DERIVADAS DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS
A derivada de uma função implícita é feita pelo método da diferenciação implícita,
segundo o qual derivamos cada termo da equação em relação a x. Ao aplicar a diferenciação
implícita, é muitas vezes necessário considerar Dx(yn) para alguma função desconhecida y de
x, digamos y = f(x). Pela regra da potência podemos escrever Dx(yn) em qualquer uma das
seguintes formas:
Dx(yn) = n yn-1 Dx(y) = n yn-1y’ =
dx
dy
nyn
1
Como a variável dependente y representa a expressão f(x), é essencial multiplicar n yn-1 pela
derivada y’ ao diferenciarmos y em relação a x. Assim, Dx(yn) n yn-1, a menos que y = x.
Por exemplo, a equação
132 yx
pode ser resolvida em função de x obtendo-se
3
2
3
1x
y
, o que acarreta
3
2
´y
. O mesmo resultado pode ser obtido diretamente da equação original
132 yx
simplesmente pela derivação de ambos os lados termo a termo, obtendo então
0´32 y
e, em seguida, determinando
3
2
´y
. A última técnica é denominada derivação
implícita.
Processo para derivação implícita
Dada uma equação na qual se estabelece y implicitamente como uma função diferenciável de
x, calcula-se
´y
do seguinte modo:
a) Derive ambos os membros da equação em relação a x, isto é, aplique o operador
dx
d
aos dois membros da equação termo a termo.
b) Isole
´y
