b) ´e chamado de valor m´ınimo local. Se nas desigualdades acima (x, y ) for qualquer ponto do dom´ınio de f ent˜ao a palavra local pode ser trocada por absoluto (ou global).
Teorema
Se f possui um m´aximo ou m´ınimo local em (a, b) e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem, ent˜ao fx (a, b) = 0 e fy (a, b) = 0
Multiplicadores de LagrangeM´aximos e M´ınimos Integrais Sobre Regi˜oes Gen´Integraisericas Integrais Triplas
Exemplo
Determine os valores extremos das fun¸c˜oes:
