Descontos E juros compostos e simples, Trabalhos de Cálculo Avançado

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Índice

Descontos Comercial (

• Introdução........................................................................................................................................
• Descontos.........................................................................................................................................
• Descontos Comercial e Desconto Racional..................................................................................... - ).............................................................................................................. Dc
  • Desconto Comercial Simples.......................................................................................................
  • Desconto Comercial Composto...................................................................................................
• Desconto racional ( DR )...................................................................................................................
  • Desconto racional simples...........................................................................................................
  • Desconto racional composto:.....................................................................................................
• Relação entre taxa de descontos e a taxa de juros.........................................................................
• Conclusão......................................................................................................................................
• Referências Bibliográficas.............................................................................................................

Descontos

Desconto deve ser entendido como sendo o abatimento que o devedor faz jus quando antecipa o

pagamento de um título.

Título é um documento usado para formalizar uma dívida que não pode ser paga imediatamente

mas que deverá ser liquidada dentro de um determinado prazo previamente estipulado.

Taxa de Desconto e Taxa de Rentabilidade

Exemplo Numérico:

Um banco realiza operações de desconto de Notas Promissórias de acordo com os seguintes

critérios:

O prazo da operação é de 45 dias;

A taxa cobrada pelo banco é de 6% ao mês;

Os juros são pagos antecipados.

Assim, se o cliente desejar realizar uma operação de 10.000,00, deverá assinar uma Nota

Promissória nesse valor, com vencimento dentro de 45 dias.

O total dos juros a ser pago antecipadamente é:

j = 10.000  0,06 

 j = 900,

Os dados dessa operação podem, então, ser assim resumidos:

Principal P liberado pelo banco: 9.100,

Prazo n da operação: 45 dias

Montante S a ser pago no final de 45 dias: 10.000,

Esses valores podem ser relacionados pela expressão S = P(1 + in), isto é:

10.000 = 9.100(1 + i ×

) i = 0,065934 ou i = 6,5934 % a.m.

A taxa i = 6,5934%a.m. é conhecida como taxa de rentabilidade, pois, ao ser aplicada sobre o

principal de 9.100,00, proporcionará uma rentabilidade total de 900,00 em 45 dias. Ela é sempre

aplicada sobre o principal, pelo prazo que for estabelecido.

A taxa i = 6 % a.m. é conhecida como taxa de desconto, pois, ao ser aplicada sobre o montante

de 10.000,00, provocará um desconto de 900,00 em 45 dias. Ela é sempre aplicada sobre o

montante, pelo prazo que for estabelecido.

Descontos Comercial e Desconto Racional

Para obter as expressões envolvendo descontos serão necessários alguns conceitos, que estão

listados a seguir:

Valor nominal, valor de face ou valor futuro do título: é o valor do título na data futura, na data

em que foi combinado para o seu resgate. O valor nominal de um título será denotado por N.

Número de períodos de antecipação do título: o número de períodos de antecipação do título será

denotado por n.

Taxa periódica de desconto: a taxa periódica de desconto comercial será denotada por d e a taxa

periódica de desconto racional será denotada por i.

Valor actual, valor descontado, valor líquido ou valor presente do título: é o valor pago ou

recebido pelo título na data de antecipação. O valor actual de um título será denotado por A.

Desconto: o valor do desconto será denotado por D.

De acordo com as denominações anteriores, o desconto é dado pela diferença entre o valor

nominal e o valor actual do título. Isto é:

D = N − A

Descontos Comercial (

D

c

O desconto comercial ou por fora é amplamente utilizado nas operações bancárias e comerciais.

O desconto comercial (

D

c

), também chamado desconto por fora, é obtido aplicando-se a taxa de

desconto comercial ( que chamaremos de i c

) sobre o valor nominal VN do titulo, considerando

os n períodos que antecedem ao seu vencimento, ou seja,

D

c

¿VN ×

i c

× n

Em que

i c é a taxa de desconto comercial.

Substituindo esses dados na equação do valor actual, obtemos:

A = N ∙ [1 – d ∙ n]

A = 100000 ∙ [1 – (0,1) ∙ 2]

A = 100000 ∙ [0,8]

A = 80000

Portanto, o valor recebido pelo título é igual a 80.000,

Desconto Comercial Composto

O desconto comercial é concedido sobre o valor nominal N. Então, o valor actual de um título

descontado n períodos antes do seu vencimento é dado por:

A = N ∙ (1 − i ¿

n

Exemplo:

Um título no valor de R$ 100.000,00 foi descontado 2 meses antes do seu vencimento, a uma

taxa de desconto comercial composto de 10% ao mês. Calcule o valor recebido pelo título.

Solução

Colectando os dados do problema, temos:

N = 100000

n = 2 meses

d = 10% a.m.

A =?

Substituindo esses dados na expressão do valor actual do desconto comercial composto,

obtemos:

A = N ∙ (1 − i ¿

n

A = 100000 ∙ (1 − 0,

2

A = 100000 ∙ (0,

2

A = 81000

Portanto, o valor recebido por esse título foi 81.000,00.

Desconto racional (

D

R

Este desconto é também chamado desconto por dentro ou real. Em, ele equivale aos juros

produzidos pelo valor actual de um titulo. Esse juro existe através de uma taxa fixada e um

tempo correspondente ao desconto.

Desconto racional simples

O desconto racional simples é concedido sobre o valor actual A, o que faz com que seja

equivalente ao sistema de capitalização simples. Esse desconto é também conhecido como

desconto “por dentro”.

Um título descontado pelo valor A, n períodos antes do seu vencimento, a uma taxa i de desconto

racional simples, tem a seguinte equivalência de expressões:

D = A ∙ i ∙ n ⇔ j = C ∙ i ∙ n

Para resolver um problema de desconto racional simples pode-se utilizar a fórmula dos juros

simples.

Substituindo D = A ∙ i ∙ n na equação N = A + D. Isso resulta em N = A + A ∙ i ∙ n. Colocando A

em evidência no segundo membro da equação N = A + A ∙ i ∙ n, obtemos:

N = A ∙ [1 + i ∙ n] ⇔ M = C ∙ [1 + i ∙ n]

Observe que a fórmula do montante simples é equivalente a expressão para calcular o valor

nominal do título no sistema racional.

Exemplo:

Um título no valor de 100.000,00 foi descontado 2 meses antes do seu vencimento, a uma taxa

de desconto racional simples de 10% ao mês. Calcule o valor recebido pelo título.

Solução:

Colectando os dados do problema, temos:

N = 100.

n = 2 meses

i = 10% a.m

A =?

100.000 = A ∙ (1,21)

A =

Portanto, o valor recebido por esse título foi 82.644,63.

Relação entre taxa de descontos e a taxa de juros

Analisando as fórmulas para os cálculos dos juros e dos descontos notamos que enquanto a taxa

de juros actua no valor presente (capital inicial) a taxa de desconto actua no valor futuro, logo

não podem ser iguais. Porém se as taxas de juros simples e de desconto comercial estiverem

numa mesma unidade de tempo, podemos estabelecer uma relação entre elas através da fórmula:

Onde:

i j

= taxa de juros

i d

= taxa de desconto

n = número de períodos antes de vencimento

Exemplo:

Se a taxa de desconto comercial for de 4% ao mês, e o prazo de vencimento de uma promissória

seja de 3 meses, qual a taxa mensal de juros simples desta operação?

Resolução

i d

i d

= 0,04 t.u.

n ¿ 3

logo:

i j

1 – 0,04 × 3

¿ 0,0455 ¿ 4,55% a.m.

Conclusão

Nos exemplos discutidos neste material notamos que o desconto comercial é concedido sobre o

valor futuro do título, que o seu valor nominal. Já, o desconto racional é concedido sobre o valor

presente do título, que é o seu valor actual. Também vimos que o desconto racional é equivalente

ao sistema de juros simples. Por fim, concluímos que o comercial simples é o que gera o maior

desconto. E, o segundo maior desconto é o comercial composto. Em terceiro, temos o desconto

racional composto. Por fim, o que gera o menor desconto racional simples.