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ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 1
São Luís, ............../................/...............
População e Amostra
1. Dê o conceito ou o significado de:
Estatística, População, Amostra, Censo, Experimento Aleatório
ESTATÍSTICA - É uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para coleta, organização, descrição,
análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.
POPULAÇÃO ou UNIVERSO estatístico - Conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma
característica comum. Pode ser finita ou infinita.
AMOSTRA - É a parte representativa da população.
CENSO - É o levantamento total da população.
Ex: censo agrícola, demográfico, industrial, etc.
a) Definição do Problema - saber realmente o que vai ser pesquisado
b) Planejamento Levantamento censitário
Levantamento por amostragem
c) Coleta de Dados Direta - na fonte { entrevistas, questionários, etc. }
FASES Indireta - a partir de dados da coleta direta
DO
CENSO Manual
d) Apuração dos dados Eletromecânica
Eletrônica
e) Apresentação dos dados Apresentação Tabular
Apresentação Gráfica
EXPERIMENTO ALEATÓRIO - É aquele que não é possível determinar o resultado antes da sua realização,
podemos apenas descrever os possíveis resultados.
Ex. Sortear um aluno de determinada classe
Retirar uma carta de um baralho e observar seu naipe
2. Quais as normas para apresentação tabular de dados?
Tabela - É um quadro que resume um conjunto de observações
Título Cabeçalho Título
Coluna Numérica
Casa ou célula
Linhas
Coluna Indicadora Telespectadores de uma cidade
Tipo e Programa % de audiência
Filmes 20
Jornalismo 30
Telenovelas 35
Educativos 5
Outros 10
Rodapé Fonte:
“ Na vida, muita gente sabe o que fazer, mas poucos são aqueles
que realmente fazem o que sabem " Anthony Robbins
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 2
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Séries Estatísticas e Distribuição de Frequência
- Explique a organização tabular de dados?
É a reunião dos valores em tabelas compactas, proporcionando uma visão mais sintética do fenômeno, sem
tirar-lhe a precisão primitiva. É o caso das SÉRIES ESTATÍSTICAS.
- Cite as séries estatísticas, classificando-as conforme: Época, Local e Fenômeno
SÉRIE ESTATÍSTICA - É toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em
função da Época, do Local ou da Espécie.
- Explique: Distribuição de Frequência, Dados Brutos, Rol , Tabulação e Amplitude
DADOS BRUTOS - São os dados da coleta, sem ordenação
ROL - É ordenamento crescente ou decrescente dos dados brutos
TABULAÇÃO - É condensar todos os valores numa TABELA, fazendo corresponder o valor individual e o
respectivo número de vezes que ele foi observado.
- Faça a tabulação dos dados brutos abaixo, achando:
A frequência simples ( fi ), frequência acumulada ( fa ), frequência relativa ( fr ), frequência
relativa percentual ( fr %), do levantamento estatístico das idades numa classe de 30 alunos.
8 11 8 10 9 9
9 11 12 9 10 8
10 10 10 10 9 11
10 12 8 8 11 12
8 12 9 9 12 10
- As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:
Complete a distribuição de frequência abaixo:
i^ Notas xi fi
(^1 0) l 2 1
2 2 l 4
(^3 4) l 6
(^4 6) l 8
5 8 l 10
fi =
Qual a amplitude amostral?
Qual a amplitude da distribuição?
Qual o número de classes da distribuição?
COMPLETE:
1) h 3 = _____ 2) fi = n = ____ 3) l 1 = _____ 4) L 3 = _____ 5) x 2 = _____ 6) f 5 = _____
“ Para as pessoas NEGATIVISTAS , um copo nunca está meio
cheio: está sempre meio vazio ”
4 ) Limite inferior da quarta classe?
Limite superior da segunda classe?
Qual a amplitude do segundo intervalo
?
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 4
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Distribuição de Frequência
- Complete a distribuição de frequência abaixo.
i Salários fi xi fa fr fr % fra %
(^1) 4 l 8 10
(^2) 8 l 12 12
(^3) 12 l 16 8
(^4) 16 l 20 5
5 20 l 24 1
∑ = 36
- Complete os dados que faltam na distribuição de frequência
i^ xi fi fr fa
1 0 1 0.
2 1 0.15 4
3 2 4
4 3 0.25 13
5 4 3 0.
6 5 2 18
7 6 19
8 7
= 20 = 1.
- Número de Classes ou Intervalos - É arbitrário e depende, entre outras coisas, da natureza dos
dados, das preferências individuais e das necessidades e objetivos do usuário da informação. Existem
algumas fórmulas mais aqui daremos privilégio à fórmula prática.
REGRA PRÁTICA – Usar no mínimo 5 classes e no máximo 20 classes
4. SEQÜÊNCIA LÓGICA PARA TABULAR UM ROL
a) Calcular a Amplitude total do rol ( H )
b) Calcular ( k ) o número de classes da tabela - ( usar a fórmula prática ) N
K
c) Calcular a amplitude de cada classe ( h ) k
H h
5. VARIÁVEIS
Variável Qualitativa ou Variável Qualitativa Nominal : aquela cujas modalidades são do tipo
nominal
Ex. tipos sanguíneos (A,B, AB, O ), sexo M ou F, cor dos olhos.
Variável Qualitativa Ordinal (Quase-quantitativa): modalidade do tipo nominal, nas quais existe
uma ordem entre elas. Ex. (nada, pouco, moderado, bom, muito bom).
Variável Quantitativa Discreta: suas modalidades são valores (números) inteiros.
Ex .( 0,1,2,3,4,5,etc) , nº de alunos, nº de filhos, nº de acertos numa prova.
Variável Quantitativa Contínua: suas modalidades são valores (números) reais (são mensurações).
Ex. peso, altura, espessura, etc.
“ O segredo da vida não é fazer o que se gosta, é gostar do que se faz ”
Lair Ribeiro
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 5
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Arredondamento de dados
ARREDONDAMENTO DE DADOS - Resolução 886/86 da Fundação IBGE
4 Fica inalterado o último algarismo a permanecer .......... 53,24 passa a 53,
6 aumenta-se de uma unidade o algarismo a permanecer .... 42,87 passa a 42,
Tem nº depois? Tem, aumenta-se uma unidade. (2,3 / 5 2 passa a 2,4 25,6 / 5 01 passa a 25,7)
do
5? PAR - conserva-se (24,6 / 5 passa a 24,6)
Não, olhar para o anterior.
ÍMPAR - aumenta-se (24,7 / 5 passa a 24,8)
EXERCÍCIO 1
Indicar como seriam arredondados os seguintes valores:
a) 27,27 ( ao décimo mais próximo ) .... 27,2 / 7
b) 27,27 ( ao inteiro mais próximo ) .... 27, / 2 7
c) 188,549 ( para quatros dígitos ) .... 188,5 / 4 9
d) 188,549 ( para três dígitos ) .... 188, / 5 49
e) 325,455 ( ao centésimo mais próximo ) .... 325,45 / 5
f) 325,455 (ao décimo mais próximo ) .... 325,4 / 5 5
g) 325,455 ( ao inteiro mais próximo ) .... 325, / 4 55
h) 63,50 ( ao inteiro mais próximo ) .... 63, / 5 0
i) 64,50 ( ao inteiro mais próximo ) .... 64, / 5 0
j) 64,51 ( ao inteiro mais próximo ) .... 64, / 5 1
k) 0,05049 ( para quatro dígitos ) .... 0,050 / 4 9
l) 0,05050 ( para quatro dígitos ) .... 0, 0 50 / 5 0
m) 0,05050 ( para três dígitos ) .... 0,05 / 0 50
Resp. a) 27,3 b) 27 c) 188,5 d) 189 e) 325,46 f) 325,5 g) 325 h) 64 i) 64 j) 65 k) 0,050 l) 0,050 m) 0,
EXERCÍCIO 2
Indicar como seriam arredondados os seguintes valores:
n) 57,8755 ( para quatro dígitos )
o) 24,54 ( para três dígitos )
p) 92,45 ( para três dígitos )
q) 8,875 ( para três dígitos )
r) 15,05 ( para três dígitos )
s) 113,35 ( para quatro dígitos )
t) 28,65 ( para três dígitos )
u) 19,95 ( para três dígitos )
“ Inteligência é a capacidade de fazer DISTINÇÕES ” Lair Ribeiro
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 7
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Médias: Aritmética e Moda
As MEDIDAS DE POSIÇÃO mais importantes são as MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL , pois
os dados tendem, em geral, a se agruparem em torno dos valores centrais. Cite-as: MÉDIA ARITMÉTICA,
a MODA e a MEDIANA.
1. Calcular a média : Aritmética ( SIMPLES ), quando os números não se repetem ou quando há pouca repetição:
a) 5, 8, 10, 8, 7 resp. = 7,
n
x
x
i
3. Calcular a MÉDIA ARITMÉTICA ( PONDERADA ) para a tabela abaixo:
Obs. Quando for tabela – o fi é considerado como se fosse o peso (daí a palavra ponderada) da variável xi
n
fx
x
i i
x 4 , 25
4. Calcular as médias aritméticas ponderadas dos estudantes do concurso de T.T.N. Analise os resultados.
ESTUDANTES Estudante A Estudante B
DISCIPLINAS PESOS das provas QUESTÕES CERTAS QUESTÕES CERTAS
Direito 4 22 25
Português e Contabilidade 3 15 12
Outras 2 20 19
9,22 9,
5. MODA (Mo) -- É o valor que aparece com maior frequência em uma distribuição.
Calcule as Modas para os valores abaixo não tabulados:
a) { 4, 4, 6, 6, 8, 9, 10, 10 ,10, 12 } Mo =
b) { 1, 2, 3, 4 } ou { 11, 1, 4, 4, 6, 6, 8, 8, 9, 9 } Amodal ou não existe moda
(aceita-se até 3 modas)
c) { 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4 , 4, 4, 5, 5, 5, 5 } Mo =
6. VALORES TABULADOS: a) Individualmente Calcule as modas para casos a e b
b) Em classes (intervalos)
a) b)
Nº de filhos Nº de casais
0 10
1 10
2 15
3 5
fi = 40
xi fi fixi
2 3
4 2
6 2
8 1
fi = 8
NOTAS f i
0 l 2 5
2 l 4 7
4 l 6 10
6 l 8 8
fi = 30
“ Escrita em chinês, a palavra “ CRISE ” é composta por dois caracteres – um
representa PERIGO, e o outro representa OPORTUNIDADE ” John F. Kennedy
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 8
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Média Aritmética
- Calcule a MÉDIA ARITMÉTICA das distribuições
Fórmula da Média ARITMÉTICA
a)
NOTAS fi xi fixi
0 l 2 5
2 l 4 8
4 l 6 14
6 l 8 10
8 l 10 7
= 44
Resposta: x= 5,
b)
Minutos de
Conexão
Nº de Assinantes
fi
xi fixi
7 l 19 6
19 l 31 10
31 l 43 13
43 l 55 8
55 l 67 5
67 l 79 6
79 l 90 2
= 50
Resposta: x= 42,2 6
c)
ESTATURAS fi xi fixi
150 l 158 5
158 l 166 12
166 l 174 18
174 l 182 27
182 l 190 8
= 70
Resposta: x= 172,
d)
X (cm) fi xi fixi
140 l 145 3
145 l 150 5
150 l 155 2
155 l 160 7
160 l 165 14
165 l 170 6
170 l 175 0
175 l 180 1
180 l 185 2
fi = 40
Resposta: x = 159,
“ O mais profundo desejo do ser humano é o de
ser APRECIADO” William James
n
fx
x
i i
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 10
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Mediana
- MEDIANA - É o valor ( número ) que está no centro da distribuição. ( é necessário ORDENAR os dados)
a) Achar a posição central da distribuição. POSIÇÃO CENTRAL ( PC )
b) O valor que estiver nessa posição é a MEDIANA ( Md )
- Determine a Mediana ( Md ) para os valores não tabulados.
a) { 5,7,9,13,17,19,20}
b) { 8,7,3,10,12,15}
3.. Determinar a mediana ( Md ) { Valores Tabulados INDIVIDUALMENTE, olhado na coluna principal }
a)
N.º DE
MENINOS
fi fa
0 2 2
1 6 8
2 10 18
3 12 30
4 4 34
fi 34
xi fi fa
12 1 1
14 2 3
15 1 4
16 2 6
17 1 7
20 1 8
fi 8
- Determine a Mediana (Md) para VALORES AGRUPADOS EM INTERVALOS:
a)
i^ Estaturas (cm) fi fa
1 150 l 154 4 4
2 154 l 158 9 13
(^3 158) l 162 11 24
(^4 162) l 166 8 32
(^5 166) l 170 5 37
(^6 170) l 174 3 40
fi 40
b)
i^ Custos^ R$ fi fa
1 450 l 550 8 8
(^2 550) l 650 10 18
(^3 650) l 750 11 29
(^4 750) l 850 16 45
(^5 850) l 950 13 58
(^6 950) l 1050 5 63
(^7 1050) l 1150 1 64
fi 64
Resposta: R$ 768,
“ Se você acha que a educação é cara, veja quanto
custa a ignorância ” Dolf de Roos
L. Ribeiro
ÍMPAR
n
Pc
PAR
n
e
n
Pc
^
f
F h
fi
M l
ant
d
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 11
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Separatrizes e Mediana
- Fale sobre as SEPARATRIZES
Uma separatriz genérica é chamada de quantil. As mais usadas são: MEDIANA, o QUARTIL, o
DECIL e o CENTIL, que dividem os dados em duas, quatro , dez e cem partes respectivamente.
- Explique: 1º quartil, 2º quartil e 3º quartil
Primeiro Quartil ( Q 1 ) – valor situado de tal modo na série que uma Quarta parte ( 25% ) dos dados
é menor que ele e as três quartas partes restantes ( 75% ) são maiores.
- O cálculo da MEDIANA para tabelas com dados AGRUPADOS é dado pela fórmula abaixo:
i ESTATURAS
cm
fi fa
(^1 150) l 154 4 4
(^2 154) l 158 9 13
(^3 158) l 162 11 24
4 162 l 166 8 32
5 166 l 170 5 37
6 170 l 174 3 40
=
l* - é o limite inferior da classe mediana
F(ant) - frequência acumulada da classe anterior à classe mediana
f* - frequência simples da classe mediana CÁLCULO DA MEDIANA
h* - amplitude do intervalo da classe mediana
SOLUÇÃO
l* = 158
fi / 2 = 40 / 2 = 20
F(ant) = 13
f* = 11
h* = 162 - 158 = 4
- Calcule na tabela acima o primeiro quartil ( k = 1 )
SOLUÇÃO: Substitui-se na fórmula de Md o
fi
por 1.
fi
, então:
Calcula-se primeiro
fi
= 10ª posição, olhando em fa ( está na 2
a classe ).
Então, com os dados obtidos da 2ª classe substitui-se na fórmula abaixo, obtendo:
Q 1 =
f
Fant h
fi
l
Q 1 = 154 +
154 + 2,66 Q 1 = 156,7 cm
“ Uns estudam porque têm que estudar; outros são ambiciosos
e estudam porque querem PROGREDIR” David J. Schwartz
^
f
F h
fi
M l
ant
d
2
Md cm
Md
fi
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 13
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Medidas de Dispersão
1. DISPERSÃO – É a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor
de tendência central ( Média Aritmética ) dado como ponto de comparação.
Das Medidas de Dispersão estudaremos:
AMPLITUDE TOTAL ( h )
DESVIO PADRÃO ( S ou )
VARIÂNCIA (
2
S ou
2 )
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO ( CV )
Amplitude Total - Tem o inconveniente de só levar em conta os dois valores extremos da série,
descuidando dos valores intermediários.
2. Dadas as amostras A,B,C e E em uma ( unidade u ), calcule e explique o conceito de
DISPERSÃO ou VARIABILIDADE. Calculando inicialmente a Média Aritmética e a Amplitude
Total (h) de cada amostra.
Média h
A = 70 70 70 70 70
B = 68 69 70 71 72
C = 60 65 70 75 80
E = 68 70 70 70 72
amostras
Resp. S(A)=0; S(B) (^) 1,58; S(C) (^) 7,91; S(E) (^) 1,41.
SOLUÇÃO:
Calcular o Desvio Padrão amostral do conjunto B, temos;
Calcular o Desvio Padrão amostral do conjunto E, temos;
xi x xi – x ( xi x )^2
68 70 – 2 4
70 70 0 0
70 70 0 0
70 70 0 0
72 70 2 4
x =70 Σ di 0 Σ=
xi x xi – x ( xi x )^2
68 70 – 2 4
69 70 – 1 1
70 70 0 0
71 70 1 1
72 70 2 4
x =70 Σ di 0 Σ=
“ 80% dos RESULTADOS se originam em 20% das atividades”
Vilfredo PARETO
x
_A = ________________________________________ 70,70,70,70,
_B = ________________________________________ 68 69 70 71 72
_C = ________________________________________
60 65 70 75 80
_E = ________________________________________
68 70,70, 70 72
2 2
n
xi x
S
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 14
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2 2
n
n
fixi
fixi
S
“ Se pensa que pode ou se pensa que não pode, de
qualquer forma você está certo ” Henry Ford
Variância e Desvio Padrão
3. Explique VARIÂNCIA ( S
2 ou
2 ) e o DESVIO PADRÃO ( S ou ).
VARIÂNCIA – Baseia-se nos desvios em torno da média aritmética, porém determinando a média
aritmética dos quadrados dos desvios.
P / AMOSTRAS
DESVIO PADRÃO ( S ) – É a raiz quadrada, com sinal positivo, da Variância.
2
S S
P/ AMOSTRAS ( n 1 ) Ajuste matemático, porque os valores das amostras são mais próximos da média da
amostra do que realmente ocorre na população, isto devido ao fato de o numerador ser pequeno. A influência desse
decréscimo no denominador torna-se desprezível à medida que cresce o tamanho da amostra.
4. Sabe-se que o DESVIO PADRÃO ( S ou ) é dado pelas fórmulas. Obs : lembre-se que : n = fi
Obs. Quando os dados estiverem em uma TABELA, usar as seguintes fórmulas
P/ POPULAÇÕES P/ AMOSTRAS
5. Calcule o DESVIO PADRÃO AMOSTRAL da tabela:
a)
Estaturas ( cm)
1 150 l 154 4 152 608 92.
2 154 l 158 9 156 1.404 219.
3 158 l 162 11 160 1.760 281.
4 162 l 166 8 164 1.312 215.
5 166 l 170 5 168 840 141.
6 170 l 174 3 172 516 88.
Soma 40 6.440 1.038.
i fi xi fixi
2 fixi
resp. S = 5,63 cm
Importante:.
O DESVIO PADRÃO ( S ) serve para comparar conjuntos. Quanto MAIOR o valor de S, MAIOR a
dispersão dos dados amostrais.
n
xi x
2
2 2
n
xi x
S
2 2
n
fx
n
f ixi i i
fi n
xi x
2 2 ( )
P / POPULAÇÕES
2 2
2
n
xi nx
S
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 16
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DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
1. EXPERIMENTOS BINOMIAIS
Há muitos experimentos probabilísticos para os quais a conclusão de cada tentativa pode ser reduzida
a dois resultados: sucesso ou fracasso. Quando um jogador tenta um lançamento livre, por exemplo, das
duas, uma: ou ele faz a cesta ou não. Quando se joga uma moeda honesta ou sai cara ou sai coroa.
Experimentos probabilísticos como esse são chamados de binomiais
- Cite algumas DISTRIBUIÇÕES PROBABILÍSTICAS?
Binomial, Poisson, Normal, t de Student, etc.
- Porque a Distribuição Binomial recebe esse nome?
Porque se baseia no desenvolvimento de (a+b)
n , que é o BINÔMIO DE NEWTON.
4. OBSERVAÇÕES
4.1. Os valores de X são SEMPRE INTEIROS, exemplo de jogar uma moeda: ( não pode haver ½ cara)
4.2. Os eventos (cara/coroa) são INDEPENDENTES e MUTUAMENTE EXCLUDENTES.
(Se sai CARA não sai COROA e vice-versa)
4.3. Dois resultados são possíveis em cada ensaio. Referimo-nos a um como um sucesso e ao outro como
um fracasso.
4.4. A probabilidade de um sucesso, denotado por p, não se modifica de ensaio para ensaio.
Consequentemente, a probabilidade de um fracasso, denotado por 1 – p, não se modifica de ensaio
para ensaio.
- PARÂMETROS FUNDAMENTAIS ( e )
Notação Abreviada: ( ; )
- é o número de tentativas ou repetições do experimento - é a probabilidade / frequência de SUCESSOS
6. CONVENÇÕES
P (SUCESSO) = P (FRACASSO) =
Importante:.
OBS: Como saber qual é a variável que representa o SUCESSO ( ) em um problema?
Será a variável que você está interessado em saber o resultado.
“ As pessoas sempre culpam as circunstâncias pelo que são. Eu não acredito em
circunstâncias. As pessoas que vencem neste mundo são aquelas que levantam e
buscam as circunstâncias que desejam, e, se não as encontram, criam-nas “
George Bernard Shaw
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 17
São Luís, ............../................/...............
Distribuição Binomial
- TRIÂNGULO DE PASCAL ( A disposição dos Coeficientes lembra um triângulo )
VALOR DE n
(a+b)^2 1 2
(a+b)
3 1 3 3 1
(a+b)
4 1 4 6 4 1
(a+b)
5 1 5 10 10 5 1
(a+b)
6 1 6 15 20 15 6 1
(a+b)
7 1 7 21 35 35 21 7 1
(a+b)
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
(a+b)
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
(a+b)
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
- MÉDIA ARITMÉTICA de uma Distribuição Binomial:
n p
- VARIÂNCIA de uma Distribuição Binomial:
- Uma moeda honesta foi lançada 8 vezes. Se X = N.º de cara, quanto valem, nessa distribuição:
a) A Média Aritmética;
b) A Variância;
c) O Desvio Padrão.
- Baseada no Binômio de Newton, dê a Fórmula da Distribuição Binomial e explique as varáveis:
onde:
k
n
C n , k^ é o coeficiente binomial de^ n sobre k, igual a
k!(n-k)!
n!
p sucesso
q insucesso
P (X = K) é a probabilidade de que o evento se realiza k vezes em n provas.
n. p. q
2
q p
nk k
k
n
f ( x ) P ( x k ).
Você é uma empresa, seu talento, sua capacidade, sua
habilidade são seus produtos. David J. Schwartz
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 19
São Luís, ............../................/...............
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON ( ou Lei das pequenas probabilidades )
É aplicável no estudo dos eventos de pequenas probabilidades de ocorrência.
Comentários:
A distribuição de Poisson representa um modelo probabilístico adequado para o estudo de um grande
número de fenômenos observáveis. Eis alguns exemplos:
Chamadas telefônicas por unidade de tempo.
Defeitos por unidade de área.
Acidentes por unidade de tempo
Chegada de clientes a um supermercado por unidade de tempo.
Número de glóbulos sanguíneos visíveis ao microscópio por unidade de área.
Número de partículas emitidas por uma fonte de material radioativo por unidade de tempo
De início, poderíamos pensar no uso do modelo binomial, porém não sabemos qual o número de
provas n = ?, nem a quantidade de fracassos: quantos chamados não ocorreram?
Se adotamos algumas hipóteses quanto à taxa de frequência ( ) dessas ocorrências por uma
pequena unidade de tempo: ( t ), ou, conforme o caso: ( s )= unidade de área..., e algumas outras
premissas, enunciadas a seguir, obtemos o modelo de Poisson como limite da distribuição binomial, quando n
tende ao infinito.
- Como devemos aplicar a Distribuição de POISSON?
No caso da Distribuição Binomial, a variável de interesse era o número de sucessos em um intervalo
discreto (n provas). Muitas vezes, entretanto, estamos interessados no número de sucesso em um intervalo
contínuo, que pode ser um intervalo de TEMPO, COMPRIMENTO, SUPERFÍCIE, etc.
No caso de termos no modelo binomial p pequeno ( p 0,1 ) e ( n 50 ) e a média 0 < n.p < 10.
Nesse caso a distribuição binomial pode se aproximar do MODELO POISSON, onde:
ou
Fazendo t , temos:
Para a distribuição de Poisson, demonstra-se que a variância coincide com a média, ou seja:
OBS:
Podemos substituir a Distribuição Binomial pela Distribuição de Poisson, com um grau de aproximação
muito bom, desde que as condições acima sejam satisfeitas.
x
t e
P X x t
x (^) t
x
u e
P X x t
x u
. t
2
^ ^
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 20
São Luís, ............../................/...............
Distribuição de Poisson
Onde:
^ coeficiente de proporcionalidade, ou taxa de frequência por unidade de tempo, comprimento, área,...
t tempo, comprimento, área, ...
e base dos logaritmos naturais( 2 , 71828 )
x número de ocorrências ( sucessos )
- Experiências passadas indicam que, em média, há duas chamadas por hora em certo telefone. Vamos
calcular as probabilidades de, em uma hora, o telefone receber: nenhuma chamada; uma; duas; três; ...
Solução
Sabe-se que t , logo 2 1 2 ,ou ainda: 2.
Nenhuma chamada P ( X 0,1 h) =
x!
u e
x u
=
0 2
e
= 0,1353 ou 13,53 %
Uma chamada P ( X 1,1 h) =
1 2
e
= 0,2707 ou 27,07 %
Duas chamadas P ( X 2,1 h) =
2 2
e
= 0,2707 ou 27,07 %
Três chamadas P ( X 3,1 h) =
3 2
e
= 0,1804 ou 18,04 %
Quatro chamadas P ( X 4,1 h) =
4 2
e
= 0,0902 ou 9,02 %
Cinco chamadas P ( X 5,1 h) =
5 2
e
= 0,0361 ou 3,61 %
Seis chamadas P ( X 6,1 h) =
6 2
e
= 0,0120 ou 1,20 %
Sete chamadas P ( X 7,1 h) =
7 2
e
= 0,0034 ou 0,34 %
Oito chamadas P ( X 8,1 h) =
8 2
e
= 0,0009 ou 0,09 %
Nove chamadas P ( X 9,1 h) =
9 2
e
= 0,0002 ou 0,02 %
Passarão o céu e a terra, mas minhas palavras não
passarão. Jesus
x
u e
P X xt
x u
