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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Prof.: Josenildo Chaves CURSO: QUÍMICA INDUSTRIAL DISC.: Estatística e Probabilidade
2ª LISTA DE EXERCÍCIOS , 14/10/
- Num lote de 11 lâmpadas, existem 4 queimadas. Um cliente compra 3 lâmpadas do lote, sem verificar se estão funcionando. Achar a distribuição de probabilidade do no^ X de lâmpadas defeituosas adquiridas pelo cliente.
- Uma urna contém 5 bolas brancas e 3 pretas. Extraem-se duas bolas aleatoriamente, sem reposição. Seja X o número de bolas brancas extraídas. Determine a distribuição de probabilidade de X e esboce o seu gráfico.
- A demanda diária de certo produto em centenas de quilos, é uma v.a. com densidade
< >
≤ < = − 0 , 0 3
1 , 1 3
, 0 1 ( ) 31
3 2
x ou x
x x
x x f x
Qual a probabilidade que, em dado dia, se venda, mais de 100 quilos?
- Seja X uma v. a. com distribuição exponencial, i. e. X tem fdp dada por:
f ( x )= ae −^ x^ /^2 , x ≥ 0 , a ≥ 0.
(a) Determine o valor da constante a e esboce os gráficos de f(x) e de F(x). (b) Seja Y = X/2 - 1. Qual é a probabilidade de Y > 2?
- O tempo de vida (duração até falhar) de um componente eletrônico é uma v. a. T com distribuição
exponencial, i.e.,
, 0 5000
f ( t )= e −^ (^1 /^5000 ) t^ t ≥.
(a) Determine a probabilidade de o componente funcionar mais que 12000 horas, sem falha, supondo que já foi utilizado durante as primeiras 5000 horas.
(b) Determine o valor t , segundo o qual ≥ = 1/2. Este valor é denominado de mediana da v.a. T. A função de probabilidade = > ^ é denominada de função de confiabilidade.
(c) Qual o valor t , segundo o qual 95% dos componentes irão falhar?
(d) Trace os gráficos das funções densidade, distribuição acumulada e de confiabilidade da v.a T. Use o software R.
(e) Determine a média, a mediana e o desvio-padrão amostral, baseados em uma amostra aleatória de tamanho n =1000 da v.a. T. Compare esses valores com os respectivos média, mediana e o desvio-padrão da v.a. T. Sugestão : Use o código em R: x=rexp(n,b) # para gerar uma amostra aleatória de n valores de uma exponencial com taxa=b.
(f) Suponha que três desses componentes foram instalados segundo o esquema série-paralelo:
O sistema não funciona (isto é, falha) se a passagem de corrente de A para B for interrompida, quer seja pela falha do componente 1 ou pela falha simultânea dos componentes 2 e 3, ou ainda, pela falha dos três componentes simultaneamente. Considere T 1 , T 2 e T 3 o tempo de duração até falhar dos componentes 1, 2 e 3 com a mesma distribuição da v.a. T para determinar a função de confiabilidade do sistema = > . Qual é o valor t , segundo o qual ≥ = 1/2?
(g) Se cinco desses componentes forem instalados em diferentes sistemas, qual é a probabilidade de que pelo menos um esteja funcionando após 12000 horas?
(h) Seja^ T 1^ uma v.a. com distribuição Uniforme no intervalo^ (^0 , t 0^ ), suponha t 0^ conhecido, e seja T 2^ uma v.a independente de T 1^ com a mesma distribuição da v.a.^ T. determine a fdp da v.a. (^) Y = min( T 1 , T 2 ). Determine o valor esperado da v.a Y e compare com os valores esperados de (^) T 1 (^) e T 2 (^).
(i) Determine = ) denominada de função geradora de momentos da v. a. T. (Sugestão: Meyer, 2010, Cap. 10). Verifique que ^ | é igual a E(T).
(j) Utilizando uma amostra aleatória de tamanho n =1000 da v.a. T, determine a frequência relativa do evento = { > 12000} e compare com o valor exato da probabilidade > 12000. Sugestão : Use o código em R: x=rexp(n,b) # para gerar uma amostra aleatória de n valores de uma exponencial com taxa=b. (k) Sejam , , ⋯ , v. a’s. independentes e identicamente distribuídas cada uma com fdp ! = " exp−^
" .^ A^ função^ '( = ∏^ ^ !^ é^ chamada^ de^ função^ de verossimilhança. Para estimar o parâmetro ( devemos determinar o valor (+ que maximiza a probabilidade da amostra observada , , ⋯ , ter sido obtida. Determine (+. Sugestão : maximizar a função ,( = log '( = ∑ (^) log !em relação a (.
- Suponha que X seja uma v. a. contínua com função de densidade de probabilidade dada por :
(^) − < <
0 , casocontrário
( 4 2 ), 0 x 2 ( ) c x x^2 f x
Encontre o valor da constante c.
b) Determine o valor m , segundo o qual 1 ≥ 2 = 1/2. Este valor é denominado de mediana da v.a. X.
16. Seja X uma v.a. com μ = E ( X )e σ 2 = Var(X). Mostre que Z = ( X − μ )/ σ possui E(Z)
= 0 e Var(Z) = 1.
- Uma v. a. X tem fdp dada por:
f ( x )= ae −^ x^ /^2 , x ≥ 0 , a ≥ 0. Determine: (a) O valor da constante a (b) A média e a variância de X (c) A média e a variância de Y = X /2 - 1. (d) Determine 3 = ^43 ) denominada de função geradora de momentos da v. a. X. (Sugestão: Meyer, 2010, Cap. 10).
- Seja X com distribuição dada abaixo: X 0 1 2 P(X = x) 1/2 1/4 1/ a) Calcule E(X) b) Considere a v.a ( X - a )^2 para a = 0, 1/4, 1/2, 3/4, 1. Obtenha o gráfico de g(a) = E ( X - a )^2 c) Para qual valor de a , g(a) é mínimo?
- Suponha que um componente eletrônico tenha uma duração de vida X (em unidades de 1000 horas), com a seguinte fdp: f(x) = e – x^ , x > 0. Suponha que o custo de fabricação de um desses componentes seja US$ 2,00. O fabricante vende uma peça por US$ 5,00, mas garante o reembolso total se X ≤ 0 , 9. Qual o lucro esperado por peça pelo fabricante?
- Suponha X uma v. a. , onde E(X) = 10 e Var(X) = 25. Para quais valores positivos de a e b deve Y = aX – b ter valor esperado 0 e variância 1?
- Suponha que a v.a. X tenha fdp ( ) 2 , 0.
2 f x = xe −^ x^ x ≥ Seja Y = X^2. Calcule E( Y ).
- Suponha que 2 cartas sejam retiradas ao acaso de um baralho comum de 52 cartas. Seja X o número de ases obtidos e seja Y o número de damas obtido. (a) Determine a distribuição de probabilidade conjunta de (X , Y). (b) Determine a distribuição marginal de X e a de Y. (c) Determine a distribuição condicionada de X (dado Y ) e a de Y (dado X ). (d) Determine a distribuição de probabilidade da v.a. Z=XY. Sugestão: Usar a distribuição hipergeométrica nos itens (a) e (b)
- Calcule o coeficiente de correlação entre as v.a’s X e Y do problema 38. Utilize a seguinte definição. DEFINIÇÃO: Sejam X e Y v.a.’s tendo variâncias finitas e não-nulas. Uma medida do grau de dependência entre as duas v.a.’s é o coeficiente de correlação 51, 6 definido por
51, 6 =
em que, 7891, 6 = <=1 − 1>=6 − 6>? = 16 − 16 é a covariância entre X e Y, e : 3 e :; são os desvios-padrões de X e Y , respectivamente. Observar que −1 ≤ 51, 6 ≤ 1. Obs: 16 = ∑B ∑ (^) ECD1 = C, 6 = D
- Para que valor de k , a expressão f ( x , y ) = ke −( x + y ) é a fdp conjunta de (X ,Y) , sobre a região 0
< x < 1 , 0 < y < 1?
- Em um cruzamento de tráfego intenso, a probabilidade p de um carro sofrer um acidente é
0,0001. Contudo, durante certa parte do dia, por exemplo, das 16 às 18 horas, um grande número de
carros passa no cruzamento ( 1000 carros, admitamos ). Nessas condições, qual é a probabilidade de
que 2 ou mais acidentes ocorram durante aquele período? Sugestão : Usar as distribuições de
Poisson e Binomial.
- (Magalhães, 2011). Determine c para a expressão abaixo ser função de probabilidade de uma v. a
discreta X.
p^ x^ =
c 3 x^
, x=0,1,2, …
Sendo = {C ∈ ℕ; C = 2I + 1, I ∈ ℕ}^ e K = {C ∈ ℕ; C = 3I + 1, I ∈ ℕ}, obtenha as
probabilidades 1 ∈ e 1 ∈ K. Resp. c=2/3, = 1/4 e K = 3/13.
- Distribuição Binomial Negativa
Seja X o número de repetições de um experimento aleatório até a ocorrência de r sucessos de um
evento A. É evidente que se r = 1, X terá a distribuição geométrica. Ora, X = x se, e somente se, A ocorrer na x -ésima repetição e A tiver ocorrido exatamente ( r - 1) vezes nas ( k - 1) repetições
anteriores. A probabilidade deste evento é meramente N=BO PO >NPO 1 − NBOP, desde que o que
acontece nas primeiras (k - 1) repetições é independente daquilo que acontece na k -ésima repetição. Portanto,
1 = C = Q
C − 1
R − 1
S NP1 − NBOP, C = R, R + 1, ⋯, 6.1
Usaremos a notação 1~KVR, N para indicar que a v.a. 1 segue a distribuição Bi nomial Negativa
com parâmetros r e p com 0 < p < 1, r > 0.
(a) Se 1~KVR, N dada 6.1 por, determinar E(X) e Var(X).
(b) Alguns autores formulam a v.a. 1~KVR, N Considerando uma sequência de ensaios de
Bernoulli independentes e a v.a. X o número de fracassos anteriores ao r -ésimo sucesso. Determine
a função de probabilidade 1 = C^ da v.a. X.
- Determinado tipo de parafuso é vendido em caixas com 1.000 peças. É uma característica da
fabricação produzir 10% com defeito. Normalmente, cada caixa é vendida por $13,50. Um
comprador faz a seguinte proposta: de cada caixa, ele escolhe uma amostra de 20 peças; se a caixa não tiver parafusos defeituosos, ele paga $20,00; um ou dois defeituosos, ele paga $10,00; três ou
mais defeituosos, ele paga $8,00. Qual alternativa é a mais vantajosa para o fabricante? Justifique.
- Dada a v.a. 6 = 3OWX YX^ , determine a média e a variância de^6 , sabendo que a fdp de^1 é !C = Z exp−ZC, C ≥ 0 , Z > 0.
