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7. Diferenciação Implícita
` Sempre que temos uma função escrita na forma y = f ( x ) , dizemos que y é uma função explícita de x , pois podemos isolar a variável dependente de um lado e a expressão da função do outro. Porém nem sempre isso é possível ou conveniente e, caso isso ocorra, dizemos que y é uma função implícita de x. Vejamos, por exemplo, a equação y = 2 x^2 – 3. Observamos que y é uma função explícita de x , pois podemos escrever y = f ( x ), onde f ( x ) = 2 x^2 – 3. Entretanto, a equação 4 x^2
- 2 y = 6 define a mesma função, pois isolando y obtemos y = 2 x^2 – 3. Quando escrita na forma 4 x^2 – 2 y = 6, dizemos que y é uma função implícita de x.
Observação: É necessário tomar cuidado, pois muitas vezes uma equação em x e y pode definir mais de uma função implícita.
Exemplo: A equação x^2 + y^2 = 1 pode definir várias funções implícitas, tais como y = 1 − x^2 ,
y = − 1 − x^2 ,
2
2 x x
y x x , dentre outras. Vejamos os seus gráficos:
−1 1
1
x
y
−1 1
−
x
y
−1 1
−
1
x
y
Derivação: Para derivar uma função dada na forma implícita, basta lembrar que y é função de x e usar a regra da cadeia.
Exemplos: a) Dada a equação 4 x^2 – 2 y = 6, determine y ’( x ). Para não esquecermos que y é função de x , podemos escrever a equação como 4 x^2 – 2 y ( x ) = 6. Assim, derivando ambos os lados em relação à x , obtemos 8 x – 2 y ’( x ) = 0 ou y ’( x ) = 4 x , que coincide com a derivada de y = 2 x^2 – 3.
b) Faça o mesmo para x^2 y + 2 y^3 = 3 x + 2 y ou x^2 y ( x ) + 2[ y ( x )] 3 = 3 x + 2 y ( x ) Derivando ambos os lados em relação à x , temos: 2 x y ( x ) + x^2 y’ ( x ) + 6[ y ( x )] 2 y’ ( x ) = 3 + 2 y’ ( x )
y’ ( x ) [ x^2 + 6[ y ( x )] 2 – 2] = 3 – 2 x y ( x ) ⇒ y’ ( x ) = (^) x (^2 3) +^ − 62 yxy (^2) − 2
c) Mostre que a reta tangente à circunferência dada por x^2 + y^2 = r^2 , em um ponto qualquer sobre ela, é perpendicular à reta que passa por este ponto e a origem (reta que contém o raio neste ponto). Solução: Seja ( x 1 , y 1 ) um ponto qualquer sobre a circunferência. Como o coeficiente angular da reta tangente é dado pela derivada da função no ponto, então, derivando a equação da circunferência em relação à x , temos:
2 x + 2 y y ’( x ) = 0, o que é equivalente à y ’( x ) = − 22 y^ x^ =− yx.
Assim, o coeficiente angular da reta tangente à circunferência x^2 + y^2 = r^2 no ponto ( x 1 , y 1 ) é dado por mt = – x 1 / y 1. Por outro lado, geometricamente é fácil ver que o coeficiente angular da reta que contém o raio passando por ( x 1 , y 1 ), é dado por mr = y 1 / x 1. Assim, fazendo o produto, temos:
1 1
1 1
× =−^1 × =−
x
y y m m x t r , o que implica que a reta que contém o raio passando por ( x^1 ,^ y^1 ) é
perpendicular à reta tangente à curva neste ponto. Como tomamos um ponto qualquer sobre a circunferência, o resultado vale para todos os pontos sobre ela. Vejamos o gráfico:
−1 1
−
1
x
y
x 1
y 1
EXERCÍCIOS
1) Calcule dy/dx por derivação implícita:
a) x^2 + y^2 = 25 b) x^3 + y^3 = xy
c) 1 x^ + 1 y = 1 d) ( 2 x + y )^3 = x
e) 5 x − x^2 y^3 = 2 y f) ln y + tgx = xy^2
2) Determine a equação das retas tangente e normal à curva dada, no ponto especificado. Usando um programa gráfico, construa os gráficos da curva, das duas retas e marque o ponto P , no mesmo sistema de eixos.
a) x^^2 =^ y^3 ; P (^8 ,^4 ) b) xy = 2 ; P ( 2 , 1 ) c) x^^2 y^3 −^2 xy =^6 x + y +^1 ; P (^0 ,−^1 ) d) (^1) x^ −^1 y = 2 ; P ( 41 , 21 )
3) Mostre, utilizando derivação implícita, que se y = arc cos x , então y ’( x ) = (^2) 1
− x
4) Quando o preço unitário de um certo produto é p reais, a demanda é de x centenas de unidades, onde x^2 + 3 px + p^2 = 79. Qual é a taxa de variação da demanda com o tempo se o preço unitário é R$ 5,00 e está diminuindo à razão de 30 centavos por mês?
5) Um pequeno balão esférico é introduzido em uma artéria obstruída e inflado à razão de 0,002 π mm^3 / min. Qual é a taxa de aumento do raio do balão quando o raio é R = 0,005 mm?
6) Um estudo ambiental realizado em certa cidade revela que haverá Q(p) = p^2 + 4p + 900 unidades de um perigoso poluente no ar quando a população for de p mil habitantes. Se a população atual é de 50.000 habitantes e está aumentando à taxa de 1.500 habitantes por ano, qual é a taxa de aumento da poluição causada pelo produto?
7) Nos processos adiabáticos não existe troca de calor com o ambiente. Suponha que um balão de oxigênio seja submetido a um processo adiabático. Nesse caso, se a pressão do gás é P e o volume é V , pode-se demonstrar que PV 1,4^ = C , onde C é uma constante. Em certo instante, V = 5 m^3 , P = 0,6 Kg/m^2 e P está aumentando à razão de 0,23 Kg/m^2 /s. Qual é a taxa de variação do volume neste instante? O volume está aumentando ou diminuindo?
8. Diferenciais
Seja y = f ( x ) uma função diferenciável. Já vimos que se x 1 e x 2 pertencem ao domínio da f , então a diferença x 2 – x 1 é chamada incremento de x e denotada por D x. Assim, D x = x 2 – x 1. De modo análogo, o incremento correspondente a y é dado por D y = f ( x 2 ) – f ( x 1 ) = f ( x 1 + D x ) – f ( x 1 ).
Definição : Seja y = f ( x ) uma função diferenciável em x 1 e seja D x um incremento de x. (i) A diferencial de x é dada por d x = D x. (ii) A diferencial de y em x 0 é dada por d y = f ’( x 0 ) d x.
Observe que f ’( x 1 ) = (^) ∆lim x → 0 f ( x^1 +∆∆ xx )− f ( x^1 )=∆ lim x → 0 ∆∆ x^ y.
Assim, quando D x º 0 , f ’( x 0 ) º (^) ∆^ ∆ x^ y^ e, conseqüentemente, D y º f ’( x 0 ) D x , ou seja, d y º D y , sempre
que D x º 0. Isso significa que, para pequenas variações em x , podemos usar a diferencial para avaliar a correspondente variação ocorrida em y.
Por outro lado, D y = f ( x 1 + D x ) – f ( x 1 ). Logo, d y º f ( x 1 + D x ) – f ( x 1 ), ou seja, f ( x 1 + dx ) º f ( x 1 ) + f ’( x 1 ) dx , sempre que dx = D x º 0.
Esta expressão é denominada aproximação linear de f em torno de x 1 , pois, como podemos observar, se x = x 1 + dx, então f ( x 1 ) + f ’( x 1 ) dx = f ( x 1 ) + f ’( x 1 ) ( x – x 1 ) é a expressão da reta tangente ao gráfico de f em x 1. Isso significa que em uma vizinhança muito pequena de x 1 , podemos representar a função f por sua reta tangente neste ponto, ou seja, f satisfaz f ( x ) º f ( x 1 ) + f ’( x 1 ) ( x – x 1 ). Interpretação geométrica da diferencial:
Sejam r a medida do raio do balão e dr a medida do erro máximo cometido na medida de r. Então, quando r = 12 cm, temos dr = ≤0,06 cm. Queremos determinar o erro cometido no cálculo do
volume, o qual pode ser aproximado por dV , onde V ( r ) = (^4 ) π r^3 é o volume da esfera. Porém, dV = V ’( r ) dr = 4 π r^2 dr = 4 π (12)^2 (≤0,06) º ≤ 108,57. Portanto, o erro máximo no cálculo do volume, devido a um erro na medida do raio de ≤0,06 cm, será de aproximadamente ≤108,57 cm^3. Observação: Embora o erro possa parecer muito grande, uma idéia melhor dele é dada pelo erro relativo , que é calculado dividindo-se o erro pelo volume total:
3 3012 ,^0630 , 005 0 , 015 3
3
2 ∆ ≈ ≈ = dr r = ≈ × = r
r dr V
dV V
V
π
π (^).
Assim, um erro de 0,5% no raio provoca um erro de 1,5% no volume (para mais ou para menos).
4) Uma baleia é avistada pela tripulação de um navio, que estima seu comprimento L em 10 m, com um erro máximo possível de 60 cm. Sabe-se que o peso W (em toneladas métricas) está relacionado com L pela fórmula W = 0,005823 L 3,18^. Use diferenciais para aproximar o erro absoluto e o erro relativo na estimativa do peso da baleia. Solução: dW = (3,18) (0,005823) L 2,18^ dL. Como L = 10 e dL = 0,6, temos dW = (3,18) (0,005823) 102,18^ (0,6) º 1,68 tons. métricas. Portanto, o erro absoluto é de aproximadamente 1,68 tons. métricas.
O erro relativo é dado por
W
dW (^) 3 , 18 0 , 06 0 , 19 10
3 , 18
2 , 18 = = = × ≈ L
dL L
L dL.
Assim, um erro de aproximadamente 6% na estimativa do comprimento acarreta um erro de aproximadamente 19% na estimativa do peso.
EXERCÍCIOS:
1) Encontre a aproximação linear das funções abaixo, nos pontos dados:
a) f ( x )= x^3 , x 0 = 1 b) f ( x )= ln x , x 0 = 1 c) f ( x )= e −^2 x^ , x 0 = 0 d) f ( x )= 3 x , x 0 =− 8
2) Use diferenciais para estimar os valores solicitados:
a) 36 , 1 b) (^101) , 1
c) cos 59 o^ d) ln 1,
3) A aresta de um cubo tem 30 cm, com um possível erro de medida de 0,1 cm. Use diferenciais para estimar o erro máximo possível em calcular o volume do cubo e a área de sua superfície.
4) O raio de um disco circular é 24 cm, com um possível erro de 0,2 cm. Use diferenciais para estimar o erro máximo na área do disco. Qual o erro relativo?
5) Quando o sangue flui ao longo de um vaso sanguíneo, o fluxo F (volume de sangue passando, por unidade de tempo, por um ponto dado) é proporcional à quarta potência do raio R do vaso, ou seja, F = kR^4 (isso é conhecido como a Lei de Poiseuille). Uma artéria parcialmente obstruída pode ser alargada por uma operação chamada angioplastia, na qual um cateter do tipo balão é inflado dentro da artéria a fim de aumentá-la e restaurar o fluxo normal do sangue. Mostre que a variação relativa em F é cerca de quatro vezes a variação relativa em R. Como um aumento de 5% no raio afeta o fluxo de sangue?
