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Determinantes
Definição 1. Se A é uma matriz n F 08 9 n, diz-se que um produto de n entradas de A, tais que não há duas de mesma linha ou mesma coluna de A, é um produto elementar da matriz A. Seja com seus respectivos produtos elementares.
Produto Elementar Inversões Par ou Impar Prod. Elem. c/ sinal a 1 b2 c 3 0 par a 1 b2 c 3 a 1 b3 c 2 1 impar F 02 D a 1 b3 c (^2) a 2 b1 c 3 1 impar F 02 D a 2 b1 c (^3) a 2 b3 c 1 2 par a 2 b3 c 1 a 3 b1 c 2 2 par a 3 b1 c 2 a 3 b2 c 1 3 impar F 02 D a 3 b2 c (^1)
Definição 2. Se A é uma matriz n F 08 9 n, define-se o determinante de A (det A) como o número real obtido da soma de todos os produtos elementares com sinal de A.
Corolário da Definição. O calculo do determinante de uma matriz n F 08 9 n envolve uma soma de nF 02 1 parcelas, onde cada parcela é formada por um produto de n fatores. Além disso o conhecimento da estrutura aritmética do cálculo do determinante torna muito simples a compreensão de suas propriedades. Como segue.
Propriedades dos Determinantes.
O estudo das propriedades, entre outras vantagens, proporciona um atalho para a obtenção dos determinantes, considerando o grande volume de operações necessárias para sua obtenção. As demonstrações feitas para matrizes 3 x 3 podem ser generalizadas para o caso n F 08 9 n.
Serão usadas as seguintes convenções simbólicas:
Assim as linhas da matriz são “vistas” como vetores
Propriedade 1. O determinante muda de sinal quando se trocam as posições de duas quaisquer de suas linhas. Em símbolos, tem-se: det (u, v, w) = F 02 D det (v, u, w) Demonstração A passagem de det (u, v, w) para (v, u, w) faz-se trocando em cada parcela os índices 1 e 2 de posição e deixando 3 fixo. Isto acarreta a passagem da permutação de par para impar e vice-versa, pois acrescentará uma unidade de inversão a permutação. Assim det (u, v, w) = F 02 D det (v, u, w) É evidente que o resultado é válido para quaisquer duas inversões.
Propriedade 2. Se uma matriz tem duas linhas iguais, seu determinante é igual a zero. Logo det (u, u, w) = det (v, v, w) = det (u, w, w) = 0 Demonstração Se uma matriz tem duas linhas iguais, então trocando-se a posição destas duas linhas (o que mantém a mesma matriz) , pela propriedade 1 seu determinante deveria mudar de sinal, como a matriz não mudou também não mudou seu determinante, daí tem-se: det (u, u, w) = F 02 D det (u, u, w) F 09 9 det (u, u, w) = 0 o mesmo argumento se aplica nos demais casos.
Propriedade 3. Se multiplicarmos uma linha da matriz por um escalar, o determinante fica multiplicado por aquele número. Assim tem-se: det(F 06 1 u,v,w) = det(u, F 06 1 v, w) = det(u, v, F 06 1 w) = F 06 1 det(u, v, w) Demonstração Este fato decorre imediatamente da definição, pois cada parcela do determinante possui um fator de cada linha. Dessa forma se um escalar foi multiplicado por uma determinada linha ele aparecerá uma vez em cada parcela, sendo passível de ser colocado em evidência. Corolário da Propriedade 3. Seja e F 06 1^ F 0C E^ F 0D 1 F 06 1 A = det(F 06 1 u, F 06 1 v, F 06 1 w) = F 06 1 det(u, F 06 1 v, F 06 1 w) = F 06 1 2 det(u, v, F 06 1 w) = F 06 1 3 det(u, v, w)
Decorre de imediato da definição, já que cada fator das parcelas deve ser escolhido de modo que não repita linha ou coluna.
Propriedade 9. O determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes das matrizes. Demonstração No mathematica.
Corolário da Propriedade 9. Se A é uma matriz quadrada e inversível então Demonstração Dado A por hipótese , aplicando a proppriedade 9 , teremos:
Propriedade 10. O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Demonstração Por Indução
Seja M uma matriz triangular inferior de ordem n(igual para superior)
i) é verdade o teorema para n = 2. ii) considerando verdade o teorema para ordem n – 1, prova-se verdade para n, de fato: fazendo a expansão de Laplace by first row, temos:
Teorema 3. (Laplace) Seja A uma matriz quadrada n x n , então o det A será dado pelo produto ordenado dos elementos de uma fila qualquer pelos seus respectivos cofatores. Onde o cofator do ij-ésimo elemento de A é: Cof ai j = (-1) i + j^ det B, em que B é a matriz que se obtém de A eliminando sua i-ésima linha e j-ésima coluna.
Determinantes de Matrizes Elementares
De acordo c/ a propriedade 10 det(In) = 1 , para todo n.
Teorema 2. Seja E uma matriz elementar n x n.
a) Se E é obtida pela troca de duas linhas em In, então pela propriedade 1 tem-se que det E = -1. b) Se E é obtida por multiplicação de uma linha de In por k, então pela propriedade 3 tem-se que det E = k c) Se E é obtida pela soma de um múltiplo de uma linha de In com outra linha, então tem-se pela propriedade 7 que det E = 1.
Teorema 3. Uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, det A ≠ 0. Demonstração Primeiro mostra-se que se det A ≠ 0 se, e só se, det R ≠ 0, onde R é a matriz reduzida por linhas de A. Para isto considera-se que o produto de matrizes elementares E (^) k ... E (^2) E 1 transformam A em R, assim tem-se: Ek ... E 2 E 1 A = R Aplicando det nos dois membros e em seguida a propriedade 9 tem-se: det(E (^) k)...det(E2)det(E (^) 1)det(A) = det(R) como o det das matrizes elementares é ≠ 0 , então det A ≠ 0 F 09 A det R ≠ 0. F 09 4
Agora admitindo que A é inversível , então R = I, portanto det R ≠ 0 e consequentemente det A ≠ 0. F 09 2
Reciprocamente se det A ≠ 0, então det R ≠ 0 , então R = I , consequentemente A é inversivel.
Teorema 4. Se A é uma matriz quadrada tal que o det A = 0, então A não é inversivel. Demonstração Suponha por absurdo, que A seja inversivel, ou seja F 02 4 A-1^ tal que A.A -1^ = I,
aplicando Det nos dois lados da igualdade temos det (A.A-1^ ) = det I , pelo teo. De Binet temos: detA. det A -1^ = 1, mas por hipótese det A = 0, logo 0. det A -1^ = 1 ou seja 0=1, que é um absurdo, logo A-1^ não existe então A não é inversivel.
Propriedade 10. (Teorema de Cauchy) A soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer de uma matriz A, ordenadamente, pelos cofatores dos elementos de uma fila paralela, é igual a zero. Demonstração Seja , substituindo a q-ésima linha pela p-ésima , obteremos:
Numa reformulação mais formal poderia ser: Um subconjunto XF 0C CF 0F 4 chama-se indutivo quando s(X)F 0C C X. O papel fundamental do axioma da indução na teoria dos números naturais, resulta do fato de que ele pode ser visto como método de demonstração, chamado método de Indução Finita ou Principio da Indução Finita. Principio da Indução: Seja P uma propriedade referente a números naturais. Se 1 goza de P e se, além disso, o fato do natural n gozar de P implica que seu sucessor s(n) também goza, Então todos os naturais gozam da propriedade P.
Principio de Indução Matemática: Seja S(n) uma afirmação sobre o inteiro positivo n. Se: i) S(1) é verdadeira e ii) para todo k ≥ 1 a validade de S(k) implica a validade de S(k+1), então S(n) é verdadeira para todo n≥1.
Observações:
1 – A verificação de S(1) chama-se passo básico****. A hipótese de que S(k) é verdadeira chama-se hipótese de indução****. O uso da hipótese de indução para provar S(k+1) chama-se passo de indução****.
2 – A Indução Matemática é chamada de princípio do dominó , pois seu procedimento é análogo ao de mostrar que uma fileira de dominós será derrubada se (i) o primeiro for derrubado (passo básico) e que (ii) a derrubada de qualquer dominó (hipótese de indução) acarretará a derrubada do dominó seguinte (passo de indução).
Exemplo 1:Sejam as seguintes somas: 1 = 1 1 + 3 = 4 1 + 3 + 5 = 9 1 + 3 + 5 + 7 = 16 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 Como estas somas são quadrados perfeitos(n^2 ) parece razoável conjecturar que:
1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n 2 para todo n >= 1 Nada garante que esta fórmula valerá para todo n (pois é uma conjectura). Para obter esta garantia a fórmula acima deve ser demonstrada. E o método adequado para executar esta prova é a indução matemática. Exemplo 2: Considere o polinômio p(n) = n 2 – n + 41 e a afirmação “ o valor de
p(n) é sempre primo para n = 0, 1, 2, ...”. Embora seja verdadeiro para n = 0, 1, 2, ..., 40, temos que p(41) = 41^2. Exemplo 3: Considere o polinômio q(n) = n 2 – 79n + 1601 fornece primos para n = 1, 2, ... Esta afirmação só é válida para n = 1, 2, ..., 79, pois q(80) = 1681 que não é primo.
Exemplo 4: Use a indução matemática para demonstrar que: 1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n 2 para todo n >= 1
i) para n = 1 F 09 9 1 = 1 (verificado o passo básico) ii) suponha que a fórmula é verdadeira para k >= 1, assim tem-se: 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k^2 (é verdade) Deve-se mostrar agora que a fórmula será verdade para n = k + 1. De fato: 1 + 3 + 5 + ... + (2(k+1) – 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2k+1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2k+1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1)^2.
Exemplo 4: Mostre que:
Solução i) A fórmula é verdadeira para n = 1, pois ii) supondo verdade temos que mostrar que , de fato:
det(u, v, w) et(u’, v, w)
